Multiplikationstafeln (Einmaleins)

Das kleine Einmaleins ist die Tabelle aller Malaufgaben von 1 · 1 bis 10 · 10. Fast jede spätere Rechnung greift darauf zurück, vom schriftlichen Multiplizieren über das Rechnen mit Brüchen bis zu Gleichungen. Hier findest du die komplette Tafel, Lerntricks, einen Ausflug zum großen Einmaleins, Übungen mit Lösungen und einen Blick in die Geschichte.

Die gute Nachricht: Du musst nicht 100 Aufgaben pauken. Mit Tauschaufgaben und ein paar Tricks bleiben nur wenige übrig.

Die Multiplikationstafel von 1 bis 10

So liest du die Tafel: Suche links die Zeile der ersten Zahl und oben die Spalte der zweiten Zahl. Im Kreuzungsfeld steht das Produkt. Für 7 · 8 findest du in Zeile 7 und Spalte 8 die 56.

Wenn du die Tafel genau ansiehst, entdeckst du Muster. Die farbig markierte Diagonale zeigt die Quadratzahlen 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 und 100. An ihr ist die Tafel gespiegelt, weil 3 · 7 und 7 · 3 dasselbe ergeben.

Lerntricks für das Einmaleins

Tauschaufgaben nutzen

Wenn du 3 · 7 = 21 kennst, kennst du auch 7 · 3. Die Tafel hat 100 Felder, aber wegen der Spiegelung nur 55 verschiedene Aufgaben (10 · 11 : 2 = 55).

Leichte Reihen zuerst

• 1er- und 10er-Reihe: Bei 1 · 7 bleibt die Zahl gleich, bei 10 · 7 = 70 hängst du eine Null an.
• 2er-Reihe: Du verdoppelst: 2 · 8 = 8 + 8 = 16.
• 5er-Reihe: Sie ist die Hälfte der 10er-Reihe: 10 · 8 = 80, also 5 · 8 = 40. Das Ergebnis endet immer auf 0 oder 5.

Verdoppeln: 4er- und 8er-Reihe

Die 4er-Reihe ist zweimal verdoppelt, die 8er-Reihe dreimal verdoppelt.

Die Neunerreihe mit den Fingern

Spreize beide Hände und nummeriere die Finger von links nach rechts von 1 bis 10. Für 9 · n klappst du den n-ten Finger ein. Die Finger links davon sind die Zehner, die Finger rechts davon die Einer.

Zwei weitere Hilfen: Die Quersumme jedes Ergebnisses der Neunerreihe ist 9 (18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90). Außerdem gilt 9 · n = 10 · n − n, zum Beispiel 9 · 7 = 70 − 7 = 63.

Zerlegen: 6er- und 7er-Reihe

Schwierige Aufgaben zerlegst du in leichte. Das erlaubt das Distributivgesetz: Du darfst eine Zahl in zwei Teile zerlegen und beide Teile einzeln malnehmen. Bei 6 · 7 zerlegst du die 7 in 5 + 2 und rechnest 6 · 5 = 30 und 6 · 2 = 12. Zusammen ergibt das 42.

Nur 15 schwere Aufgaben

Nach diesen Tricks sind die Reihen von 1, 2, 5, 9 und 10 abgedeckt. Übrig bleiben nur die Aufgaben mit den Zahlen 3, 4, 6, 7 und 8, wenn man Tauschaufgaben nur einmal zählt:

3 · 3 = 9, 3 · 4 = 12, 3 · 6 = 18, 3 · 7 = 21, 3 · 8 = 24, 4 · 4 = 16, 4 · 6 = 24, 4 · 7 = 28, 4 · 8 = 32, 6 · 6 = 36, 6 · 7 = 42, 6 · 8 = 48, 7 · 7 = 49, 7 · 8 = 56 und 8 · 8 = 64.

Das große Einmaleins

Als großes Einmaleins bezeichnet man die Aufgaben mit Faktoren von 11 bis 20. Du kannst sie mit dem kleinen Einmaleins ausrechnen, indem du die Zahl in Zehner und Einer zerlegst.

Zwei Abkürzungen sind besonders hübsch. Eine Zahl von 1 bis 9 mal 11 schreibst du als Doppelzahl: 11 · 7 = 77. Und Zahlen, die auf 5 enden, quadrierst du so: Bei 15 · 15 rechnest du 1 · 2 = 2 und hängst 25 an, das ergibt 225.

So übst du das Einmaleins richtig

Fünf Minuten täglich bringen mehr als eine Stunde am Wochenende. Übe eine Reihe erst der Reihe nach, dann durcheinander, etwa mit Karteikarten oder Würfeln. Die Division läuft in der Tafel rückwärts.

Geschichte: Von Tontafeln zu Rechenstäbchen

Babylonische Multiplikationstafeln

Multiplikationstafeln sind sehr alt. Aus Babylonien sind aus der Zeit von etwa 1800 bis 1600 v. Chr. viele Tontafeln mit den Vielfachen ausgewählter Zahlen erhalten. Die Schreiber rechneten im Sechzigersystem, in dem es nicht zehn, sondern 59 Ziffernwerte gibt. Ein vollständiges Einmaleins hätte dort 59 · 59 = 3.481 Felder gebraucht.

China und die „Pythagoreische Tafel“

In der chinesischen Mathematik gelten die Tsinghua-Bambusstreifen aus der Zeit um 305 v. Chr. als älteste bekannte Multiplikationstafel im Dezimalsystem. Sie enthält die Zahlen 0,5, 1 bis 9 und die Zehner bis 90 und kommt damit auch mit halben Zahlen zurecht. In mehreren Sprachen heißt unsere Tafel bis heute nach Pythagoras, etwa im Französischen table de Pythagore und im Italienischen tavola pitagorica.

Napiers Rechenstäbchen

Im Jahr 1617 beschrieb der schottische Mathematiker John Napier in seiner Rabdologiae ein Hilfsmittel für alle, die das Einmaleins nicht sicher beherrschten: Stäbchen aus Holz, Knochen oder Elfenbein, die als „Napiers Knochen“ bekannt wurden. Auf jedem Stäbchen stehen die Vielfachen einer Ziffer von 1 bis 9, und die Felder sind diagonal geteilt: Oben links steht die Zehnerziffer, unten rechts die Einerziffer. Zum Multiplizieren legt man die Stäbchen für die Ziffern der Zahl nebeneinander und addiert entlang der Schrägstreifen. Mehr zu dieser Zeit steht in der Mathematik des 17. Jahrhunderts.