Schriftliches Subtrahieren

Das schriftliche Subtrahieren ist ein Rechenverfahren, mit dem du eine Zahl von einer anderen abziehst, auch wenn beide groß sind. Wie beim schriftlichen Addieren schreibst du die Zahlen stellengerecht untereinander und rechnest Spalte für Spalte von rechts nach links. Der Unterschied: Manchmal ist die obere Ziffer kleiner als die untere. Dann brauchst du einen Trick, um die Stellen „über die Grenze“ zu bringen.

Für diesen Trick gibt es in Deutschland zwei übliche Verfahren, das Abziehen mit Entbündeln und das Ergänzen mit Übertrag (auch Auffüllen genannt). Beide führen zum selben Ergebnis. Auf dieser Seite lernst du beide kennen, damit du das Verfahren deiner Klasse sicher anwenden kannst, oder damit du als Mutter oder Vater verstehst, was dein Kind gerade lernt.

Was ist schriftliches Subtrahieren?

Zur Erinnerung die Fachwörter, die auch auf der Seite Plus und Minus stehen: Die Zahl, von der du abziehst, heißt Minuend. Die Zahl, die du abziehst, heißt Subtrahend. Das Ergebnis ist die Differenz. Beim schriftlichen Rechnen steht der Minuend oben, darunter der Subtrahend, dazwischen links das Minuszeichen und darunter ein Strich.

Warum die Ziffern genau untereinander stehen müssen, erklärt die Stellenwerttafel mit Einern (E), Zehnern (Z), Hundertern (H) und Tausendern (T), die du auf der Seite Ganze Zahlen findest. Du darfst nur Gleiches von Gleichem abziehen: Einer von Einern, Zehner von Zehnern.

Schritt für Schritt: ohne Stellenübergang

Am leichtesten sind Aufgaben, bei denen in jeder Spalte die obere Ziffer mindestens so groß ist wie die untere. Rechne 587 − 243.

1. Schreibe 587 und darunter 243, Einer unter Einer. Ziehe einen Strich.
2. Einer: 7 − 3 = 4.
3. Zehner: 8 − 4 = 4.
4. Hunderter: 5 − 2 = 3.

Die Differenz ist 344. Probe: 344 + 243 = 587. Das stimmt.

Zwei Verfahren für den Stellenübergang

Schwieriger wird es bei 742 − 358. In der Einerspalte soll man 2 − 8 rechnen, das geht bei natürlichen Zahlen nicht. Es gibt zwei Wege.

Abziehen mit Entbündeln

Beim Entbündeln (umgangssprachlich oft „Borgen“ genannt) löst du ein Bündel aus der Nachbarspalte auf. 1 Zehner sind 10 Einer, 1 Hunderter sind 10 Zehner. Du nimmst also einen Zehner weg, machst daraus 10 Einer und rechnest mit 12 statt 2 weiter. Die Zehnerziffer wird dafür um 1 kleiner.

1. Einer: 2 − 8 geht nicht. Entbündle einen Zehner: Aus 2 Einern werden 12, aus 4 Zehnern werden 3. Rechne 12 − 8 = 4.
2. Zehner: 3 − 5 geht nicht. Entbündle einen Hunderter: Aus 3 Zehnern werden 13, aus 7 Hundertern werden 6. Rechne 13 − 5 = 8.
3. Hunderter: 6 − 3 = 3.

Ergebnis: 384.

Ergänzen mit Übertrag (Auffüllen)

Beim Ergänzungsverfahren fragst du in jeder Spalte: „Wie viel muss ich zur unteren Ziffer addieren, um die obere zu erreichen?“ Reicht die obere Ziffer nicht, ergänzt du bis zur nächsten Zehnerstufe und schreibst als Übertrag eine kleine 1 zur Ziffer links daneben im Subtrahenden.

1. Einer: 8 plus wie viel ergibt 12? Es sind 4 (8 + 4 = 12). Schreibe 4 und übertrage 1 zum Zehner des Subtrahenden.
2. Zehner: Die 5 wird zu 5 + 1 = 6. 6 plus wie viel ergibt 14? Es sind 8 (6 + 8 = 14). Schreibe 8 und übertrage 1 zum Hunderter des Subtrahenden.
3. Hunderter: Die 3 wird zu 3 + 1 = 4. 4 plus wie viel ergibt 7? Es sind 3. Schreibe 3.

Ergebnis wieder: 384. Das Verfahren rechnet eigentlich eine Additionsaufgabe mit fehlendem Summanden, ähnlich wie das Ergänzen beim Rückgeld.

Wenn eine Null im Minuenden steht

Besonders tückisch sind Nullen oben, denn aus einer Null kannst du nichts „herausnehmen“. Rechne 503 − 278.

Noch deutlicher sieht man es bei 1.000 − 357. Beim Entbündeln wird aus der 1 im Tausender ein Hunderter-Bündel, dann Zehner, dann Einer: Aus 1.000 wird 9 H, 9 Z und 10 E. Dann rechnest du 10 − 7 = 3, 9 − 5 = 4 und 9 − 3 = 6. Ergebnis: 643. Mit dem Ergänzen geht es so: 7 + 3 = 10, Übertrag 1; 5 + 1 = 6, 6 + 4 = 10, Übertrag 1; 3 + 1 = 4, 4 + 6 = 10, Übertrag 1; 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1. Auch hier steht 643 unter dem Strich.

Mehrere Subtrahenden

Manchmal werden mehrere Zahlen nacheinander abgezogen, zum Beispiel 1.000 − 235 − 148 − 76. Der sicherste Weg: Zuerst addierst du die Subtrahenden schriftlich (235 + 148 + 76 = 459), dann ziehst du diese Summe einmal ab (1.000 − 459 = 541). Das Ergänzungsverfahren passt dazu besonders gut, weil man alle Subtrahenden in einer Spalte der Reihe nach ergänzen kann.

Kommazahlen

Bei Dezimalzahlen gilt wie beim Addieren: Komma unter Komma. Fehlende Stellen füllst du mit Nullen auf. Rechne 15,80 − 7,35: Hundertstel 0 − 5 geht nicht, entbündle ein Zehntel: 10 Hundertstel − 5 = 5, die 8 Zehntel werden 7. Zehntel: 7 − 3 = 4. Komma setzen. Einer: 5 − 7 geht nicht, entbündle: 15 − 7 = 8, der Zehner 1 wird 0. Ergebnis: 8,45. Bei Geld rechnest du genauso: 20,00 € − 13,65 € = 6,35 €.

Die Probe: Stimmt das Ergebnis?

Subtraktion und Addition sind Umkehrungen voneinander, wie die Seite Plus und Minus zeigt. Deshalb prüfst du eine Minusaufgabe mit Plus: Differenz + Subtrahend = Minuend. Bei 742 − 358 = 384 rechnest du 384 + 358 = 742. Stimmt die Summe, ist die Rechnung richtig.

Zusätzlich hilft ein Überschlag: 742 − 358 ist ungefähr 740 − 360 = 380. Das genaue Ergebnis 384 liegt dicht dabei.

Übungen

Wenn das Subtrahieren sitzt, bist du bereit für das schriftliche Multiplizieren. Alle Rechenarten im Überblick findest du bei Arithmetik.

Geschichte: Vom Rechenbrett zum Minuszeichen

Abziehen ist mit dem Rechenbrett sehr anschaulich: Du nimmst einfach Steinchen oder Rechenpfennige von der Linie weg. Die Römer rechneten so (mehr dazu bei der römischen Mathematik). Eine Rechnung, die man später auf dem Papier nachprüfen kann, ermöglichte erst das Stellenwertsystem mit der Null, das du auf der Seite zum schriftlichen Addieren kennenlernst.

Die Zeichen „+“ und „−“ erschienen 1489 im Druck, in einem Rechenbuch des Leipziger Rechenmeisters Johannes Widmann. Das Wort „subtrahieren“ geht auf das lateinische subtrahere zurück, „wegziehen“. Das Ergänzungsverfahren steckt übrigens auch in Rechenmaschinen: Laut Wikipedia nutzen mechanische Rechenmaschinen und die Addierwerke moderner Computer eine Form des Ergänzens, weil sich so das Abziehen auf das Addieren zurückführen lässt.

Häufige Fragen

Welches Verfahren ist besser, Entbündeln oder Ergänzen?

Beide sind mathematisch korrekt. Forschende vergleichen sie, und in Schulen werden beide gelehrt. Wichtig ist, dass dein Kind eines davon sicher beherrscht und versteht, warum es funktioniert.

Warum darf der Minuend nicht kleiner sein als der Subtrahend?

Weil das Ergebnis dann kleiner als null wäre. Solche Zahlen heißen negative Zahlen und werden später in Ganze Zahlen behandelt. In der Grundschule rechnest du nur mit Aufgaben, bei denen das Ergebnis nicht negativ ist.

Was mache ich, wenn mein Kind ein anderes Verfahren gelernt hat als ich?

Lasst euer Kind das Verfahren der Klasse benutzen. Lasst euch das Vorgehen erklären und prüft das Ergebnis mit der Additionsprobe. Zwei Verfahren zu mischen sorgt oft für Verwirrung.

Quellen und weiterführende Literatur

• Friedhelm Padberg, Christiane Benz: Didaktik der Arithmetik, Springer Spektrum, Heidelberg.
• Universität Bielefeld, Institut für Didaktik der Mathematik: Schriftliche Subtraktionsverfahren im Vergleich
• Wikipedia: Subtraktion
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.