Funktionentheorie: holomorphe Funktionen, Cauchy und Residuensatz

Die Analysis im Reellen kennt differenzierbare Funktionen, die nirgends zweimal differenzierbar sind, und stetige Funktionen ohne jede Ableitung. Im Komplexen ist das anders: Wer einmal komplex differenzierbar ist, ist beliebig oft differenzierbar und lässt sich durch eine Potenzreihe darstellen. Die Funktionentheorie untersucht diese Funktionen und zeigt erstaunliche Zusammenhänge: Der Wert im Inneren eines Kreises ergibt sich aus den Werten auf dem Rand, und Integrale, die im Reellen nur mit Mühe zu berechnen sind, ergeben sich aus ein paar Zahlen.

Du brauchst die komplexen Zahlen, Potenzreihen und die Kurvenintegrale.

Komplexe Differenzierbarkeit

Die Ableitungsregeln (Summe, Produkt, Quotient, Kettenregel) gelten wörtlich wie im Reellen, und ${(z^n)}^{\prime }=n{z}^{n-1}$, ${(e^z)}^{\prime }=e^z$. Die Bedingung „aus jeder Richtung“ ist viel strenger als im Reellen. Die Funktion $f(z)=\overline{z}$ (komplexe Konjugation) ist nirgends komplex differenzierbar: Für $h$ reell ist der Differenzenquotient $\frac{\overline{h}}{h}=1$, für $h=it$ rein imaginär ist er $\frac{-it}{it}=-1$. Die beiden Grenzwerte sind verschieden.

Die Cauchy-Riemann-Gleichungen

Schreibe $z=x+iy$ und $f=u+iv$ mit reellen Funktionen $u(x,y)$ und $v(x,y)$. Läuft $h$ reell, so ist die Ableitung $f^{\prime }=u_x+i{v}_x$. Läuft $h=it$ imaginär, so ist $f^{\prime }=\frac{1}{i}(u_y+i{v}_y)=v_y-i{u}_y$. Beide Werte sind gleich, also $u_x=v_y$ und $v_x=-u_y$.

Für $f(z)=z^2$ ist $u=x^2-y^2$ und $v=2xy$. Es ist $u_x=2x=v_y$ und $u_y=-2y=-v_x$, also ist $z^2$ holomorph mit $f^{\prime }=2x+2iy=2z$. Für $f(z)=\overline{z}$ ist $u=x$, $v=-y$ und $u_x=1\ne -1=v_y$: nicht holomorph. Aus den Gleichungen folgt durch nochmaliges Ableiten $u_{xx}+u_{yy}=v_{yx}-v_{xy}=0$: Real- und Imaginärteil sind harmonisch. Deshalb tauchen holomorphe Funktionen in der Elektrostatik und in der Strömungslehre auf. Geometrisch ist eine holomorphe Funktion mit $f^{\prime }(z_0)\ne 0$ lokal eine Drehstreckung und damit winkeltreu (konform).

Kurvenintegrale und der Integralsatz

Für eine stückweise glatte Kurve $\gamma :[a,b]\to ℂ$ ist ${\int }_{\gamma }f\text{d}z={\int }_a^{b}f(\gamma (t)){\gamma }^{\prime }(t)\text{d}t$. Eine Abschätzung begleitet jedes solche Integral: $\left|{\int }_{\gamma }f\text{d}z\right|\le L(\gamma )·\underset{\gamma }{\max }\left|f\right|$ mit der Länge $L(\gamma )$.

Beweis (für stetig differenzierbares $f$ und eine einfach geschlossene Kurve $\gamma$). Mit $\text{d}z=\text{d}x+i\text{d}y$ ist $\oint f\text{d}z=\oint (u\text{d}x-v\text{d}y)+i\oint (v\text{d}x+u\text{d}y)$. Nach dem Satz von Green (siehe Vektoranalysis) ist das $\iint (-v_x-u_y)\text{d}A+i\iint (u_x-v_y)\text{d}A$ über das von $\gamma$ umschlossene Gebiet. Nach den Cauchy-Riemann-Gleichungen verschwinden beide Integranden. $\square$ Goursat zeigte später, dass die stetige Differenzierbarkeit nicht nötig ist.

Der Satz erklärt die Rolle von $\frac{1}{z}$: Auf $ℂ\setminus \left\{0\right\}$, das nicht einfach zusammenhängend ist, gilt der Integralsatz nicht. Das Integral ${\oint }_{\left|z\right|=1}\frac{\text{d}z}{z}=2\pi i$ ist nicht $0$, weil $\frac{1}{z}$ im Inneren des Kreises nicht holomorph ist.

Die Cauchysche Integralformel

Beweisidee. Der Integrand $\frac{f(w)}{w-z}$ ist bis auf den Punkt $w=z$ holomorph. Mit dem Integralsatz darf man den Kreis auf einen kleinen Kreis um $z$ zusammenziehen. Dort ist $f(w)\approx f(z)$, und $\oint \frac{\text{d}w}{w-z}=2\pi i$ liefert $f(z)$ im Grenzwert. Differenziert man unter dem Integral, entstehen die Formeln für die Ableitungen.

Die Folgerungen sind erstaunlich. Erstens ist jede holomorphe Funktion beliebig oft komplex differenzierbar und lässt sich in eine Potenzreihe entwickeln, die auf jeder Kreisscheibe konvergiert, die im Definitionsgebiet liegt. Zweitens gilt die Mittelwerteigenschaft: $f(z_0)$ ist der Mittelwert von $f$ auf jedem Kreis um $z_0$, und daraus folgt das Maximumprinzip. Drittens der Satz von Liouville: Eine auf ganz $ℂ$ holomorphe und beschränkte Funktion ist konstant. Beweis. Ist $\left|f\right|\le M$, dann gilt nach der Formel für $f^{\prime }$ die Abschätzung $|f^{\prime }(z_0)|\le \frac{n!M}{r^n}$ mit $n=1$, also $|f^{\prime }(z_0)|\le \frac{M}{r}$ für jedes $r$. Mit $r\to \infty$ folgt $f^{\prime }=0$. $\square$ Daraus ergibt sich der Fundamentalsatz der Algebra: Ein nichtkonstantes Polynom $p$ hat eine Nullstelle in $ℂ$. Sonst wäre $\frac{1}{p}$ ganz und beschränkt, also konstant.

Laurentreihen und Residuen

An Stellen, an denen $f$ nicht holomorph ist, helfen Reihen mit negativen Potenzen. In einem Kreisring $0<|z-z_0|<R$ lässt sich eine holomorphe Funktion als Laurentreihe $f(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{a}_k{(z-z_0)}^k$ schreiben. Je nach dem Hauptteil (den Gliedern mit $k<0$) hat $z_0$ eine hebbare Singularität (kein Hauptteil, wie $\frac{\sin z}{z}$ bei $0$), einen Pol der Ordnung $m$ (der Hauptteil endet bei ${(z-z_0)}^{-m}$, wie $\frac{1}{z^2}$) oder eine wesentliche Singularität (unendlich viele negative Potenzen, wie $e^{1/z}$). Der Koeffizient $a_{-1}$ heißt das Residuum ${\mathrm{Res}}_{z_0}f$. Nach dem Beispiel oben ist ${\oint }_{|z-z_0|=r}f\text{d}z=2\pi i{a}_{-1}$, denn nur das Glied $a_{-1}{(z-z_0)}^{-1}$ trägt bei.

Für einen Pol der Ordnung $m$ gilt:

Beispiele: $\frac{1}{z^2+1}$ hat bei $z=i$ einen einfachen Pol mit $\mathrm{Res}=\frac{1}{2z}{|}_{z=i}=\frac{1}{2i}$. Die Funktion $\frac{e^z}{z^3}$ hat bei $0$ einen Pol der Ordnung $3$ und das Residuum $\frac{1}{2!}{(e^z)}^{″}{|}_0=\frac{1}{2}$, denn $e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+\dots$ liefert den Koeffizienten von $z^2$ in $e^z$.

Der Residuensatz

Beweis. Umschließe jede Singularität mit einem kleinen Kreis. Nach dem Integralsatz ist das Integral über $\gamma$ die Summe der Integrale über diese Kreise, und jedes ergibt $2\pi i$ mal das Residuum. $\square$

Mit dem Residuensatz berechnet man auch Fourier-Integrale, Summen unendlicher Reihen und die Transformationen auf den Seiten Laplace-Transformation und Fourierreihen.

Übungen

Immer neue Aufgaben mit Lösungen gibt es auf dem Blatt Residuen und Cauchy-Formeln.

Geschichte: von Cauchy zu Riemann und Weierstraß

Komplexe Zahlen benutzte man seit dem 16. Jahrhundert beim Lösen von Gleichungen, Funktionen einer komplexen Veränderlichen wurden im 18. Jahrhundert untersucht. Carl Friedrich Gauß kannte den Integralsatz schon 1811 aus einem Brief an Bessel, veröffentlichte ihn aber nicht. Augustin-Louis Cauchy bewies ihn 1825 in seiner Abhandlung über bestimmte Integrale zwischen imaginären Grenzen, die Integralformeln folgten 1831, der Residuenkalkül ebenfalls bei Cauchy. Als Hauptbegründer der Theorie gelten Cauchy, Bernhard Riemann mit seiner geometrischen Sicht (konforme Abbildungen, Riemannsche Flächen) und Karl Weierstraß, der die Theorie streng auf Potenzreihen aufbaute.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Funktionentheorie
• Wikipedia: Cauchysche Integralformel
• Wikipedia: Residuensatz
• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, Springer, Berlin.
• Reinhold Remmert: Funktionentheorie 1, Springer, Berlin.