Matrizen in der Wirtschaft: Leontief-Modell

Der Abschnitt über mehrstufige Produktionsprozesse endet mit dem Eigenverbrauch. Hier siehst du, wann das Modell überhaupt eine Lösung hat und wie man sie als Reihe schreibt. Das ist der Stoff der Wirtschaftsmathematik im ersten Semester.

Das Modell

Eine Volkswirtschaft hat $n$ Sektoren (Energie, Stahl, Landwirtschaft, …). Der Eintrag $a_{ij}$ der Technologiematrix $A$ gibt an, wie viele Einheiten des Produkts $i$ der Sektor $j$ für eine Einheit seiner eigenen Produktion verbraucht. Ist $x$ der Vektor der Produktionsmengen und $y$ die Endnachfrage von außen, dann gilt: Produktion = Eigenverbrauch der Sektoren + Endnachfrage, also

Die Matrix ${(E-A)}^{-1}$ heißt Leontief-Inverse. Ihr Eintrag in Zeile $i$ und Spalte $j$ sagt, wie viel Sektor $i$ insgesamt produzieren muss, damit eine Einheit Endnachfrage nach Gut $j$ gedeckt wird, einschließlich aller Vorleistungen.

Wann gibt es eine sinnvolle Lösung?

Beweis. Sei $q<1$ die größte Spaltensumme. Dann ist die größte Spaltensumme von $A^k$ höchstens $q^k$. Das folgt durch Induktion: Für $B=A^{k-1}$ ist die Summe der Spalte $j$ von $AB$ gleich $\sum _m{b}_{mj}·(\text{Spaltensumme}m\text{von}A)\le q\sum _m{b}_{mj}$. Also gehen alle Einträge von $A^k$ gegen $0$. Aus der Teleskopsumme $(E-A)(E+A+\dots +A^k)=E-A^{k+1}$ folgt im Grenzwert $(E-A)\sum _{k\ge 0}{A}^k=E$. Die Reihe hat nur nichtnegative Glieder, also ist die Inverse nichtnegativ. $\square$

Die Reihe hat eine wirtschaftliche Deutung: $y$ ist die Nachfrage selbst, $Ay$ der Vorleistungsbedarf, den diese auslöst, $A^{2}y$ der Vorleistungsbedarf der Vorleistungen, und so weiter. Im Beispiel ist $Ay=(40,50)$, $A^{2}y=(28,31)$, und schon $y+Ay+A^{2}y=(148,141)$ liegt auf dem Weg zu $x=(200,200)$. Die Summenregel ist hinreichend, aber nicht notwendig. Genau gilt für $A\ge 0$: Die Reihe konvergiert, und ${(E-A)}^{-1}$ ist nichtnegativ, genau dann, wenn alle Eigenwerte von $A$ betragsmäßig kleiner als $1$ sind. Ist das verletzt, dann verbraucht die Wirtschaft mehr, als sie herstellt, und es gibt Nachfragen $y\ge 0$, zu denen keine nichtnegative Produktion gehört: Die Lösung der Gleichung würde „negative Produktion“ verlangen.

Preise im Leontief-Modell

Auch die Preise lassen sich berechnen. Der Preis $p_j$ einer Einheit von Gut $j$ muss die Vorleistungen und die Wertschöpfung $w_j$ (Löhne und Gewinne) decken: $p_j=\sum _i{a}_{ij}{p}_i+w_j$. In Matrixform ist das $p=A^{\top }p+w$, also $p={(E-A^{\top })}^{-1}w$. Im Beispiel ergibt sich mit der Wertschöpfung $w=(\mathrm{0,4};\mathrm{0,3})$, also dem Rest zu $1$ in jeder Spalte, genau $p=(1,1)$: Wenn die Matrix in Geldeinheiten gemessen ist, kostet eine Geldeinheit Produktion eine Geldeinheit.

Immer neue Aufgaben zum Leontief-Modell gibt es auf dem Blatt Input-Output-Modelle.