Summen- und Produktzeichen

Das Summenzeichen ∑ (großes griechisches Sigma) steht für eine Summe mit vielen Gliedern, die nach einer festen Regel gebildet werden. Statt $1+2+3+\dots +100$ schreibst du $\sum _{k=1}^{100}k$. Das Produktzeichen ∏ (großes Pi) macht dasselbe für Produkte. In der Schule kommt beides kaum vor, in jeder Vorlesung ab der ersten Woche. Wer es sicher liest, spart sich viele Punkte-Schreibweisen und Fehler.

Hier lernst du, wie die Schreibweise aufgebaut ist, welche Rechenregeln gelten, wie du den Laufindex verschiebst, wie Teleskopsummen und Doppelsummen funktionieren und was bei Produkten anders ist. Die Beweise mit vollständiger Induktion setzen dieses Zeichen voraus. Zum Üben gibt es einen Aufgabengenerator.

So liest du das Summenzeichen

Unter dem Sigma steht der Laufindex mit seinem Startwert, über dem Sigma die obere Grenze, rechts davon der Summand, in dem der Laufindex vorkommt. Du setzt nacheinander alle ganzen Zahlen von der unteren bis zur oberen Grenze ein und addierst.

Die Schreibweise ist nur eine Abkürzung. Die Variable $k$ lebt allein unter dem Zeichen. Du kannst sie in $j$ oder $m$ umbenennen, ohne den Wert zu ändern, genauso wie bei der Funktion $x\mapsto x^2$ der Name des Arguments egal ist. Schreibweisen wie $\sum _{k\in M}{a}_k$ bedeuten: Summe über alle Elemente einer Menge $M$ (die Mengenlehre erklärt, was das ist).

Die Rechenregeln

Weil eine Summe nur wiederholtes Addieren ist, übernimmt das Summenzeichen die Gesetze der Addition: Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz.

Indexverschiebung

Oft passen zwei Summen nur zusammen, wenn du die Laufvariable verschiebst. Du ersetzt $k$ durch $j-1$ und passt die Grenzen mit an. Ein Beispiel: Aus $\sum _{k=0}^n{2}^{k+1}$ wird mit $j=k+1$ die Summe $\sum _{j=1}^{n+1}{2}^j$. Beide haben dieselben Summanden $2,4,8,\dots ,2^{n+1}$. Prüfe bei jeder Verschiebung zwei Dinge: Grenzen mitgenommen, Summand umgeschrieben.

Wichtige Summenformeln

Diese vier Formeln brauchst du immer wieder. Sie lassen sich mit vollständiger Induktion beweisen. Die Formel $\sum k=\frac{n(n+1)}{2}$ kennt man als Paartrick von Gauß.

Die Quadratsumme ergibt für $n=10$ den Wert $\frac{10·11·21}{6}=385$, die Kubiksumme ${55}^2=3025$. Auffällig: Die Summe der ersten $n$ Kubikzahlen ist genau das Quadrat der Summe der ersten $n$ Zahlen.

Beweis der Gauß-Summe durch Paarbilden

Schreibe die Summe $S=1+2+\dots +n$ zweimal untereinander, das zweite Mal rückwärts. Jede Spalte hat die Summe $n+1$, und es gibt $n$ Spalten. Also ist $2S=n(n+1)$. Der Beweis steckt in der Idee, die Summe mit sich selbst zu paaren. Für $n=100$ ergibt das $S=\frac{100·101}{2}=5050$.

Beweis der geometrischen Summe

Sei $S=\sum _{k=0}^n{q}^k=1+q+q^2+\dots +q^n$. Multiplizierst du mit $q$, verschieben sich alle Glieder um eins: $qS=q+q^2+\dots +q^{n+1}$. Zieht man beide Gleichungen voneinander ab, bleiben nur das erste und das letzte Glied übrig:

Mit $q=2$ und $n=10$ ist $S=\frac{1-2048}{1-2}=2047$. Für $\left|q\right|<1$ und $n\to \infty$ entsteht daraus die unendliche geometrische Reihe $\frac{1}{1-q}$. Im Finanzwesen ist es die Formel für einen Sparplan mit Zinseszins.

Wie groß wird eine Summe?

Oft brauchst du keine genaue Formel, sondern nur die Größenordnung. Die Summe $\sum _{k=1}^n{k}^p$ wächst wie $\frac{n^{p+1}}{p+1}$. Der Grund: Die Summe ist eine Treppen-Näherung für die Fläche unter dem Graphen von $x^p$ zwischen 0 und $n$, und diese Fläche ist ${\int }_0^n{x}^{p}dx=\frac{n^{p+1}}{p+1}$ (die Idee steht bei den Ober- und Untersummen).

Für $p=2$ lautet die genaue Formel $\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}$. Für $n=10$ ist das $\mathrm{333,33}+50+\mathrm{1,67}=385$, die Näherung $\frac{n^3}{3}$ liefert 333,33. Für $n=100$ sind es 338350 gegen 333333,33, der Fehler liegt dann nur noch bei 1,5 Prozent. Der Hauptterm bestimmt das Wachstum, die übrigen Terme verschwinden im Verhältnis. Das ist die Grundidee der O-Notation in der Informatik.

Teleskopsummen

Manche Summen fallen in sich zusammen wie ein Fernrohr: Die Zwischenglieder heben sich gegenseitig auf. Der Trick ist, den Summanden als Differenz zu schreiben, $f(k)=g(k)-g(k+1)$. Dann gilt

Doppelsummen

Steht ein Summenzeichen vor einem weiteren, rechnest du von innen nach außen. Sind die Grenzen des inneren Zeichens konstant, darfst du die Reihenfolge vertauschen, und Faktoren, die nur von einem Index abhängen, ziehst du heraus.

Hängt die innere Grenze vom äußeren Index ab, hast du eine Dreieckssumme. Beispiel: $\sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^{i}j=1+(1+2)+(1+2+3)=1+3+6=10$. Vertauschen geht hier nur mit angepassten Grenzen. Alle Paare $(i,j)$ mit $1\le j\le i\le n$ kannst du entweder nach $i$ oder nach $j$ ordnen:

Es hilft, die Paare als Tabelle aufzuzeichnen: Alle Einträge der unteren Dreiecks-Hälfte werden einmal gezählt, nur in anderer Reihenfolge.

Summen in Statistik und Wahrscheinlichkeit

Fast jede Kennzahl der Statistik ist eine Summe. Der Mittelwert von $n$ Werten ist $\overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$, die Varianz ist $s^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(x_i-\overline{x})}^2$, und der Erwartungswert einer Zufallsgröße ist $E(X)=\sum _i{x}_i·P(X=x_i)$. Für einen Würfel ergibt das $E(X)=\sum _{k=1}^{6}k·\frac{1}{6}=\frac{21}{6}=\mathrm{3,5}$.

Das Produktzeichen

Das Produktzeichen gehorcht denselben Leseregeln wie das Summenzeichen, nur dass multipliziert wird:

Das wichtigste Produkt ist die Fakultät: $n!=\prod _{k=1}^{n}k$, zum Beispiel $5!=120$. Ein Produkt ohne Faktoren ist 1, daher $0!=1$. Es gelten die entsprechenden Regeln:

• $\prod _{k=a}^{b}f(k)g(k)=\prod _{k=a}^{b}f(k)·\prod _{k=a}^{b}g(k)$,
• $\prod _{k=1}^{n}c=c^n$ (eine Konstante tritt als Potenz heraus, nicht als Faktor),
• $\ln \prod a_k=\sum \ln a_k$ für positive $a_k$: Der Logarithmus macht aus Produkten Summen.

Der binomische Lehrsatz in Summenform

Mit dem Summenzeichen lässt sich der binomische Lehrsatz in einer Zeile schreiben, mit den Binomialkoeffizienten $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$:

Setzt du $a=b=1$, folgt $\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=2^n$. Mit $a=1$ und $b=-1$ folgt für $n\ge 1$ die alternierende Summe $\sum _{k=0}^n{(-1)}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=0$. Für $n=5$ ist das $1-5+10-10+5-1=0$. Die Summe der Zeile 5 im Pascalschen Dreieck ist $1+5+10+10+5+1=32=2^5$.

Summen als Schleifen

Wer programmiert, kennt das Summenzeichen schon: Es ist eine Schleife. Die Summe $\sum _{k=a}^{b}f(k)$ entspricht dem Programm „setze s = 0; für k von a bis b: s = s + f(k)“. Bei einem Produkt startest du mit p = 1. Das erklärt auch die leere Summe: Läuft die Schleife nie, bleibt s = 0. Der Aufwand verschachtelter Schleifen wird mit Doppelsummen berechnet, zum Beispiel braucht eine Doppelschleife mit $j\le i$ genau $\sum _{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$ Durchläufe.

Typische Fehler

Übungen

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Summenzeichen
• Wikipedia: Summation (englisch)
• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen, Springer Spektrum, Wiesbaden.
• Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik: Concrete Mathematics, 2. Auflage, Addison-Wesley, Reading 1994 (Kapitel 2 zu Summen).
• Leonhard Euler: Institutiones calculi differentialis, Sankt Petersburg 1755.