Existenz und Eindeutigkeit, Stabilität

Bisher hast du Anfangswertprobleme $y^{\prime }=f(x,y)$, $y(x_0)=y_0$ gelöst und dabei still vorausgesetzt, dass es genau eine Lösung gibt. Das ist nicht selbstverständlich, und auch das Euler-Verfahren ist nur sinnvoll, wenn die Lösung existiert und eindeutig ist. Zwei Beispiele zeigen, was schiefgehen kann.

• Keine Eindeutigkeit: $y^{\prime }=3y^{2/3}$ mit $y(0)=0$ hat die Lösungen $y=0$ und $y=x^3$ (denn $y^{\prime }=3x^2=3·{(x^3)}^{2/3}$) und viele weitere, zum Beispiel $y=0$ für $x\le c$ und $y={(x-c)}^3$ für $x>c$ mit jedem $c\ge 0$.
• Keine globale Existenz: $y^{\prime }=y^2$ mit $y(0)=1$ hat die Lösung $y=\frac{1}{1-x}$. Sie existiert nur für $x<1$ und wächst bei $x\to 1$ über alle Grenzen.

Hat $f$ eine in $y$ beschränkte partielle Ableitung $\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right|\le L$, dann gilt die Bedingung nach dem Mittelwertsatz. Bei $f(y)=3y^{2/3}$ ist die Ableitung $2y^{-1/3}$ in der Nähe von $0$ unbeschränkt, die Bedingung ist dort verletzt. Bei $f(y)=y^2$ ist die Ableitung $2y$ auf jedem beschränkten Bereich beschränkt, aber nicht auf ganz $ℝ$, und genau das erklärt das Auftreten der Singularität.

Beweisidee. Das Anfangswertproblem ist gleichwertig zur Integralgleichung $y(x)=y_0+{\int }_{x_0}^{x}f(t,y(t))\text{d}t$. Auf der rechten Seite steht eine Abbildung $T$, die einer stetigen Funktion $y$ eine neue stetige Funktion $Ty$ zuordnet; Lösungen sind genau die Fixpunkte von $T$. Für zwei Funktionen $y,z$ mit dem Abstand $\Vert y-z\Vert =\max |y(x)-z(x)|$ gilt

Auf einem Intervall mit $L\alpha <1$ ist $T$ also eine Kontraktion, und der Banachsche Fixpunktsatz liefert genau einen Fixpunkt. Er entsteht als Grenzwert der Picard-Iteration $y_{n+1}=T{y}_n$. Für größere Intervalle verwendet man eine gewichtete Norm oder wendet das Argument mehrfach an.

Gilt nur die Stetigkeit von $f$, dann bleibt nach dem Satz von Peano die Existenz einer Lösung gesichert, die Eindeutigkeit aber nicht, wie das Beispiel $y^{\prime }=3y^{2/3}$ zeigt. Die Namen sind historisch gewachsen: Émile Picard entwickelte um 1890 die schrittweise Näherung, Ernst Lindelöf formulierte den Satz in dieser Form 1894. Man spricht auch vom Satz von Cauchy-Lipschitz.

Lineare Systeme

Bei einem System $y^{\prime }=Ay$ mit konstanter Matrix $A$ ist $f(y)=Ay$ auf ganz ${ℝ}^n$ Lipschitz-stetig, und die Lösung existiert für alle $x$ und ist eindeutig. Ist $v$ ein Eigenvektor von $A$ zum Eigenwert $\lambda$, dann ist $y(x)=e^{\lambda x}v$ eine Lösung, denn $y^{\prime }=\lambda e^{\lambda x}v=Ay$. Die allgemeine Lösung ist die Linearkombination solcher Lösungen. Für $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$ gehören der Eigenwert $3$ zum Vektor $(1,1)$ und der Eigenwert $-1$ zum Vektor $(1,-1)$. Also ist

Mit dem Anfangswert $y(0)=(2,0)$ folgt $c_1+c_2=2$ und $c_1-c_2=0$, also $c_1=c_2=1$. In Matrixform ist die Lösung $y(x)=e^{xA}{y}_0$ mit der Matrix-Exponentialreihe $e^{xA}=\sum _{k\ge 0}\frac{x^k{A}^k}{k!}$.

Stabilität

Ein Gleichgewicht ist ein Punkt $y^{\ast }$ mit $f(y^{\ast })=0$. Es heißt asymptotisch stabil, wenn Lösungen, die nahe bei $y^{\ast }$ starten, dorthin zurücklaufen. Bei $y^{\prime }=Ay$ entscheiden die Eigenwerte: Haben alle Eigenwerte einen negativen Realteil, ist $0$ asymptotisch stabil. Hat ein Eigenwert einen positiven Realteil, ist es instabil. Im Beispiel oben ist es wegen $\lambda =3$ instabil, ein Sattelpunkt: Lösungen mit $c_1=0$ laufen nach $0$, alle anderen laufen weg. Bei einer einzelnen Gleichung $y^{\prime }=f(y)$ genügt das Vorzeichen von $f^{\prime }(y^{\ast })$. Für das logistische Wachstum $y^{\prime }=y(1-y)$ ist $f^{\prime }(y)=1-2y$, also ist $y^{\ast }=0$ mit $f^{\prime }(0)=1>0$ instabil und $y^{\ast }=1$ mit $f^{\prime }(1)=-1<0$ stabil, genau wie es die Wachstumskurven zeigen. Für nichtlineare Systeme untersucht man die Linearisierung, also die Jacobi-Matrix im Gleichgewicht.