Brüche

Ein Bruch beschreibt einen Teil eines Ganzen oder das Ergebnis einer Division, die nicht aufgeht. Du schreibst ihn mit zwei Zahlen übereinander, getrennt durch den Bruchstrich: $\frac{3}{4}$ sind drei Viertel. Brüche begegnen dir ständig, beim Teilen einer Pizza, beim Backen (eine halbe Tasse Mehl) oder auf der Uhr (eine Viertelstunde).

Hier lernst du Schritt für Schritt, wie du Brüche kürzt, erweiterst, vergleichst und ordnest und wie du mit ihnen rechnest, auch mit gemischten Zahlen und Doppelbrüchen. Am Ende erfährst du, wie die alten Ägypter und Babylonier mit Brüchen rechneten und woher unser Bruchstrich stammt. Die Seite gehört zur Arithmetik.

Was sind Brüche?

Stell dir eine Pizza vor, die in vier gleich große Stücke geschnitten ist. Du isst drei davon. Dann hast du $\frac{3}{4}$ der Pizza gegessen. Die untere Zahl, der Nenner, verrät, in wie viele gleiche Teile das Ganze zerlegt ist (hier 4). Die obere Zahl, der Zähler, zählt, wie viele dieser Teile gemeint sind (hier 3). Dazwischen steht der Bruchstrich.

Echte Brüche, unechte Brüche und Stammbrüche

Ist der Zähler kleiner als der Nenner, nennt man den Bruch echt. Er ist kleiner als 1, zum Beispiel $\frac{2}{5}$. Ist der Zähler gleich groß oder größer, heißt er unecht: $\frac{4}{4}$ ist genau 1, $\frac{7}{4}$ ist größer als 1. Einen Bruch mit dem Zähler 1 nennt man Stammbruch, etwa $\frac{1}{8}$. Jede ganze Zahl lässt sich auch als Bruch schreiben: 5 = $\frac{5}{1}$ = $\frac{10}{2}$.

Gleichwertige (äquivalente) Brüche

Dieselbe Menge lässt sich mit verschiedenen Brüchen beschreiben. Die Hälfte einer Pizza ist $\frac{1}{2}$. Schneidest du die Pizza stattdessen in vier Stücke, sind zwei davon $\frac{2}{4}$. Bei acht Stücken sind es vier, also $\frac{4}{8}$. Die Brüche sehen verschieden aus, meinen aber dieselbe Menge. Man nennt sie gleichwertige oder äquivalente Brüche: $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{4}$ = $\frac{4}{8}$.

Erweitern: feiner einteilen

Beim Erweitern zerlegst du jedes Stück in kleinere Stücke. Dazu multiplizierst du Zähler und Nenner mit derselben Zahl, die nicht null ist. Der Wert bleibt gleich, nur die Einteilung ist feiner.

Brüche kürzen: gröber einteilen

Beim Kürzen machst du das Gegenteil: Du teilst Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl. Der Bruch wird einfacher, sein Wert bleibt gleich. Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner außer 1 keinen gemeinsamen Teiler mehr haben. Am schnellsten gelingt das mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT). Beim Suchen helfen dir die Teilbarkeitsregeln.

Brüche umwandeln

Dieselbe Zahl kannst du auf mehrere Arten schreiben: als Bruch, als gemischte Zahl, als Dezimalzahl oder als Prozentangabe.

Unechte Brüche und gemischte Zahlen

Einen unechten Bruch wie $\frac{7}{4}$ kannst du als gemischte Zahl schreiben, also als ganze Zahl plus Bruch: $1\frac{3}{4}$ = 1 + $\frac{3}{4}$. Dazu rechnest du 7 : 4 = 1 Rest 3. Die 1 ist der ganze Teil, der Rest 3 wird zum neuen Zähler, und der Nenner bleibt gleich. Den Weg zurück gehst du so: Ganze Zahl mal Nenner plus Zähler.

Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Der Bruchstrich bedeutet „geteilt durch“. Um einen Bruch in eine Dezimalzahl zu verwandeln, teilst du also den Zähler durch den Nenner. So ist $\frac{3}{8}$ = 3 : 8. Beim schriftlichen Teilen hängst du Nullen an: 30 : 8 = 3 Rest 6, dann 60 : 8 = 7 Rest 4, dann 40 : 8 = 5 Rest 0. Es ergibt sich $\frac{3}{8}$ = 0,375.

Oft geht es schneller, wenn du auf den Nenner 10, 100 oder 1.000 erweiterst. Dann liest du die Dezimalzahl direkt ab: $\frac{3}{5}$ = $\frac{6}{10}$ = 0,6 und $\frac{7}{20}$ = $\frac{35}{100}$ = 0,35.

Manche Divisionen hören nie auf. Bei $\frac{1}{3}$ erhältst du 0,333… mit immer gleichen Ziffern. Man spricht von einer periodischen Dezimalzahl und schreibt einen Strich über die sich wiederholende Ziffer: $\mathrm{0,}\overline{3}$. Ob eine Dezimalzahl abbricht, siehst du am Nenner: Nach dem Kürzen bricht sie genau dann ab, wenn der Nenner nur die Primfaktoren 2 und 5 enthält (siehe Primfaktorzerlegung). So ist $\frac{3}{40}$ = 0,075 mit 40 = 2 · 2 · 2 · 5, während $\frac{1}{6}$ wegen der 3 im Nenner nie abbricht. Die Gegenrichtung steht bei den Dezimalzahlen, Brüche in Prozent findest du in der Prozentrechnung.

Brüche vergleichen

Welcher Bruch ist größer, $\frac{3}{8}$ oder $\frac{2}{5}$? Auf den ersten Blick ist das nicht klar. Mit drei Regeln entscheidest du sicher.

Es gibt eine Abkürzung, das Kreuzprodukt: Du multiplizierst „über Kreuz“ und vergleichst die Ergebnisse. Bei $\frac{3}{8}$ und $\frac{2}{5}$ ist 3 · 5 = 15 kleiner als 2 · 8 = 16, also ist $\frac{3}{8}$ der kleinere Bruch. Auch die Hälfte hilft als Maßstab: $\frac{4}{9}$ ist kleiner als $\frac{1}{2}$, denn 2 · 4 = 8 ist kleiner als 9.

Brüche ordnen

Mehrere Brüche ordnest du, indem du alle auf den gleichen Nenner bringst und dann die Zähler sortierst. Auf dem Zahlenstrahl stehen die kleineren Brüche links.

Brüche addieren und subtrahieren

Zusammenzählen oder abziehen kannst du nur Dinge, die dieselbe Größe haben. Drei Viertel plus ein Viertel sind vier Viertel, das ist leicht. Aber ein Halbes plus ein Drittel? Hier brauchst du erst gleich große Stücke, also einen gemeinsamen Nenner.

Brüche addieren

1. Hauptnenner bestimmen (kgV der Nenner).
2. Beide Brüche auf diesen Nenner erweitern.
3. Die Zähler addieren, den Nenner behalten.
4. Das Ergebnis kürzen und, wenn nötig, als gemischte Zahl schreiben.

Brüche subtrahieren

Das Subtrahieren läuft genauso ab, nur ziehst du am Ende die Zähler voneinander ab.

Brüche multiplizieren und dividieren

Beim Malnehmen und Teilen brauchst du keinen gemeinsamen Nenner. Das macht diese beiden Rechnungen sogar einfacher als das Addieren.

Brüche multiplizieren

Wenn du $\frac{2}{3}$ von $\frac{3}{4}$ nehmen möchtest, rechnest du $\frac{2}{3}$ · $\frac{3}{4}$. Das Bild zeigt, warum man einfach oben mit oben und unten mit unten multipliziert: Das Rechteck ist in 4 mal 3, also 12 Felder geteilt. Zwei Drittel von drei Vierteln sind 2 · 3 = 6 dieser Felder.

Kehrwert von Brüchen

Den Kehrwert eines Bruchs erhältst du, indem du Zähler und Nenner vertauschst. Der Kehrwert von $\frac{3}{5}$ ist $\frac{5}{3}$. Multiplizierst du einen Bruch mit seinem Kehrwert, kommt immer 1 heraus: $\frac{3}{5}$ · $\frac{5}{3}$ = $\frac{15}{15}$ = 1.

Brüche dividieren

Wie oft passt $\frac{1}{2}$ in 3? Sechsmal, denn in jedes Ganze passen zwei Halbe. Du hast also 3 : $\frac{1}{2}$ = 3 · 2 = 6 gerechnet: Teilen durch einen Bruch ist dasselbe wie Malnehmen mit seinem Kehrwert.

Rechnen mit gemischten Zahlen

Eine gemischte Zahl wie $2\frac{1}{4}$ bedeutet 2 + $\frac{1}{4}$. Du sprichst sie „zwei und ein Viertel“. Beim Rechnen hast du zwei Möglichkeiten: Du behandelst die ganzen Zahlen und die Brüche getrennt, oder du wandelst alles in unechte Brüche um. Beim Addieren und Subtrahieren funktionieren beide Wege, beim Multiplizieren und Dividieren wandelst du immer um.

Gemischte Zahlen addieren

Addiere zuerst die ganzen Zahlen, dann die Brüche. Ist die Summe der Brüche 1 oder größer, schlägst du den ganzen Teil zu den ganzen Zahlen.

Gemischte Zahlen subtrahieren

Auch hier rechnest du Ganze und Brüche getrennt. Wenn der Bruch der ersten Zahl kleiner ist als der Bruch der zweiten, borgst du dir ein Ganzes aus und wandelst es in Stücke mit passendem Nenner um.

Gemischte Zahlen multiplizieren

Verwandle beide Faktoren zuerst in unechte Brüche. Danach multiplizierst du wie gewohnt.

Gemischte Zahlen dividieren

Auch beim Teilen verwandelst du zuerst in unechte Brüche, drehst dann den zweiten Bruch um und multiplizierst.

Komplexe Brüche (Doppelbrüche)

Ein komplexer Bruch, auch Doppelbruch genannt, ist ein Bruch, in dessen Zähler oder Nenner selbst Brüche stehen. Der große Hauptbruchstrich bedeutet wie immer „geteilt durch“. Du erkennst ihn daran, dass er länger ist als die anderen Striche und oben von unten trennt.

Für solche Brüche gibt es zwei Wege.

Weg 1: Als Division schreiben. Der Hauptbruchstrich wird zum Geteilt-Zeichen, und du dividierst mit dem Kehrwert:

Weg 2: Mit dem Hauptnenner erweitern. Du multiplizierst oben und unten mit einer Zahl, in die alle Nenner passen. Dann verschwinden die kleinen Brüche, was bei Summen praktisch ist.

Geschichte der Brüche

Brüche gehören zu den ältesten Rechenaufgaben der Menschheit. Wer Brot, Getreide oder Land gerecht aufteilen will, stößt schnell auf Teile von Ganzen. Die ältesten erhaltenen Rechentexte aus Ägypten und Mesopotamien beschäftigen sich deshalb schon mit Brüchen.

Ägyptische Stammbrüche

In der ägyptischen Mathematik kannte man fast nur Stammbrüche, also Brüche mit dem Zähler 1. Gekennzeichnet wurden sie durch ein Zeichen über der Zahl, das einem Mund ähnelt und „Teil“ bedeutet. Einen Bruch wie $\frac{2}{7}$ schrieben die Ägypter nicht so, sondern als Summe verschiedener Stammbrüche: $\frac{2}{7}$ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{28}$. Eine wichtige Ausnahme bildete $\frac{2}{3}$, dafür gab es ein eigenes Zeichen.

Der berühmte Papyrus Rhind, um 1550 v. Chr. vom Schreiber Ahmes kopiert, beginnt mit einer Tabelle. Sie gibt für alle ungeraden Zahlen n von 3 bis 101 an, wie sich $\frac{2}{n}$ in Stammbrüche zerlegen lässt. Danach folgen Aufgaben wie diese: Sechs Brote sollen gerecht auf zehn Männer verteilt werden. Jeder bekommt $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{10}$ = $\frac{6}{10}$ eines Brotes, und zehn solche Portionen ergeben 10 · $\frac{6}{10}$ = 6 Brote.

Babylonische Sexagesimalbrüche

In Mesopotamien rechnete man im Sechzigersystem, dem Sexagesimalsystem. Die Zahl 60 hat besonders viele Teiler: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60. Darum lassen sich Halbe, Drittel, Viertel, Fünftel und Sechstel in dieser Schreibweise ohne Rest ausdrücken. Es ist $\frac{1}{2}$ = $\frac{30}{60}$, $\frac{1}{3}$ = $\frac{20}{60}$, $\frac{1}{4}$ = $\frac{15}{60}$, $\frac{1}{5}$ = $\frac{12}{60}$ und $\frac{1}{6}$ = $\frac{10}{60}$. Die sumerischen und babylonischen Gelehrten schrieben Bruchteile einfach als weitere Stellen rechts neben die Ganzen. Ein Komma gab es nicht, die Größe ergab sich aus dem Zusammenhang.

Geteilt wurde mit Hilfe von Tafeln, die zu vielen Zahlen den Kehrwert angaben: a : b rechneten die Babylonier als a · $\frac{1}{b}$. Das ist genau das Prinzip, das du oben beim Dividieren von Brüchen kennengelernt hast. Auf der berühmten Tontafel YBC 7289 steht die Wurzel aus 2 in der Form 1;24,51,10. Das bedeutet 1 + $\frac{24}{60}$ + $\frac{51}{3600}$ + $\frac{10}{216000}$ ≈ 1,41421296. Das stimmt auf fünf Nachkommastellen mit dem wahren Wert überein. Noch heute teilen wir die Stunde in 60 Minuten und die Minute in 60 Sekunden.

Fibonacci und der Bruchstrich

Den waagerechten Bruchstrich gab es nicht von Anfang an. Indische Gelehrte schrieben den Zähler schon über den Nenner, noch ohne Strich, siehe indische Mathematik. Mit Strich lassen sich Brüche in arabischen Rechenbüchern des 12. Jahrhunderts belegen. Nach Europa brachte ihn wohl vor allem Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci. In seinem Rechenbuch Liber abaci von 1202 erklärte er Kaufleuten die indisch-arabischen Ziffern und das Rechnen mit Brüchen samt Bruchstrich. Er beschrieb dort auch, wie man einen Bruch in Stammbrüche zerlegt, indem man immer den größten passenden Stammbruch abzieht.

Im 16. Jahrhundert kam in Europa eine zweite Schreibweise hinzu, die Dezimalzahlen. Mehr zu Fibonaccis Zeit steht in der mittelalterlichen europäischen Mathematik.

Quellen und weiterführende Literatur

• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• Annette Imhausen: Mathematics in Ancient Egypt. A Contextual History, Princeton University Press, Princeton 2016.
• Eleanor Robson: Mathematics in Ancient Iraq. A Social History, Princeton University Press, Princeton 2008.
• MacTutor History of Mathematics: Leonardo Pisano Fibonacci (englisch)
• Wikipedia: Bruchrechnung