Ganze Zahlen

Ganze Zahlen sind die Zahlen …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …: die natürlichen Zahlen, die Null und alle negativen Zahlen. Du brauchst sie, sobald etwas „unter null“ liegt, zum Beispiel bei Temperaturen im Winter, bei Schulden auf dem Konto oder bei Stockwerken im Keller. Hier lernst du, wie du ganze Zahlen auf der Zahlengeraden einordnest, vergleichst und mit ihnen rechnest.

Dazu kommen das Stellenwertsystem, mit dem du jede Zahl lesen kannst, und die Teilbarkeitsregeln, die dir Rechnen ersparen. Am Ende erfährst du, wie chinesische und indische Gelehrte vor rund 2.000 und vor rund 1.400 Jahren Regeln für Schulden fanden. Die Seite gehört zur Arithmetik.

Negative Zahlen und ganze Zahlen

Das Thermometer zeigt −7 °C, dein Konto steht bei −35 Euro, der Aufzug fährt in die Etage −2 der Tiefgarage. Überall dort sind negative Zahlen im Spiel, also Zahlen mit einem Minuszeichen als Vorzeichen. Die Zahlen über null heißen positiv. Die Null selbst ist weder positiv noch negativ. Zu jeder Zahl gehört eine Gegenzahl mit anderem Vorzeichen: Zu 5 gehört −5, zu −8 gehört 8. Beide liegen gleich weit von der Null entfernt.

Definition: Ganze Zahlen

Zahlenstrahl und Orientierung

Den Zahlenstrahl kennst du aus der Grundschule. Er beginnt bei der Null und läuft nach rechts. Mit den negativen Zahlen verlängerst du ihn nach links, und aus dem Strahl wird eine Zahlengerade. Rechts von der Null stehen die positiven Zahlen, links die negativen. Je weiter rechts eine Zahl steht, desto größer ist sie.

Stellenwerttafel verstehen

Unser Zahlensystem heißt Stellenwertsystem: Eine Ziffer hat je nach Stelle einen anderen Wert. Jede Stelle ist zehnmal so viel wert wie die rechts neben ihr. Die Stellenwerttafel hilft dir, große Zahlen zu lesen. Die Null hält dabei leere Stellen frei.

Erweiterte (dezimale) Schreibweise

In der erweiterten Schreibweise zerlegst du eine Zahl in ihre Stellenwerte. Das zeigt dir genau, was jede Ziffer bedeutet. Mit Zehnerpotenzen wird die Schreibweise noch kürzer.

Zahlen vergleichen und ordnen

Zwei ganze Zahlen vergleichst du mit der Zahlengeraden: Die Zahl, die weiter rechts liegt, ist größer. Daraus folgen drei Regeln. Jede positive Zahl ist größer als null, und null ist größer als jede negative Zahl. Jede positive Zahl ist größer als jede negative. Von zwei negativen Zahlen ist die mit dem kleineren Betrag die größere.

Größer-als-Beziehungen

Das Zeichen > heißt „größer als“. Es öffnet sich zur größeren Zahl, wie ein Krokodilmaul, das die größere Beute will. So gilt 7 > 2, aber auch −2 > −7, weil −2 weiter rechts liegt. Ebenso ist 3 > −10 und 0 > −1. Mit ≥ („größer oder gleich“) schließt du die Gleichheit ein.

Kleiner-als-Beziehungen

Das Zeichen < heißt „kleiner als“. Es gilt −9 < −3 und −15 < 2. Mehrere Zahlen ordnest du, indem du sie auf der Zahlengeraden von links nach rechts aufschreibst. Aus −8, 3, −2, 0, 5, −11 wird −11 < −8 < −2 < 0 < 3 < 5. Ungleichungen mit Variablen findest du auf der Seite Ungleichungen.

Addition und Subtraktion ganzer Zahlen

Auf der Zahlengeraden bedeutet Addieren, vom ersten Summanden aus nach rechts zu gehen, Subtrahieren heißt nach links gehen. Dabei hilft dir die Vorstellung von Guthaben und Schulden: Positive Zahlen sind Geld, das du hast, negative Zahlen sind Geld, das du schuldest.

Addition mit ganzen Zahlen

Beim Addieren kommt es auf die Vorzeichen an:

Subtraktion mit ganzen Zahlen

Subtrahieren führst du auf Addieren zurück: Statt eine Zahl abzuziehen, addierst du ihre Gegenzahl. Es gilt a − b = a + (−b). Aus 5 − 8 wird 5 + (−8) = −3. Steht ein Minus vor einer negativen Zahl, werden zwei Minuszeichen zu einem Plus.

Multiplikation und Division ganzer Zahlen

Beim Malnehmen und Teilen rechnest du zuerst mit den Beträgen, so wie du es kennst. Danach bestimmst du das Vorzeichen mit einer einfachen Regel: Haben beide Zahlen dasselbe Vorzeichen, ist das Ergebnis positiv. Haben sie verschiedene Vorzeichen, ist das Ergebnis negativ.

Multiplikation

Warum ergibt Minus mal Minus Plus? Schau dir ein Muster an: 3 · (−2) = −6, 2 · (−2) = −4, 1 · (−2) = −2, 0 · (−2) = 0. Das Ergebnis wird bei jedem Schritt um 2 größer. Setzt du das fort, folgt (−1) · (−2) = 2 und (−2) · (−2) = 4. Bei mehreren Faktoren zählst du die Minuszeichen: Eine gerade Anzahl ergibt Plus, eine ungerade Anzahl ergibt Minus. So ist (−2) · (−3) · (−4) = −24.

Division

Für die Division gelten dieselben Vorzeichenregeln, denn sie ist die Umkehrung der Multiplikation. Es ist (−24) : 6 = −4, (−24) : (−6) = 4 und 24 : (−6) = −4. Probe zur letzten Rechnung: (−4) · (−6) = 24. Außerdem gilt 0 : (−5) = 0, aber durch null teilst du nie. Geht eine Division nicht auf, wie 7 : 2, ist das Ergebnis keine ganze Zahl, sondern ein Bruch. Mehr dazu auf der Seite Brüche.

Teilbarkeitsregeln

Mit Teilbarkeitsregeln erkennst du an den Ziffern, ob eine Zahl durch eine andere ohne Rest teilbar ist. Das spart Rechenarbeit, etwa beim Kürzen oder bei der Primfaktorzerlegung. Bei negativen Zahlen ignorierst du das Vorzeichen: −48 ist wie 48 durch 6 teilbar.

Die Quersumme ist die Summe aller Ziffern. Die Wechselsumme bildest du von rechts nach links abwechselnd mit Plus und Minus. Die Quersummenregel klappt, weil 10, 100, 1.000 jeweils um 1 größer sind als 9, 99, 999, und diese sind durch 3 und 9 teilbar. Für die 7 gibt es keine kurze Regel, hier musst du rechnen.

Geschichte: Von Schulden zu negativen Zahlen

Lange galten Zahlen als etwas, das man zählen kann. Eine Zahl „kleiner als nichts“ klang unsinnig. Trotzdem tauchten negative Zahlen früh in der Praxis auf, nämlich beim Rechnen mit Gewinn und Verlust.

In China zeigt sich das im Rechenbuch Neun Kapitel der mathematischen Kunst, das in den Jahrhunderten um die Zeitenwende entstand. Beim Rechnen mit Stäbchen standen rote Stäbchen für positive und schwarze für negative Zahlen, und das Buch gibt Regeln für Addition und Subtraktion. Spätere Gelehrte wie Liu Hui erklärten sie in einem Kommentar. Mehr dazu in der chinesischen Mathematik.

In Indien formulierte Brahmagupta im Jahr 628 Regeln für „Vermögen“ und „Schulden“. Sinngemäß schrieb er: Das Produkt aus einer Schuld und einem Vermögen ist eine Schuld, das Produkt zweier Schulden ist ein Vermögen. Er behandelte auch die Null als Zahl, mit der man rechnen kann. Seine Regeln stimmen mit unseren Vorzeichenregeln überein.

In Europa blieben negative Zahlen lange verdächtig. Noch im 16. Jahrhundert nannte der Mathematiker Michael Stifel sie „absurde Zahlen“, siehe Mathematik des 16. Jahrhunderts. Erst nach und nach setzte sich durch, dass sie genauso zum Rechnen gehören wie die positiven.

Quellen und weiterführende Literatur

• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• Kurt Vogel: Neun Bücher arithmetischer Technik, Vieweg, Braunschweig 1968.
• MacTutor History of Mathematics: Brahmagupta (englisch)
• Wikipedia: Negative Zahl