Schriftliches Dividieren

Das schriftliche Dividieren ist ein Rechenverfahren, mit dem du große Zahlen auf Papier teilen kannst, zum Beispiel 852 : 4 oder 7.462 : 26. Du fragst dich: Wie oft passt die zweite Zahl in die erste? Weil das bei großen Zahlen im Kopf schwer ist, teilst du die Aufgabe in kleine Schritte auf. Du bearbeitest die erste Zahl Stelle für Stelle von links nach rechts, und in jedem Schritt brauchst du nur das Einmaleins und das Abziehen.

Die Fachwörter: Die Zahl, die geteilt wird, heißt Dividend. Die Zahl, durch die du teilst, heißt Divisor, und das Ergebnis heißt Quotient. In 852 : 4 = 213 ist also 852 der Dividend, 4 der Divisor und 213 der Quotient. Auf dieser Seite gehst du Schritt für Schritt vor: erst mit einer einstelligen Zahl, dann mit Null im Ergebnis, mit Rest und mit zweistelligem Divisor. Dazu kommen Probe, typische Fehler, Übungen mit Lösungen und ein Blick in die Geschichte.

Was ist Teilen und was ist schriftliches Dividieren?

Teilen kann zweierlei bedeuten. Erstens gerecht verteilen: 24 Bonbons für 4 Kinder, jedes Kind bekommt 6. Zweitens wie oft passt das hinein: In 24 passt die 4 genau sechsmal. Beide Fragen führen zur Rechnung 24 : 4 = 6. Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation, denn aus 6 · 4 = 24 folgt 24 : 4 = 6. Eine Übersicht zu allen Grundrechenarten findest du auf der Seite Arithmetik, und die Division mit Vorzeichen steht bei den ganzen Zahlen.

Bei 852 : 4 hilft das Einmaleins allein nicht weiter, denn 852 steht in keiner Reihe. Darum zerlegst du den Dividenden nach Stellenwerten: 852 sind 8 Hunderter, 5 Zehner und 2 Einer (die Stellenwerte kennst du vom schriftlichen Rechnen). Du teilst zuerst die Hunderter, dann die Zehner, dann die Einer. Was beim Teilen übrig bleibt, wird in die nächste kleinere Stelle umgetauscht und mitgeteilt.

Mit einstelligem Divisor Schritt für Schritt

Rechne 852 : 4. Der Divisor hat nur eine Ziffer. Du schreibst die Aufgabe so auf: 852 : 4 = und lässt hinter dem Gleichheitszeichen Platz für den Quotienten.

1. Hunderter: Teile 8 : 4 = 2. Schreibe die 2 hinter das Gleichheitszeichen. Nimm sie mal: 2 · 4 = 8. Ziehe ab: 8 − 8 = 0. Es bleibt nichts übrig.
2. Zehner: Hole die nächste Ziffer herunter, die 5. Teile 5 : 4 = 1 Rest 1. Schreibe die 1 in den Quotienten. Nimm sie mal: 1 · 4 = 4. Ziehe ab: 5 − 4 = 1.
3. Einer: Hole die 2 herunter. Neben dem Rest 1 entsteht die Zahl 12. Teile 12 : 4 = 3. Schreibe die 3 in den Quotienten. Nimm sie mal: 3 · 4 = 12. Ziehe ab: 12 − 12 = 0.

Es sind keine Ziffern mehr übrig und der Rest ist 0. Das Ergebnis ist 852 : 4 = 213.

Wenn eine Null im Ergebnis steht

Manchmal passt der Divisor in einem Schritt kein einziges Mal in die aktuelle Zahl. Dann steht an dieser Stelle im Quotienten eine 0. Das ist der Schritt, den die meisten vergessen. Rechne 812 : 4.

1. Hunderter: 8 : 4 = 2. Schreibe 2. Es ist 2 · 4 = 8 und 8 − 8 = 0.
2. Zehner: Hole die 1 herunter. Es ist 1 : 4 = 0, denn die 4 passt in die 1 nicht hinein. Schreibe die 0 in den Quotienten. Es ist 0 · 4 = 0 und 1 − 0 = 1. Der Rest 1 bleibt stehen.
3. Einer: Hole die 2 herunter. Neben dem Rest 1 entsteht 12. Es ist 12 : 4 = 3. Schreibe 3.

Das Ergebnis ist 812 : 4 = 203. Probe: 203 · 4 = 812.

Ein zweiter Fall: Der Dividend beginnt mit einer Ziffer, die kleiner als der Divisor ist, etwa 3.075 : 5. Mit der 3 allein geht es nicht, denn 3 : 5 kannst du nicht ohne Rest teilen. Nimm dann die ersten zwei Ziffern: 30 : 5 = 6. Diese 6 steht im Quotienten bei den Hundertern, denn sie gehört zur Stelle der 0 im Dividenden. Weiter: Hole die 7 herunter, 7 : 5 = 1 Rest 2. Hole die 5 herunter, 25 : 5 = 5. Das Ergebnis ist 615. Der Quotient hat hier also nur drei Stellen, obwohl der Dividend vier hat.

Division mit Rest

Nicht jede Division geht auf. 25 : 4 ergibt 6, und es bleibt 1 übrig, denn 6 · 4 = 24. Man schreibt 25 : 4 = 6 Rest 1. Auch beim schriftlichen Verfahren bleibt am Ende manchmal ein Rest stehen. Rechne 1.475 : 6.

1. Die 1 ist kleiner als 6. Nimm die ersten zwei Ziffern: 14 : 6 = 2. Es ist 2 · 6 = 12 und 14 − 12 = 2.
2. Hole die 7 herunter, es entsteht 27. Es ist 27 : 6 = 4, denn 4 · 6 = 24, und 27 − 24 = 3.
3. Hole die 5 herunter, es entsteht 35. Es ist 35 : 6 = 5, denn 5 · 6 = 30, und 35 − 30 = 5.

Keine Ziffer ist mehr übrig, der Rest 5 bleibt. Das Ergebnis ist 1.475 : 6 = 245 Rest 5.

Ob eine Division ohne Rest aufgeht, erkennst du oft schon an den Ziffern: Eine Zahl ist zum Beispiel durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Alle Teilbarkeitsregeln stehen bei den ganzen Zahlen, und die Begriffe Teiler und Vielfache erklärt die Seite über Zahlen. Wenn du viele Aufgaben mit Rest üben willst, findest du immer neue Aufgaben im Arbeitsblatt Teilen mit Rest.

Mit zweistelligem Divisor

Hat der Divisor zwei oder mehr Ziffern, bleibt das Verfahren gleich. Nur das Teilen im Kopf wird schwerer, denn die Ziffer des Quotienten steht nicht mehr direkt im Einmaleins. Hier hilft ein Überschlag bei jedem Teilschritt. Rechne 7.462 : 26.

Zuerst schreibst du dir die Vielfachen des Divisors auf, das ist eine kleine Hilfstabelle: 1 · 26 = 26, 2 · 26 = 52, 3 · 26 = 78, 4 · 26 = 104, 5 · 26 = 130, 6 · 26 = 156, 7 · 26 = 182, 8 · 26 = 208, 9 · 26 = 234. Das kostet etwas Zeit, spart aber Fehler.

1. Erster Teilschritt: Die 7 ist kleiner als 26, also nimmst du die ersten zwei Ziffern: 74. Überschlag: 26 ist ungefähr 30, und 74 ist ungefähr 60. Es ist 60 : 30 = 2. Probiere die 2: 2 · 26 = 52, und 74 − 52 = 22. Der Rest 22 ist kleiner als 26, die 2 passt.
2. Zweiter Teilschritt: Hole die 6 herunter, es entsteht 226. Überschlag: 226 ist ungefähr 240, und 240 : 30 = 8. Probiere die 8: 8 · 26 = 208, und 226 − 208 = 18. Der Rest 18 ist kleiner als 26, die 8 passt.
3. Dritter Teilschritt: Hole die 2 herunter, es entsteht 182. Überschlag: 182 ist ungefähr 180, und 180 : 30 = 6. Probiere die 6: 6 · 26 = 156, und 182 − 156 = 26. Der Rest 26 ist nicht kleiner als 26, die 6 war also zu klein. Probiere die 7: 7 · 26 = 182, und 182 − 182 = 0.

Das Ergebnis ist 7.462 : 26 = 287. Probe: 287 · 26 = 287 · 20 + 287 · 6 = 5.740 + 1.722 = 7.462. Wie das schriftliche Malnehmen im Detail aussieht, zeigt die Seite Schriftliches Multiplizieren.

Zwei kurze Fälle noch: Bei 3.276 : 12 ist der erste Teilschritt 32 : 12 = 2 mit Rest 8, dann 87 : 12 = 7 mit Rest 3, dann 36 : 12 = 3 ohne Rest, also 3.276 : 12 = 273. Und bei 5.084 : 28 bleibt am Ende ein Rest: 5.084 : 28 = 181 Rest 16, denn 181 · 28 = 5.068 und 5.068 + 16 = 5.084.

Beim Teilen durch 10, 100 oder 1.000 geht es ohne Verfahren: Du streichst Nullen. So ist 4.500 : 100 = 45. Das ist die Umkehrung des Anhängens von Nullen beim Malnehmen.

Die Probe: Ist das Ergebnis richtig?

Die Division kehrt die Multiplikation um, darum ist die Probe einfach:

• Probe ohne Rest: Quotient · Divisor = Dividend. Beispiel: 213 · 4 = 852.
• Probe mit Rest: Quotient · Divisor + Rest = Dividend. Beispiel: 245 · 6 + 5 = 1.475.
• Überschlag: Runde Dividend und Divisor so, dass du im Kopf teilen kannst. 1.475 : 6 ist ungefähr 1.500 : 6 = 250. Das Ergebnis 245 liegt in der Nähe.
• Stellenzahl prüfen: Der Überschlag verrät auch, wie viele Stellen der Quotient hat. Bei 3.075 : 5 ist 3.000 : 5 = 600, also ein dreistelliges Ergebnis.

Beim Malnehmen für die Probe hilft dir das schriftliche Multiplizieren, und für das Abziehen in jedem Teilschritt das schriftliche Subtrahieren. Die Addition für die Probe mit Rest erklärt das schriftliche Addieren.

Übungen

Noch mehr Aufgaben mit immer neuen Zahlen zum Ausdrucken gibt es im Arbeitsblatt Schriftlich rechnen.

Geschichte: Vom Sandbrett zur Feder

Die Division galt lange als schwierigste der vier Grundrechenarten. Das liegt am Probieren: Man muss jede Ziffer des Quotienten erst erraten und dann prüfen. Das Verfahren stammt nicht aus Europa. Die Ziffern 0 bis 9 stammen aus der indischen Mathematik. Gelehrte der islamischen Welt wie al-Chwarizmi beschrieben sie in ihren Büchern und verbreiteten sie. Das Verfahren eignete sich gut zum Rechnen auf einem Sandbrett: Man schrieb die Ziffern in den Sand und wischte die verbrauchten wieder weg.

Nach Europa kamen die Ziffern vor allem durch Leonardo von Pisa (Fibonacci) und sein Rechenbuch Liber abaci von 1202. Die mittelalterliche europäische Mathematik rechnete aber noch lange auch auf dem Rechenbrett mit Rechenpfennigen. Dort lässt sich die Division auf wiederholtes Abziehen des Divisors zurückführen: Wie oft kannst du 4 von 852 abziehen, bis nichts mehr übrig ist?

Im 16. Jahrhundert lehrte Adam Ries (1492/93–1559) in deutscher Sprache das Rechnen auf den Linien und mit der Feder. Sein zweites Rechenbuch von 1522 behandelt die Grundrechenarten einschließlich des Dividierens mit Ziffern und wurde weit über hundertmal gedruckt. Mehr zu dieser Zeit steht in der Epoche Mathematik des 16. Jahrhunderts. Das heutige Schulverfahren mit Abziehen unter dem Dividenden ersetzte die Galeerendivision erst später, vermutlich weil es sich mit Drucktypen leichter setzen ließ als durchgestrichene Ziffern. Das ist eine Vermutung aus der Literatur, kein sicher belegter Zeitpunkt.

Häufige Fragen

Wie heißen die Zahlen bei der Division?

Die Zahl, die geteilt wird, ist der Dividend. Die Zahl, durch die du teilst, ist der Divisor. Das Ergebnis heißt Quotient. Bleibt etwas übrig, nennt man es Rest.

Warum fange ich beim Dividieren links an?

Weil du mit der größten Stelle beginnen musst. Bleibt dort ein Rest, wird er in die nächste kleinere Stelle umgetauscht: Ein Hunderter sind zehn Zehner. Beim Addieren und Malnehmen beginnst du dagegen rechts, weil dort der Übertrag nach links wandert.

Was tue ich, wenn ich die Ziffer des Quotienten nicht finde?

Schreibe dir die Vielfachen des Divisors auf und suche das größte, das nicht größer ist als die Zahl oben. Oder mache einen Überschlag mit gerundeten Zahlen und probiere die Ziffer, dann eine daneben.

Was ist, wenn der Dividend kleiner ist als der Divisor?

Dann ist der Quotient 0 und die ganze Zahl bleibt Rest. So ist 3 : 5 = 0 Rest 3. Als Kommazahl ist es 0,6.

Wenn du Plus, Minus, Mal und Geteilt sicher kannst, schau dir die Übersicht Arithmetik an. Dort geht es weiter mit Brüchen, Dezimalzahlen und Prozenten.

Quellen und weiterführende Literatur

• Friedhelm Padberg, Christiane Benz: Didaktik der Arithmetik, Springer Spektrum, Heidelberg.
• Wikipedia: Schriftliche Division
• Wikipedia: Galley division (englisch)
• MacTutor History of Mathematics: Adam Ries (englisch)
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.