Ableitung und Ableitungsregeln einfach erklärt

Die Ableitung einer Funktion $f$ an einer Stelle $x$ ist die Steigung der Tangente an den Graphen in diesem Punkt. Sie sagt, wie steil die Kurve dort ist, und gleichzeitig, wie schnell sich der Funktionswert gerade ändert: die momentane Änderungsrate. Man schreibt $f' (x)$ und spricht „ $f$ Strich von $x$ “.

Diese Seite geht tiefer als der Überblick in der Analysis. Du leitest die Ableitung selbst her, lernst alle Regeln samt je einem durchgerechneten Beispiel und wendest sie auf Tangenten und Änderungsraten an. Zum Kontrollieren hilft der Ableitungsrechner, zum Üben die Arbeitsblätter Ableitungen und Produkt-, Quotienten- und Kettenregel.

Steigung und Änderungsrate

Die Steigung einer Geraden kennst du: Höhenunterschied geteilt durch Breite. Bei einer Kurve ändert sich die Steigung von Punkt zu Punkt. Ein Tacho zeigt, was gemeint ist: Er misst keine Durchschnittsgeschwindigkeit über eine Strecke, sondern die Geschwindigkeit in genau diesem Augenblick. Mathematisch ist das die Ableitung des Weges nach der Zeit.

Sekante und Differenzenquotient

Um die Steigung einer Kurve in einem Punkt $P$ zu messen, legst du durch $P$ und einen zweiten Kurvenpunkt $Q$ eine Gerade, die Sekante. Ihre Steigung lässt sich ausrechnen. Hat $P$ die $x$ -Koordinate $x$ und $Q$ die Koordinate $x + h$ , ist die Steigung der Sekante der Differenzenquotient

m = \frac{f (x + h) - f (x)}{h} .

Je näher der zweite Punkt Q an P heranrückt, desto flacher wird die Sekante. Im Grenzfall wird sie zur Tangente mit der Steigung 2. Die Steigung der Sekante durch P und Q₁ ist 5,25 : 1,5 = 3,5.

Im Bild ist $f (x) = x^{2}$ und $P (1 | 1)$ . Rückt $Q$ immer näher an $P$ , wird die Sekante flacher und nähert sich der Tangente, die die Kurve in $P$ nur berührt. Die Tabelle zeigt die Sekantensteigungen. Wegen $\frac{(1 + h)^{2} - 1}{h} = 2 + h$ sind sie leicht zu berechnen. Der Punkt $Q$ darf auch links von $P$ liegen, dann ist $h$ negativ.

Sekantensteigungen durch $P (1 | 1)$ bei $f (x) = x^{2}$
$h$	2	1	0,1	0,01	−0,01	−0,1
Steigung $2 + h$	4	3	2,1	2,01	1,99	1,9

Von beiden Seiten laufen die Werte auf 2 zu. Diese Zahl ist die Steigung der Tangente.

Der Grenzübergang: die h-Methode

Der Trick: Du kürzt zuerst das $h$ im Nenner weg und setzt erst dann $h = 0$ ein. Setzt du $h = 0$ vorher ein, steht $\frac{0}{0}$ da, und das ist nicht erklärt.

Die Ableitungsfunktion

Die Ableitung gilt für jede Stelle $x$ . Ordnest du jedem $x$ die Tangentensteigung zu, erhältst du die Ableitungsfunktion $f'$ . Aus ihrem Graphen liest du den Verlauf von $f$ ab:

Funktion und Ableitung im Vergleich. An den Nullstellen von f′ hat f einen Hoch- und einen Tiefpunkt. Wo f′ positiv ist, steigt f, wo f′ negativ ist, fällt f.

$f' (x) > 0$ : Der Graph von $f$ steigt.
$f' (x) < 0$ : Der Graph von $f$ fällt.
$f' (x) = 0$ : Die Tangente ist waagerecht, dort liegt oft ein Hoch- oder Tiefpunkt.

Nicht jede Funktion ist überall differenzierbar. Bei $f (x) = | x |$ ist die Sekantensteigung bei $x = 0$ rechts immer $+ 1$ und links immer $- 1$ . Beide Grenzwerte sind verschieden, der Graph hat dort einen Knick und keine Tangente. Wer differenzierbar ist, ist stetig, aber die Umkehrung gilt nicht.

Die Grundregeln

Grundregeln des Ableitens
Regel	Funktion	Ableitung
Konstante	$f (x) = c$	$f' (x) = 0$
Potenzregel	$f (x) = x^{n}$	$f' (x) = n x^{n - 1}$
Faktorregel	$f (x) = c \cdot u (x)$	$f' (x) = c \cdot u' (x)$
Summenregel	$f (x) = u (x) + v (x)$	$f' (x) = u' (x) + v' (x)$

Die Potenzregel gilt für jeden Exponenten $n$ , auch für negative und gebrochene. Deshalb schreibst du Brüche und Wurzeln vor dem Ableiten als Potenzen: $\frac{1}{x} = x^{- 1}$ und $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ .

Ableitungen von e-Funktion, Logarithmus, Sinus und Kosinus

Wichtige Ableitungen
Funktion	Ableitung
$e^{x}$	$e^{x}$
$\ln x$ (für $x > 0$ )	$\frac{1}{x}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$- \sin x$

Die e-Funktion ist die einzige Funktion, die gleich ihrer eigenen Ableitung ist (bis auf einen Faktor). Das erklärt, warum sie Wachstum so gut beschreibt: Je größer der Bestand, desto schneller wächst er. Der natürliche Logarithmus ist ihre Umkehrung. Bei Sinus und Kosinus gilt im Bogenmaß: Die Steigung der Sinuskurve bei 0 ist $\cos 0 = 1$ , bei $\frac{π}{2}$ ist sie $\cos \frac{π}{2} = 0$ (Hochpunkt).

Die Produktregel

Ein Produkt $u (x) \cdot v (x)$ kannst du dir als Rechteck mit den Seiten $u$ und $v$ vorstellen. Ändern sich beide Seiten ein wenig, wächst die Fläche um zwei Streifen und ein winziges Eckstück:

Das Produkt u · v als Rechtecksfläche. Wächst u um Δu und v um Δv, kommen zwei Streifen und ein winziges Eckstück dazu. Das Eckstück verschwindet beim Grenzübergang, übrig bleiben u′v + uv′.

Das Eckstück ist klein gegenüber den Streifen und verschwindet beim Grenzübergang. Daraus folgt:

Die Quotientenregel

Die Kettenregel

Bei einer verketteten Funktion $f (x) = u (v (x))$ steckt eine innere Funktion $v$ in einer äußeren Funktion $u$ . Du leitest die äußere Funktion ab, setzt die innere Funktion unverändert ein und multiplizierst mit der Ableitung der inneren:

Beispiele zur Kettenregel
Funktion	äußere Funktion	innere Funktion	Ableitung
$(3 x - 2)^{4}$	$u^{4}$	$3 x - 2$	$4 (3 x - 2)^{3} \cdot 3 = 12 (3 x - 2)^{3}$
$e^{x^{2}}$	$e^{u}$	$x^{2}$	$e^{x^{2}} \cdot 2 x = 2 x e^{x^{2}}$
$\sin (2 x)$	$\sin u$	$2 x$	$\cos (2 x) \cdot 2 = 2 \cos (2 x)$
$\ln (5 x + 1)$	$\ln u$	$5 x + 1$	$\frac{1}{5 x + 1} \cdot 5 = \frac{5}{5 x + 1}$

Höhere Ableitungen

Die Ableitung $f'$ ist selbst eine Funktion und lässt sich wieder ableiten. Das ergibt die zweite Ableitung $f''$ , danach $f'''$ und so weiter. Für $f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$ gilt:

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x$
$f'' (x) = 12 x^{2} - 4$
$f''' (x) = 24 x$
$f^{(4)} (x) = 24$ und $f^{(5)} (x) = 0$

Die zweite Ableitung beschreibt die Krümmung: Bei $f'' (x) > 0$ biegt sich der Graph nach links (wie eine Schale), bei $f'' (x) < 0$ nach rechts. Beim Auto ist der Weg $s (t)$ , die erste Ableitung $s' (t) = v (t)$ die Geschwindigkeit und die zweite $s'' (t) = a (t)$ die Beschleunigung. Für $s (t) = 2 t^{2} + 3 t$ (in Metern, $t$ in Sekunden) ist $v (t) = 4 t + 3$ und $a (t) = 4$ . Nach 5 Sekunden fährt das Auto mit $v (5) = 23$ m/s, das sind $23 \cdot 3,6 = 82,8$ km/h.

Die Tangentengleichung

Die Tangente im Punkt $(a | f (a))$ ist eine Gerade mit der Steigung $f' (a)$ , die durch diesen Punkt läuft:

Den Funktionsverlauf kannst du mit dem Funktionsplotter zeichnen lassen. Wie du mit der Ableitung Hoch-, Tief- und Wendepunkte findest, steht bei der Kurvendiskussion, und für ganzrationale Funktionen bei den ganzrationalen Funktionen.

Bedeutung der Ableitung

Die Ableitung misst überall, wo sich etwas ändert, wie schnell das geschieht. Der Weg ändert sich mit der Geschwindigkeit, die Geschwindigkeit mit der Beschleunigung, die Temperatur mit der Abkühlrate. Die Einheit zeigt es: Meter pro Sekunde, Grad pro Minute.

Typische Fehler

Produkt falsch ableiten: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$ , nicht $u' \cdot v'$ . Das siehst du an $x \cdot x$ : Die Ableitung von $x^{2}$ ist $2 x$ und nicht $1 \cdot 1$ .
Innere Ableitung vergessen: Bei $(3 x - 2)^{4}$ ergibt $4 (3 x - 2)^{3}$ nicht das ganze Ergebnis, es fehlt der Faktor 3.
Potenzregel auf $e^{x}$ : Die Ableitung von $e^{x}$ ist $e^{x}$ und nicht $x \cdot e^{x - 1}$ . Die Potenzregel gilt nur, wenn die Variable in der Basis steht.
Quotientenregel: Im Zähler steht Nenner mal $u'$ minus Zähler mal $v'$ . Vertauscht du die Terme, kehrt sich das Vorzeichen um.
Konstante Summanden: $(x^{2} + 5)' = 2 x$ , die 5 fällt weg, und $(5 x)' = 5$ .
$f' (a)$ und $f (a)$ verwechseln: Die Steigung der Tangente ist $f' (a)$ , der Funktionswert $f (a)$ gehört zur $y$ -Koordinate des Berührpunkts.
Wurzeln und Brüche nicht umschreiben: Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als $x^{- 2}$ , dann reicht die Potenzregel.

Übungen

Geschichte: von Fermat bis Cauchy

Tangenten und Extremwerte beschäftigten die Mathematik lange vor der Ableitung. Pierre de Fermat entwickelte um 1630 ein Verfahren, das praktisch auf Ableiten hinauslief. Im späten 17. Jahrhundert schufen Isaac Newton (als Fluxionsrechnung) und Gottfried Wilhelm Leibniz unabhängig voneinander einen Kalkül, der Ableitungen mit Regeln berechnete. Leibniz veröffentlichte 1684 zuerst. Wer die Methode zuerst hatte, führte zum Prioritätsstreit.

Beide arbeiteten mit „unendlich kleinen“ Größen, die nicht sauber erklärt waren. Augustin-Louis Cauchy definierte die Ableitung 1823 als Grenzwert des Differenzenquotienten. Das ist die Definition, die du oben gelernt hast.

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Differenzenquotient und Ableitung?

Der Differenzenquotient ist die Steigung einer Sekante, also eine mittlere Änderungsrate über ein Intervall der Breite $h$ . Die Ableitung ist sein Grenzwert für $h \to 0$ und damit die Steigung der Tangente.

Warum ist die Ableitung von

e^{x}

wieder

e^{x}

Die Zahl $e$ ist gerade so gewählt, dass die Kurve $y = e^{x}$ in jedem Punkt eine Steigung hat, die gleich dem Funktionswert ist. Bei $x = 0$ ist der Wert 1 und die Steigung ebenfalls 1.

Wann ist eine Funktion nicht differenzierbar?

Zum Beispiel bei einem Knick wie bei $| x |$ an der Stelle 0, bei einem Sprung oder einer Lücke und bei einer senkrechten Tangente wie bei $\sqrt{x}$ an der Stelle 0.

Muss ich immer die h-Methode benutzen?

Nein. Die Ableitungsregeln sind aus ihr hergeleitet und sparen Rechenarbeit. Die h-Methode brauchst du, um zu verstehen, was eine Ableitung ist, und für Funktionen, die nicht in die Regeln passen.

Quellen und weiterführende Literatur

Wikipedia: Differentialrechnung
Wikipedia: Differenzenquotient
Wikipedia: Notation for differentiation (englisch)
Gottfried Wilhelm Leibniz: Nova Methodus pro Maximis et Minimis, Acta Eruditorum, 1684.
Augustin-Louis Cauchy: Résumé des leçons données à l’École royale polytechnique sur le calcul infinitésimal, 1823.