Axiomatische Mengenlehre: ZFC, Auswahlaxiom, Zornsches Lemma

Bisher hast du Mengen so benutzt, wie man sie sich vorstellt: Eine Menge ist eine Zusammenfassung von Objekten. Diese naive Vorstellung führt aber auf Widersprüche, und deshalb wird die Mengenlehre in der Hochschulmathematik axiomatisch aufgebaut.

Das Problem: die Menge aller Mengen, die sich nicht enthalten

Wenn man zu jeder Eigenschaft die Menge aller Objekte mit dieser Eigenschaft bilden darf, kann man $R=\{x:x\notin x\}$ bilden. Dann gilt $R\in R$ genau dann, wenn $R\notin R$, und das ist ein Widerspruch. Das ist die Russellsche Antinomie. Der Ausweg: Man darf nicht mehr beliebig Mengen bilden, sondern nur aus schon vorhandenen Mengen aussondern. Daraus folgt sogar, dass es keine „Menge aller Mengen“ gibt. Denn gäbe es eine Menge $V$ von allen Mengen, wäre $\{x\in V:x\notin x\}$ nach dem Aussonderungsaxiom eine Menge, und wir hätten wieder den Widerspruch.

Die Axiome von Zermelo und Fraenkel

Ernst Zermelo schlug 1908 ein Axiomensystem vor, das Abraham Fraenkel 1921 um das Ersetzungsaxiom ergänzte. Das heutige Standardsystem heißt ZF, mit dem Auswahlaxiom ZFC. Die einzigen Grundbegriffe sind „Menge“ und „Element von“.

Aussonderung und Ersetzung sind Schemata: Für jede Eigenschaft gibt es ein eigenes Axiom, ZFC hat also unendlich viele Axiome. Mit diesem Gerüst lässt sich die gesamte übliche Mathematik aufbauen: Zahlen als Mengen, Funktionen als Mengen von Paaren, Relationen als Teilmengen des kartesischen Produkts.

Das Auswahlaxiom

Für endlich viele Mengen braucht man das Axiom nicht, man wählt nacheinander. Auch für nichtleere Teilmengen von $\mathbb{N}$ ist es überflüssig, denn man kann immer das kleinste Element nehmen. Aus unendlich vielen Paaren von Schuhen kann man ohne Axiom den linken Schuh jedes Paars wählen; bei unendlich vielen Paaren von Socken gibt es keine solche Regel, und genau da wird das Axiom gebraucht. Ernst Zermelo formulierte es 1904, um den Wohlordnungssatz zu beweisen.

Das Axiom ist zu zwei Aussagen gleichwertig (über ZF): dem Wohlordnungssatz (jede Menge lässt sich so ordnen, dass jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element hat) und dem Zornschen Lemma.

Das Lemma nennt man nach Max Zorn, der es 1935 veröffentlichte. Kazimierz Kuratowski hatte schon 1922 eine ähnliche Fassung bewiesen. Seine Stärke zeigt sich bei Existenzaussagen: Jeder Vektorraum hat eine Basis. Beweis. Sei $P$ die Menge aller linear unabhängigen Teilmengen von $V$, geordnet durch $\subseteq$. Die leere Menge liegt in $P$. Ist $K$ eine Kette in $P$, dann ist $\bigcup K$ linear unabhängig, denn eine Linearkombination benutzt nur endlich viele Vektoren, und die liegen alle schon in einem Glied der Kette. Also hat jede Kette eine obere Schranke, und es gibt ein maximales Element $B$. Wäre ein Vektor $v\notin \mathrm{span}(B)$, dann wäre $B\cup \left\{v\right\}$ linear unabhängig und größer, ein Widerspruch. Also ist $B$ ein Erzeugendensystem und damit eine Basis. $\square$

Für $V=ℝ$ als Vektorraum über $\mathbb{Q}$ liefert das eine „Hamelbasis“, die sich nicht hinschreiben lässt. Die Existenz ohne Konstruktion ist ein Kennzeichen des Auswahlaxioms. Es hat auch überraschende Folgen, etwa nicht messbare Mengen und das Banach-Tarski-Paradoxon (eine Kugel lässt sich in endlich viele Stücke zerlegen, die zu zwei Kugeln derselben Größe zusammengesetzt werden können).

Unabhängigkeit: weder beweisbar noch widerlegbar

Kurt Gödel zeigte 1938, dass das Auswahlaxiom aus ZF keinen Widerspruch erzeugt, solange ZF selbst widerspruchsfrei ist. Paul Cohen bewies 1963, dass auch seine Verneinung mit ZF verträglich ist. Das Auswahlaxiom ist also unabhängig von ZF: Es lässt sich dort weder beweisen noch widerlegen. Dasselbe gilt für die Kontinuumshypothese, die Aussage, dass es keine Menge gibt, deren Mächtigkeit zwischen der von $\mathbb{N}$ und der von $ℝ$ liegt (siehe die Geschichte unten). Dass ZFC selbst widerspruchsfrei ist, lässt sich nach Gödels zweitem Unvollständigkeitssatz innerhalb von ZFC nicht beweisen. Die meisten Mathematiker arbeiten in ZFC und kennzeichnen Sätze, die das Auswahlaxiom brauchen. Über die Logik dahinter steht mehr auf der Seite Prädikatenlogik.