Karl Weierstraß

Karl Weierstraß (1815–1897) war ein deutscher Mathematiker, der der Analysis ihre heutige strenge Form gab. Er arbeitete mehr als ein Jahrzehnt als Gymnasiallehrer in Westpreußen und Ostpreußen, weitgehend unbeachtet. Erst ein Aufsatz von 1854 machte ihn schlagartig berühmt, und ab 1856 lehrte er in Berlin. Nach ihm benannt sind unter anderem die Weierstraß-Funktion, der Satz von Bolzano-Weierstraß und der Weierstraßsche Approximationssatz.

Weierstraß schrieb nur wenige Bücher. Seine Wirkung entstand durch Vorlesungen und Schüler, zu denen Georg Cantor und Sofja Kowalewskaja zählten. Er verlangte, dass jede Aussage über Grenzwerte auf klar definierte Rechnungen mit Zahlen zurückgeführt wird. Deshalb gilt er als einer der Väter der modernen Analysis.

Herkunft und Ausbildung: Umwege zur Mathematik

Karl Wilhelm Theodor Weierstraß kam am 31. Oktober 1815 in Ostenfelde im Münsterland zur Welt. Sein Vater war ein Steuerbeamter, der oft versetzt wurde. Die Mutter starb 1827. Weierstraß besuchte das Gymnasium in Paderborn und bestand 1834 als Klassenbester das Abitur.

Der Vater wollte einen Beamten aus ihm machen und schickte ihn zum Studium von Finanz- und Rechtswissenschaften nach Bonn. Weierstraß ging jedoch lieber fechten und trinken, besuchte kaum Vorlesungen und verließ die Universität 1838 ohne Abschluss. Auf eigene Faust las er die Werke von Jacobi und Laplace. In Münster studierte er dann bei Christoph Gudermann, der über elliptische Funktionen las. 1841 bestand er die Lehramtsprüfung. Gudermann stellte seine Arbeit über elliptische Funktionen 1840 auf eine Stufe mit der der Entdecker des Gebiets.

Jahre als Gymnasiallehrer

Ab 1842 unterrichtete Weierstraß in Deutsch Krone in Westpreußen, ab 1848 am Gymnasium in Braunsberg in Ostpreußen. Er gab nicht nur Mathematik, sondern auch Physik, Botanik, Turnen und Schönschreiben. Die Forschung betrieb er nachts. Ein Aufsatz über abelsche Funktionen in Crelles Journal, einer führenden Fachzeitschrift, machte 1854 die Fachwelt auf ihn aufmerksam. Die Universität Königsberg verlieh ihm noch im selben Jahr die Ehrendoktorwürde. 1856 holte man ihn nach Berlin, an das Gewerbeinstitut und kurz darauf als Professor an die Universität. Dort blieb er bis zu seinem Tod.

Strenge in der Analysis: Epsilon und Delta

Als Newton und Leibniz die Infinitesimalrechnung erfanden, sprachen sie von „unendlich kleinen“ Größen, die nicht richtig erklärt waren. Cauchy und Bolzano verbesserten das schon, doch erst Weierstraß brachte die Argumentation in eine Form, die ohne Anschauung und ohne „unendlich Kleines“ auskommt. Seine Definition der Stetigkeit einer Funktion f an der Stelle x₀ lautet:

In Worten: Jemand gibt eine Toleranz ε vor, wie nah der Funktionswert am Wert f(x₀) liegen soll. Du musst dann ein δ finden, so dass jedes x im Abstand unter δ von x₀ diese Toleranz einhält. Gelingt das für jedes noch so kleine ε, ist die Funktion stetig.

Die heutige Schreibweise mit ε und δ wurde in Weierstraß’ Berliner Vorlesungen ausgearbeitet und von seinen Hörern verbreitet; Ansätze dazu hatten schon Cauchy und Bolzano. Mit denselben Mitteln lässt sich der Satz von Bolzano-Weierstraß beweisen: Jede beschränkte Zahlenfolge besitzt eine Teilfolge, die gegen einen Wert strebt. Die Folge (−1)ⁿ springt zum Beispiel immer zwischen −1 und 1, doch die Glieder mit geradem n sind alle 1 und die mit ungeradem n alle −1. In den 1860er Jahren baute Weierstraß außerdem eine Theorie der reellen Zahlen auf, parallel zu Richard Dedekind und Cantor.

Die Monsterfunktion: stetig und nirgends differenzierbar

Lange nahmen Mathematiker an, eine stetige Funktion, deren Graph sich ohne Absetzen zeichnen lässt, besitze fast überall eine Tangente. Am 18. Juli 1872 widerlegte Weierstraß das vor der Berliner Akademie der Wissenschaften mit einer Reihe von Kosinus-Wellen:

Dabei ist 0 < a < 1, b eine ungerade natürliche Zahl, und es muss ab > 1 + 3π/2 gelten. Ein Beispiel ist a = ½ und b = 13, denn dann ist ab = 6,5 und 1 + 3π/2 ≈ 5,71. G. H. Hardy zeigte 1916, dass schon ab ≥ 1 genügt.

Die Reihe ist stetig, weil jeder Summand höchstens aⁿ groß ist und die Summe aller aⁿ endlich bleibt. Für a = ½ ergibt sich am Punkt x = 0 genau der Maximalwert ½⁰ + ½¹ + ½² + … = 2. Gleichzeitig wackelt der Graph auf jeder Skala: Der n-te Summand schwingt bⁿ-mal so schnell, seine Steigung wächst wie (ab)ⁿ ins Unendliche. An keiner Stelle gibt es deshalb eine Tangente.

Gedruckt wurde das Beispiel erstmals 1875 durch Paul du Bois-Reymond. Bolzano hatte schon um 1830 eine ähnliche Funktion gefunden, sein Manuskript blieb aber unbekannt. Zeitgenossen empfanden solche „Monster“ als beunruhigend; Charles Hermite sprach 1893 sogar von einer beklagenswerten Plage. Heute sieht man darin einen Vorläufer der Fraktale von Benoît Mandelbrot. Ähnlich zerklüftet sind die Wege, die Teilchen bei der Brownschen Bewegung zurücklegen.

Der Approximationssatz

1885 bewies Weierstraß: Jede stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall lässt sich beliebig genau durch Polynome annähern. Das gilt sogar für seine eigene Monsterfunktion. Computer machen davon Gebrauch, wenn sie komplizierte Funktionen durch Summen von Potenzen ersetzen, die sich schnell berechnen lassen.

Berliner Lehrer: Kowalewskaja und die Dichtung

Weierstraß’ Vorlesungen in Berlin waren berühmt für ihre Klarheit. Zu seinen Hörern zählten Cantor, Hermann Amandus Schwarz und Gösta Mittag-Leffler. Frauen durften damals an preußischen Universitäten nicht studieren. Trotzdem unterrichtete er 1870 die junge Russin Sofja Kowalewskaja privat. Beide tauschten über Jahre mehr als 160 Briefe aus. Weierstraß förderte ihre Promotion in Göttingen (1874) und half ihr zu einer Stelle in Stockholm. In einem Brief aus dem Jahr 1883 schrieb er ihr einen Satz, der oft zitiert wird:

„Es ist wahr, ein Mathematiker, der nicht etwas Poet ist, wird nimmer ein vollkommener Mathematiker sein.“

Späte Jahre und Tod

Schwindelanfälle plagten Weierstraß schon seit den 1850er Jahren. Im Dezember 1861 brach er in der Vorlesung zusammen, danach ließ er einen Studenten die Formeln an die Tafel schreiben. In den letzten Jahren war er auf einen Rollstuhl angewiesen. 1895 erhielt er die Copley-Medaille der Royal Society, eine der höchsten Auszeichnungen der Naturwissenschaften. Am 19. Februar 1897 starb er in Berlin an einer Lungenentzündung.

Zeitleiste: Karl Weierstraß’ Leben

1. 1815 Geburt am 31. Oktober in Ostenfelde
2. 1834 Abitur in Paderborn; Studienbeginn in Bonn
3. 1838 Wechsel nach Münster zu Christoph Gudermann
4. 1842 Lehrer in Deutsch Krone
5. 1848 Lehrer in Braunsberg
6. 1854 Aufsatz über abelsche Funktionen; Ehrendoktorwürde in Königsberg
7. 1856 Professur in Berlin
8. 1870 Beginn des Privatunterrichts für Sofja Kowalewskaja
9. 1872 Vorstellung der Monsterfunktion
10. 1897 Tod am 19. Februar in Berlin

Bedeutung heute

Jeder, der in der Oberstufe oder im Studium Grenzwerte beweist, benutzt Weierstraß’ Denkweise. Die Funktionentheorie, die Bernhard Riemann geometrisch angelegt hatte, begründete er über Potenzreihen neu. Seine Strenge schuf das Fundament für die Mengenlehre Cantors und für die Mathematik des 20. Jahrhunderts. Mehr zur Epoche findest du in der Mathematik des 19. Jahrhunderts.

Häufige Fragen

Wann lebte Karl Weierstraß?

Karl Weierstraß wurde am 31. Oktober 1815 in Ostenfelde geboren und starb am 19. Februar 1897 in Berlin.

Was ist die Weierstraß-Funktion?

Es ist eine Funktion, die an jeder Stelle stetig, aber an keiner Stelle differenzierbar ist. Ihr Graph hat also keine Lücken, aber an keinem Punkt eine Tangente. Weierstraß stellte sie 1872 vor.

Was hat Weierstraß mit Sofja Kowalewskaja zu tun?

Er unterrichtete sie ab 1870 privat, weil Frauen in Berlin nicht studieren durften, und half ihr später bei der Promotion und bei der Suche nach einer Stelle.

Quellen und weiterführende Literatur

• Reinhard Bölling (Hrsg.): Briefwechsel zwischen Karl Weierstraß und Sofja Kowalewskaja, Akademie Verlag, Berlin 1993.
• Kurt-R. Biermann: Die Mathematik und ihre Dozenten an der Berliner Universität 1810–1933, Akademie-Verlag, Berlin 1988.
• MacTutor History of Mathematics: Karl Weierstrass (englisch)
• Wikipedia: Karl Weierstraß (deutsch)