Galois-Theorie: Körpererweiterungen und Auflösbarkeit

Die Gleichung $x^2+px+q=0$ löst man mit der Mitternachtsformel, kubische und biquadratische Gleichungen mit den Formeln von Cardano und Ferrari. Für Gleichungen fünften Grades gibt es keine solche Formel, die nur Grundrechenarten und Wurzeln benutzt. Warum die Grenze genau bei Grad 5 liegt, erklärt die Galois-Theorie: Sie ordnet jedem Polynom eine Gruppe von Vertauschungen seiner Nullstellen zu und übersetzt die Frage nach Wurzelformeln in eine Frage über diese Gruppe.

Du brauchst dafür die Gruppentheorie bis zu Normalteilern und Faktorgruppen (Homomorphismen und Normalteiler), die Ringe und Körper und die Vektorräume. Alle Körper auf dieser Seite haben die Charakteristik $0$ und liegen in $ℂ$.

Körpererweiterungen und der Grad

Ist $K\subseteq L$ ein Teilkörper, dann ist $L$ ein Vektorraum über $K$, und seine Dimension heißt der Grad $[L:K]$. Zum Beispiel ist $ℂ$ über $ℝ$ zweidimensional mit der Basis $1,i$, also $[ℂ:ℝ]=2$.

Eine Zahl $\alpha \in ℂ$ heißt algebraisch über $K$, wenn sie Nullstelle eines Polynoms mit Koeffizienten in $K$ ist. Unter diesen Polynomen gibt es ein normiertes von kleinstem Grad, das Minimalpolynom $m_{\alpha }$. Es ist irreduzibel über $K$. Der kleinste Körper, der $K$ und $\alpha$ enthält, ist $K(\alpha )=\{p(\alpha ):p\in K[x]\}$, und es gilt $[K(\alpha ):K]=\mathrm{deg}{m}_{\alpha }$. Denn $1,\alpha ,\dots ,{\alpha }^{d-1}$ mit $d=\mathrm{deg}{m}_{\alpha }$ ist eine Basis: Jede höhere Potenz lässt sich mit $m_{\alpha }(\alpha )=0$ auf niedrigere zurückführen, und eine Linearkombination dieser Potenzen mit Wert $0$ wäre ein Polynom kleineren Grades mit Nullstelle $\alpha$.

Beweis. Ist $a_1,\dots ,a_m$ eine Basis von $L$ über $K$ und $b_1,\dots ,b_n$ eine Basis von $M$ über $L$, dann sind die $mn$ Produkte $a_i{b}_j$ eine Basis von $M$ über $K$. Jedes $z\in M$ ist $z=\sum _j{\lambda }_j{b}_j$ mit ${\lambda }_j\in L$, und jedes ${\lambda }_j=\sum _i{\mu }_{ij}{a}_i$ mit ${\mu }_{ij}\in K$. Die lineare Unabhängigkeit folgt ebenso in zwei Schritten. $\square$

Daraus ergibt sich $\left[\mathbb{Q}\right(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}]=4$: Die Zahl $\sqrt{3}$ liegt nicht in $\mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right)$, denn aus $\sqrt{3}=a+b\sqrt{2}$ mit rationalen $a,b$ folgt $3=a^2+2b^2+2ab\sqrt{2}$, also $ab=0$, und dann wäre $3=a^2$ oder $3=2b^2$, beides unmöglich für rationale Zahlen. Also ist $\left[\mathbb{Q}\right(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}(\sqrt{2}\left)\right]=2$ und der gesamte Grad $2·2=4$.

Zerfällungskörper

Der Zerfällungskörper eines Polynoms $f$ über $K$ ist der kleinste Körper $L\supseteq K$, in dem $f$ in Linearfaktoren zerfällt, also der von $K$ und allen Nullstellen erzeugte Körper. Für $f=x^3-2$ sind die Nullstellen $\sqrt[3]{2}$, $\omega \sqrt[3]{2}$ und ${\omega }^2\sqrt[3]{2}$ mit $\omega =e^{2\pi i/3}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$. Der Zerfällungskörper ist $L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega )$. Weil $\omega$ nicht reell ist, liegt $\omega$ nicht in $\mathbb{Q}\left(\sqrt[3]{2}\right)$, und als Nullstelle von $x^2+x+1$ hat es über diesem Körper den Grad $2$. Die Turmformel gibt $[L:\mathbb{Q}]=3·2=6$.

Die Galoisgruppe

Der Schlüssel ist diese Beobachtung: Ist $\alpha$ eine Nullstelle von $f\in K[x]$, dann ist auch $\sigma (\alpha )$ eine Nullstelle, denn $f(\sigma (\alpha ))=\sigma (f(\alpha ))=\sigma (0)=0$, weil die Koeffizienten von $\sigma$ festgehalten werden. Ein Automorphismus kann die Nullstellen also nur vertauschen, und er ist durch diese Vertauschung festgelegt. Die Galoisgruppe ist daher eine Untergruppe der Gruppe aller Permutationen der Nullstellen, und es gilt $|\mathrm{Gal}(L/K)|=[L:K]$ für Zerfällungskörper in Charakteristik $0$.

• $\mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right)/\mathbb{Q}$: Es gibt genau zwei Automorphismen, die Identität und $\sigma :\sqrt{2}\mapsto -\sqrt{2}$. Die Galoisgruppe ist $\cong {\mathbb{Z}}_2$.
• $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q}$: Die Vorzeichen von $\sqrt{2}$ und $\sqrt{3}$ können unabhängig vertauscht werden, das sind $4$ Automorphismen. Die Galoisgruppe ist die Kleinsche Vierergruppe ${\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2$.
• $x^3-2$: Ein Automorphismus schickt $\sqrt[3]{2}$ auf eine der drei Nullstellen und $\omega$ auf $\omega$ oder ${\omega }^2$. Das sind $3·2=6$ Möglichkeiten, alle kommen vor. Die Gruppe hat die Ordnung $6$ und permutiert die drei Nullstellen treu, sie ist also die ganze $S_3$.

Der Hauptsatz der Galois-Theorie

Der Beweis des Hauptsatzes füllt in den Lehrbüchern mehrere Seiten, er benutzt das Lemma von Artin über Fixkörper und Dedekinds Unabhängigkeit von Automorphismen. Seine Wirkung siehst du am Beispiel: Die Untergruppen der $S_3$ sind $\left\{e\right\}$, die drei Untergruppen der Ordnung $2$ (je eine Transposition), $A_3$ der Ordnung $3$ und $S_3$ selbst. Daher hat $L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega )$ genau sechs Zwischenkörper:

Der Körper $\mathbb{Q}(\omega )$ gehört zu $A_3$, und $A_3$ ist ein Normalteiler. Deshalb ist $\mathbb{Q}(\omega )$ selbst der Zerfällungskörper von $x^2+x+1$, und seine Galoisgruppe ist $S_3/A_3\cong {\mathbb{Z}}_2$. Dagegen ist $\{e,{\tau }_1\}$ kein Normalteiler. Das erklärt, warum $\mathbb{Q}\left(\sqrt[3]{2}\right)$ nicht alle Nullstellen von $x^3-2$ enthält: Es ist kein Zerfällungskörper, und jeder Automorphismus von $L$ schickt es auf einen der beiden anderen Körper $\mathbb{Q}\left(\omega \sqrt[3]{2}\right)$ oder $\mathbb{Q}\left({\omega }^2\sqrt[3]{2}\right)$.

Auflösbarkeit durch Wurzeln

Eine Gleichung heißt durch Wurzeln lösbar, wenn sich ihre Nullstellen aus den Koeffizienten durch endlich viele Anwendungen von $+,-,·,:$ und Wurzelziehen $\sqrt[n]{}$ ausdrücken lassen. Wurzelziehen entspricht dem Anfügen einer Nullstelle von $x^n-a$. Mit dem Hauptsatz übersetzt man das in eine Aussage über Gruppen.

Beweisidee. Das Anfügen einer $n$-ten Wurzel $\sqrt[n]{a}$ zu einem Körper, der die $n$-ten Einheitswurzeln enthält, liefert eine Erweiterung mit zyklischer Galoisgruppe, denn ein Automorphismus ist durch die Multiplikation von $\sqrt[n]{a}$ mit einer Einheitswurzel festgelegt. Und das Anfügen der Einheitswurzeln selbst gibt eine abelsche Galoisgruppe. Ein Turm solcher Erweiterungen entspricht nach dem Hauptsatz einer Kette von Normalteilern mit abelschen Faktorgruppen. Die Umkehrung nutzt, dass jede zyklische Erweiterung (mit Einheitswurzeln im Grundkörper) durch Anfügen einer Wurzel entsteht.

Die Gruppen $S_3$ und $S_4$ sind auflösbar: $S_3⊵A_3⊵\left\{e\right\}$ mit Faktorgruppen ${\mathbb{Z}}_2$ und ${\mathbb{Z}}_3$, und $S_4⊵A_4⊵V_4⊵\left\{e\right\}$ mit der Kleinschen Vierergruppe $V_4$ und Faktorgruppen ${\mathbb{Z}}_2$, ${\mathbb{Z}}_3$, $V_4$. Das ist der Grund für die Formeln von Cardano und Ferrari. Dagegen ist $A_5$ einfach: Sie hat außer $\left\{e\right\}$ und sich selbst keinen Normalteiler, und sie ist nicht abelsch. In jeder Kette folgt auf $S_5$ die Gruppe $A_5$ (der einzige Normalteiler mit abelscher Faktorgruppe), und weil $A_5$ einfach und nicht abelsch ist, kommt die Kette nie bei $\left\{e\right\}$ an. Dasselbe gilt für alle $S_n$ mit $n\ge 5$: Sie sind nicht auflösbar.

Noch fehlt ein Polynom mit Galoisgruppe $S_5$. Ein Beispiel ist $f=x^5-4x+2$. Es ist nach dem Eisenstein-Kriterium mit $p=2$ irreduzibel, die Galoisgruppe operiert also auf den fünf Nullstellen transitiv. Ihre Ordnung ist durch $5$ teilbar, und nach dem Satz von Cauchy enthält sie ein Element der Ordnung $5$, in $S_5$ also einen Zyklus der Länge $5$. Eine kurze Kurvendiskussion zeigt, dass $f$ genau drei reelle Nullstellen hat, die übrigen zwei sind komplex konjugiert. Die komplexe Konjugation vertauscht diese beiden und lässt die drei anderen fest, sie ist also eine Transposition in der Galoisgruppe. Ein 5-Zyklus und eine Transposition erzeugen die ganze $S_5$. Die Gleichung $x^5-4x+2=0$ ist demnach nicht durch Wurzeln lösbar, auch wenn jede einzelne Nullstelle (numerisch) leicht zu finden ist.

Anwendung: Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

Alle Punkte, die man mit Zirkel und Lineal aus der Einheitsstrecke konstruiert, haben Koordinaten, die durch Körpererweiterungen vom Grad $2$ entstehen: Schnittpunkte von Geraden und Kreisen führen auf lineare und quadratische Gleichungen. Eine konstruierbare Zahl liegt daher in einem Körper mit $[L:\mathbb{Q}]=2^k$, und ihr Grad über $\mathbb{Q}$ ist eine Zweierpotenz.

• Würfelverdopplung: Verlangt wird die Kante $\sqrt[3]{2}$. Ihr Minimalpolynom $x^3-2$ hat den Grad $3$, keine Zweierpotenz. Also unmöglich.
• Winkeldreiteilung: Für ${60}^{\circ }$ müsste $\cos {20}^{\circ }$ konstruiert werden. Aus $\cos 3\phi =4{\cos }^{}\phi -3\cos \phi$ folgt, dass $c=\cos {20}^{\circ }$ die Gleichung $8c^3-6c-1=0$ erfüllt, die keine rationale Nullstelle hat, also irreduzibel ist. Der Grad $3$ ist keine Zweierpotenz.
• Regelmäßiges $n$-Eck: Es ist genau dann konstruierbar, wenn $n=2^k·p_1\cdots p_r$ mit verschiedenen Fermat-Primzahlen $p_i=2^{2^m}+1$ ($3,5,17,257,65537$) gilt. Carl Friedrich Gauß konstruierte 1796 das regelmäßige Siebzehneck, Pierre Wantzel bewies 1837 die Notwendigkeit.
• Quadratur des Kreises: Gefordert ist die Seite $\sqrt{\pi }$. Weil $\pi$ nicht algebraisch ist (Lindemann, 1882), ist es auch nicht konstruierbar.

Übungen

Geschichte: von Ruffini zu Galois

Die Gleichungen dritten und vierten Grades wurden im 16. Jahrhundert in Italien gelöst, siehe Tartaglia, Cardano und Ferrari. Danach suchte man 250 Jahre vergeblich nach einer Formel für Grad 5. Paolo Ruffini veröffentlichte 1799 einen ersten, lückenhaften Beweis der Unmöglichkeit. Niels Henrik Abel gab 1824 einen vollständigen Beweis, der 1826 in Crelles Journal erschien. Wantzel vereinfachte ihn 1845.

Évariste Galois (1811 bis 1832) gab 1830 bis 1832 die vollständige Antwort mit dem Gruppenkriterium. Seine Arbeit reichte er 1830 bei der Pariser Académie des Sciences ein. Sie ging verloren, nachdem Joseph Fourier gestorben war. Eine zweite Fassung von 1831 beurteilte Siméon Denis Poisson als unverständlich. Am 30. Mai 1832 wurde Galois in einem Duell durch einen Bauchschuss verletzt und starb am nächsten Tag im Alter von 20 Jahren. Am Tag vor dem Duell, dem 29. Mai, hatte er in einem Brief an Auguste Chevalier seine Ergebnisse zusammengefasst. Joseph Liouville studierte die Papiere ab 1842 und veröffentlichte sie 1846 im „Journal de Mathématiques Pures et Appliquées“.

Die heutige Fassung, in der man die Galoisgruppe als Gruppe der Automorphismen eines Körpers definiert, stammt aus den 1920er-Jahren und baut auf Dedekinds Körperbegriff auf. Die Konstruierbarkeitsfragen löste Wantzel 1837.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Galoistheorie
• Wikipedia: Konstruierbare Zahl
• Wikipedia: Satz von Abel-Ruffini
• Wikipedia (englisch): Évariste Galois
• Siegfried Bosch: Algebra, Springer, Berlin.
• Ian Stewart: Galois Theory, Chapman and Hall, London.