Argumentieren und Begründen

„Stimmt das immer?“ und „Warum ist das so?“ sind zwei der wichtigsten Fragen der Mathematik. Wer sie beantwortet, argumentiert mathematisch: Du stellst eine Behauptung auf und stützt sie mit Gründen, die andere nachprüfen können. Die Bildungsstandards zählen das Argumentieren zu den prozessbezogenen Kompetenzen (mehr dazu bei Mathematisch arbeiten). In der Grundschule geht es darum, Aussagen zu hinterfragen, Vermutungen aufzustellen und Begründungen zu formulieren und nachzuvollziehen. Später kommen längere Begründungsketten und formale Beweise dazu.

Diese Seite gibt dir das Werkzeug dafür: Behauptung und Begründung, das Gegenbeispiel, Wenn-dann-Aussagen, Begründungsketten, Satzanfänge und das Begründen mit Skizzen. Die formalen Beweise der Oberstufe findest du bei den Beweisverfahren.

Behauptung und Begründung

Eine Behauptung ist ein Satz, der wahr oder falsch sein kann, zum Beispiel: „Die Summe zweier ungerader Zahlen ist gerade.“ Eine Begründung erklärt, warum die Behauptung wahr ist. Sie verbindet bekannte Tatsachen Schritt für Schritt, bis die Behauptung herauskommt.

Ein Beispiel ist kein Beweis

Wer eine Behauptung ein paar Mal nachrechnet, wird vorsichtig überzeugt. Bewiesen ist sie damit nicht, denn irgendwann kann ein Fall kommen, in dem sie nicht mehr stimmt. Auch Messen genügt nicht (mehr dazu bei Was ist ein Beweis?). Ein berühmtes Beispiel für ein trügerisches Muster kommt aus der Geometrie.

Die Lehre daraus: Ein Muster aus ein paar Beispielen ist eine Vermutung, noch keine Tatsache. Vermutungen aufzustellen ist wichtig und gehört zum Argumentieren. Sie müssen aber im zweiten Schritt begründet werden.

Das Gegenbeispiel: Eine Behauptung widerlegen

Behauptet jemand, etwas gelte immer, genügt ein einziger Fall, in dem es nicht gilt. Dieser Fall heißt Gegenbeispiel. Ein Gegenbeispiel muss alle Bedingungen der Behauptung erfüllen und trotzdem das Gegenteil zeigen. Die logische Seite steht bei den Beweisverfahren: Das Gegenteil von „für alle“ ist „es gibt mindestens einen Fall, für den nicht“.

Achte darauf, dass das Gegenbeispiel zur Behauptung passt. Lautet sie „Multipliziert man zwei natürliche Zahlen, wird das Ergebnis nicht kleiner“, dann ist 0,5 kein gültiges Gegenbeispiel, weil 0,5 keine natürliche Zahl ist.

Wenn-dann-Aussagen

Viele Behauptungen haben die Form „Wenn A, dann B“. A heißt Voraussetzung, B heißt Folgerung. Beispiel: „Wenn eine Zahl durch 4 teilbar ist, dann ist sie gerade.“ Das stimmt, denn 4 = 2 · 2. Dreht man den Satz um, entsteht die Umkehrung: „Wenn eine Zahl gerade ist, dann ist sie durch 4 teilbar.“ Sie stimmt nicht, denn 6 ist gerade, aber nicht durch 4 teilbar.

Ein Alltagsbeispiel: „Wenn es regnet, ist die Straße nass.“ Daraus folgt nicht: „Wenn die Straße nass ist, hat es geregnet.“ Vielleicht war die Straßenreinigung da. Mehr zum Unterschied zwischen notwendigen und hinreichenden Bedingungen bietet die Aussagenlogik.

Begründungsketten: Schritt für Schritt

Schwierigere Begründungen bestehen aus mehreren kleinen Schritten, die wie Kettenglieder ineinandergreifen. Jeder Schritt muss für sich stimmen und sich auf etwas stützen, das schon feststeht. Frage dich bei jedem Glied: Warum darf ich das sagen? Wenn du keinen Grund nennen kannst, fehlt ein Glied.

Satzanfänge, die beim Begründen helfen

Viele bleiben beim Begründen stecken, weil ihnen die ersten Worte fehlen. Die Tabelle gibt dir Satzanfänge für typische Situationen. Probiere sie beim Aufschreiben und beim Erklären aus.

Begründen mit Skizze und Punktebild

Eine Zeichnung kann ein echtes Argument sein, wenn sie zeigt, warum etwas für alle Größen gilt und nicht nur für die gezeichnete. Man nennt das eine inhaltlich-anschauliche Begründung. Ein Beispiel ist die Summe der ersten ungeraden Zahlen.

Die Schichten legen sich wie Winkelhaken um das wachsende Quadrat. Warum geht das bei jeder Anzahl so weiter? Wenn ein Quadrat k Reihen mit je k Punkten hat, braucht die nächste Schicht k Punkte an der rechten Seite, k Punkte unten und einen in der Ecke, das sind 2k + 1 Punkte. Das ist genau die nächste ungerade Zahl. Aus dem k-mal-k-Quadrat wird so ein (k + 1)-mal-(k + 1)-Quadrat. Also ergeben die ersten n ungeraden Zahlen zusammen immer n · n.

Genau dieses „von einem Quadrat zum nächsten“ ist der Gedanke der vollständigen Induktion, die du später formal kennenlernst. Wichtig ist, dass die Skizze nicht nur einen Fall zeigt, sondern den Übergang zum nächsten.

Übungen

Geschichte: Wie das Begründen zur Methode wurde

In der Frühzeit der Mathematik sammelte man vor allem Rechenregeln, die sich bewährt hatten. In der griechischen Mathematik wurde das Begründen zum Kern. Thales von Milet werden die ersten begründeten geometrischen Sätze zugeschrieben, doch von ihm ist nichts erhalten, und die Berichte sind viel später aufgeschrieben worden. Sicher ist, dass Euklid um 300 v. Chr. in seinen Elementen Definitionen, Grundannahmen und Sätze mit Beweisen zu einem Lehrgebäude ordnete. Die Lehre vom richtigen Schließen entwickelte schon Aristoteles; die Geschichte der Logik erzählt die Aussagenlogik.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik, Primarbereich (i. d. F. vom 23.06.2022), Abschnitt „Mathematisch argumentieren“
• Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Kompetenz „Mathematisch argumentieren“ (K1)
• George Pólya: Induction and Analogy in Mathematics, Princeton University Press, Princeton 1954.
• Martin Aigner, Günter M. Ziegler: Das BUCH der Beweise, Springer, Berlin.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.