Reihen und Konvergenzkriterien

Eine Reihe ist eine unendliche Summe $a_1+a_2+a_3+\dots =\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$. Ob eine solche Summe überhaupt einen Wert hat, ist keine Selbstverständlichkeit: $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots$ ergibt 2, aber $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots$ wächst über alle Grenzen. Die Konvergenzkriterien sind Prüfverfahren, mit denen du das entscheidest, ohne den Wert zu kennen. Auf ihnen beruhen Potenzreihen, Taylorreihen, Fourierreihen und fast jede Näherungsrechnung.

Hier siehst du die Grundlagen, das Majorantenkriterium, das Quotienten- und das Wurzelkriterium, das Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen und den Unterschied zwischen absoluter und bedingter Konvergenz. Die geometrische Reihe und die Idee der Partialsummen stehen schon auf der Seite Folgen und Grenzwerte. Zum Üben gibt es einen Aufgabengenerator.

Grundlagen

Die Partialsumme $s_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$ ist die Summe der ersten $n$ Glieder. Die Reihe heißt konvergent mit der Summe $s$, wenn $s_n\to s$ gilt, sonst divergent. Weil Reihen Folgen sind, gelten die Grenzwertsätze: Summe und Vielfaches konvergenter Reihen konvergieren, $\sum (a_k+b_k)=\sum a_k+\sum b_k$ und $\sum c{a}_k=c\sum a_k$. Das Ändern endlich vieler Glieder ändert nur den Wert, nicht das Konvergenzverhalten.

Beweis. Mit $s_n\to s$ gilt auch $s_{n-1}\to s$, und $a_n=s_n-s_{n-1}\to s-s=0$.

Die Umkehrung ist falsch. Die harmonische Reihe $\sum \frac{1}{k}$ divergiert, obwohl $\frac{1}{k}\to 0$. Das zeigt das Zusammenfassen von Blöcken: $1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}+\dots +\frac{1}{8})+\dots$ Jeder Block ab dem zweiten ist mindestens $\frac{1}{2}$, denn $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\ge 2·\frac{1}{4}$ und $\frac{1}{5}+\dots +\frac{1}{8}\ge 4·\frac{1}{8}$. Also gilt $s_{2^m}\ge 1+\frac{m}{2}$. Konkret: $s_{10}\approx \mathrm{2,93}$, $s_{100}\approx \mathrm{5,19}$, $s_{1000}\approx \mathrm{7,49}$, $s_{1000000}\approx \mathrm{14,39}$. Das Wachstum ist langsam, aber unbeschränkt.

Ein praktisches Werkzeug ist das Cauchy-Kriterium für Reihen: $\sum a_k$ konvergiert genau dann, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $N$ gibt mit $\left|\sum _{k=m+1}^n{a}_k\right|<\epsilon$ für alle $n>m\ge N$. Es ist die Übersetzung des Cauchy-Kriteriums für Folgen auf die Partialsummen.

Reihen mit positiven Gliedern

Sind alle $a_k\ge 0$, wachsen die Partialsummen monoton. Nach dem Monotoniekriterium konvergiert die Reihe daher genau dann, wenn die Partialsummen beschränkt sind. Eine Reihe mit positiven Gliedern kann sich also nur auf zwei Arten verhalten: konvergieren oder gegen $+\infty$ gehen. Man schreibt dann $\sum a_k<\infty$ oder $\sum a_k=\infty$.

Majoranten- und Minorantenkriterium

Die Idee: Was kleiner ist als etwas Endliches, ist endlich; was größer ist als etwas Unendliches, ist unendlich. Als Vergleichsreihen eignen sich die geometrische Reihe $\sum q^k$ (konvergent für $\left|q\right|<1$) und die $p$-Reihe $\sum \frac{1}{k^p}$.

Allgemein konvergiert die $p$-Reihe genau für $p>1$. Der Beweis vergleicht die Reihe mit dem Integral ${\int }_1^{\infty }{x}^{-p}dx$ (Integralkriterium), das nur für $p>1$ endlich ist.

Das Quotientenkriterium

Beweisidee. Ist $q<1$, wähle $r$ mit $q<r<1$. Ab einem Index $k_0$ gilt $\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|\le r$, also $\left|a_k\right|\le \left|a_{k_0}\right|r^{k-k_0}$. Die Glieder werden von einer geometrischen Reihe majorisiert, die konvergiert. Ist $q>1$, wachsen die Beträge ab einem Index, die Glieder bilden keine Nullfolge.

Bei Reihen mit Fakultäten, Exponentialtermen und Produkten ist das Quotientenkriterium meistens die erste Wahl. Bei rationalen Termen hilft es nie: Für $\frac{1}{k}$ und $\frac{1}{k^2}$ ist beide Male $q=1$, und doch divergiert die eine, die andere konvergiert. Dort vergleichst du mit einer $p$-Reihe.

Das Wurzelkriterium

Der Limes superior ist der größte Häufungspunkt der Folge (siehe Bolzano und Weierstraß). Konvergiert die Folge der Wurzeln, ist er einfach ihr Grenzwert. Das Wurzelkriterium ist stärker als das Quotientenkriterium: Es funktioniert immer, wenn das Quotientenkriterium funktioniert, und manchmal auch dann noch, wenn dieses versagt. Rechnerisch ist es günstig, wenn der Term eine $k$-te Potenz ist.

Alternierende Reihen: das Leibniz-Kriterium

Eine Reihe heißt alternierend, wenn die Vorzeichen abwechseln, also $\sum {(-1)}^k{a}_k$ mit $a_k\ge 0$. Hier können sich Vorzeichen so gegenseitig stützen, dass die Reihe konvergiert, obwohl die Beträge nicht konvergieren.

Beweisidee. Die Partialsummen mit geradem Index $s_2\le s_4\le \dots$ wachsen und die mit ungeradem Index $s_1\ge s_3\ge \dots$ fallen. Alle liegen zwischen $s_2$ und $s_1$, haben also Grenzwerte, und weil $s_{2n+1}-s_{2n}=a_{2n+1}\to 0$, sind beide gleich. Die Summe liegt immer zwischen zwei aufeinanderfolgenden Partialsummen.

Berühmt ist auch die Leibniz-Reihe $1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots =\frac{\pi }{4}$. Sie konvergiert sehr langsam: Nach 1000 Gliedern ist $s\approx \mathrm{0,7851}$ gegen $\frac{\pi }{4}\approx \mathrm{0,7854}$, der Fehler liegt bei $\mathrm{0,00025}$. Die Reihe war schon Madhava in Indien um 1400 bekannt, Leibniz fand sie im 17. Jahrhundert wieder.

Absolute und bedingte Konvergenz

Eine Reihe heißt absolut konvergent, wenn $\sum \left|a_k\right|$ konvergiert. Sie heißt bedingt konvergent, wenn sie konvergiert, aber nicht absolut.

Beweis. Wegen des Cauchy-Kriteriums für $\sum \left|a_k\right|$ ist zu jedem $\epsilon$ ab einem $N$ der Block $\sum _{k=m+1}^n\left|a_k\right|<\epsilon$. Die Dreiecksungleichung ergibt $\left|\sum _{k=m+1}^n{a}_k\right|\le \sum _{k=m+1}^n\left|a_k\right|<\epsilon$. Also erfüllt auch $\sum a_k$ das Cauchy-Kriterium. Die Abschätzung $|\sum a_k|\le \sum \left|a_k\right|$ folgt aus der Dreiecksungleichung für die Partialsummen durch Grenzübergang.

Die alternierende harmonische Reihe ist bedingt konvergent: Sie konvergiert, ihre Beträge bilden aber die divergente harmonische Reihe. Der Unterschied ist nicht nur Spitzfindigkeit, er entscheidet, ob man Glieder umordnen darf.

Auch das Produkt zweier Reihen darf man nur unter Bedingungen ausmultiplizieren: Sind $\sum a_k$ und $\sum b_k$ absolut konvergent, konvergiert das Cauchy-Produkt $\sum _n\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}$ gegen $(\sum a_k)(\sum b_k)$. Damit zeigt man zum Beispiel $e^x·e^y=e^{x+y}$.

Welches Kriterium wann?

Typische Fehler

Übungen

Geschichte der Konvergenzkriterien

Die Divergenz der harmonischen Reihe bewies Oresme um 1350. Den Beweis fanden später Pietro Mengoli (1650) und Jakob Bernoulli (1689) neu. Euler berechnete 1735 die Summe der reziproken Quadratzahlen, das Basler Problem, an dem sich Jakob Bernoulli vergeblich versucht hatte. Lange rechnete man mit Reihen ohne Konvergenzprüfung, was zu Unsinn wie „$1-1+1-1+\dots =\frac{1}{2}$“ führte. Erst Cauchy stellte in seinem Cours d’analyse (1821) systematische Kriterien auf, darunter das Wurzel- und das Quotientenkriterium. Den Quotiententest kannte schon Jean le Rond d’Alembert 1768. Bernhard Riemann zeigte 1854 in seiner Habilitationsschrift, dass man bedingt konvergente Reihen durch Umordnen gegen jeden beliebigen Wert bringen kann.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Reihe (Mathematik)
• Wikipedia: Konvergenzkriterium
• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen, Springer Spektrum, Wiesbaden.
• Konrad Königsberger: Analysis 1, Springer, Berlin.
• Augustin-Louis Cauchy: Cours d’analyse de l’École Royale Polytechnique, Paris 1821.
• Bernhard Riemann: Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe, 1854 (veröffentlicht 1867).