Dezimalzahlen

Dezimalzahlen sind Zahlen mit Komma, wie 3,75 oder 0,2. Sie schreiben Bruchteile im Zehnersystem auf: Die Stellen hinter dem Komma sind Zehntel, Hundertstel, Tausendstel und so weiter. Du brauchst sie ständig, bei Preisen (2,49 €), Längen (1,62 m) und Gewichten (0,5 kg). Usain Bolt lief 2009 die 100 Meter in 9,58 Sekunden, und auch diese Zeit ist eine Dezimalzahl.

Hier lernst du den Stellenwert, die Grundrechenarten mit Komma, das Runden und die Umwandlung in Brüche, auch bei periodischen Zahlen. Zum Schluss geht es um die Geschichte: Wie kamen Mathematiker auf die Idee, Bruchteile mit einem Komma zu schreiben? Die Seite gehört zur Arithmetik.

Stellenwert von Dezimalzahlen

Dezimalzahlen funktionieren wie die ganzen Zahlen im Stellenwertsystem: Jede Stelle ist zehnmal so viel wert wie die rechts neben ihr. Rechts von den Einern steht das Komma, danach folgen die Zehntel, Hundertstel und Tausendstel. Die Ziffern hinter dem Komma heißen Nachkommastellen.

Dezimalzahlen vergleichen und ordnen

Vergleiche zuerst die Ganzen vor dem Komma. Sind sie gleich, gehst du die Nachkommastellen von links nach rechts durch: Die erste Stelle mit einem Unterschied entscheidet. Haben die Zahlen unterschiedlich viele Nachkommastellen, hängst du Nullen an, bis es gleich viele sind. Auf dem Zahlenstrahl liegt die größere Zahl weiter rechts.

Dezimalzahlen addieren und subtrahieren

Beim Addieren und Subtrahieren schreibst du die Zahlen so untereinander, dass Komma unter Komma steht. Fehlende Stellen füllst du mit Nullen auf. Dann rechnest du Stelle für Stelle wie bei den ganzen Zahlen, und im Ergebnis steht das Komma wieder an derselben Stelle.

Dezimalzahlen multiplizieren

Beim Multiplizieren denkst du das Komma zuerst weg. Du rechnest mit den Zahlen wie mit ganzen Zahlen. Danach zählst du die Nachkommastellen beider Faktoren zusammen: So viele Nachkommastellen bekommt das Ergebnis.

Dezimalzahlen dividieren

Ist der Teiler eine ganze Zahl, teilst du schriftlich wie gewohnt. Sobald du im Dividenden (der Zahl, die geteilt wird) am Komma vorbeikommst, setzt du auch im Ergebnis ein Komma. Hat der Teiler selbst ein Komma, verschiebst du bei beiden Zahlen das Komma gleich weit nach rechts, bis der Teiler ganz ist. Der Quotient ändert sich dabei nicht, denn es ist dasselbe wie das Erweitern eines Bruchs.

Geht eine Division nicht auf, hängst du einfach Nullen an. Bei 17 : 8 erhältst du 2 Rest 1, dann 10 : 8 = 1 Rest 2, dann 20 : 8 = 2 Rest 4 und 40 : 8 = 5. Das Ergebnis ist 2,125. Manchmal hört es nie auf: 10 : 3 = 3,333…, die 3 wiederholt sich immer weiter. Dann spricht man von einer periodischen Dezimalzahl.

Dezimalzahlen runden

Oft brauchst du nicht jede Stelle: Preise gibst du auf Cent an, Messwerte auf wenige Stellen. Dann rundest du. Du legst zuerst die Rundungsstelle fest, etwa die Hundertstel. Danach schaust du auf die Ziffer direkt rechts davon.

Dezimalzahlen in Brüche umwandeln

Eine Dezimalzahl ist schon fast ein Bruch. Eine Nachkommastelle bedeutet Zehntel, zwei bedeuten Hundertstel, drei bedeuten Tausendstel. Du schreibst die Ziffern ohne Komma in den Zähler, setzt 10, 100 oder 1.000 als Nenner und kürzt anschließend.

Periodische Dezimalzahlen

Bei Zahlen wie $\mathrm{0,}\overline{3}$ = 0,333… hilft ein Trick. Du nennst die Zahl x und multiplizierst sie so, dass sich die Nachkommastellen im Takt der Periode wiederholen:

1. x = 0,333…
2. 10x = 3,333…
3. Du ziehst die erste Zeile von der zweiten ab: 10x − x = 3, also 9x = 3.
4. Damit ist x = $\frac{3}{9}$ = $\frac{1}{3}$.

Merke dir als Kurzregel: Die Periode kommt in den Zähler, und der Nenner besteht aus so vielen Neunen, wie die Periode Ziffern hat. So ist $\mathrm{0,}\overline{27}$ = $\frac{27}{99}$ = $\frac{3}{11}$. Steht zwischen Komma und Periode noch eine Ziffer, rechnest du mit 10x und 100x. Bei x = 0,1666… ist 100x − 10x = 16,666… − 1,666… = 15, also 90x = 15 und x = $\frac{15}{90}$ = $\frac{1}{6}$.

Geschichte: Wie das Komma in die Zahlen kam

Dezimalbrüche scheinen heute selbstverständlich. Ihre Geschichte ist aber lang, denn lange Zeit rechnete man mit gewöhnlichen Brüchen und mit Sechzigerbrüchen. Die Idee, Bruchteile nach dem Muster der Ziffern zu schreiben, setzte sich erst in der frühen Neuzeit durch.

Chinesische Dezimalbrüche

In China rechnete man schon vor über 2.000 Jahren mit Zählstäbchen im Zehnersystem. Längenmaße waren im Zehnerrhythmus unterteilt: 1 Chi bestand aus 10 Cun, 1 Cun aus 10 Fen. Beim Ziehen von Wurzeln gab man den Rest in immer kleineren dieser Maßeinheiten an. Das entspricht der Sache nach schon einem Dezimalbruch, auch wenn es kein Komma gab. Der Gelehrte Liu Hui nutzte dieses Verfahren im 3. Jahrhundert, mehr in der chinesischen Mathematik. Im islamischen Raum beschrieb der Astronom Dschamschid al-Kaschi um 1427 Rechenregeln für Dezimalbrüche, siehe Mathematik der islamischen Welt.

Simon Stevin und „De Thiende“

Als Begründer der Dezimalbruchrechnung in Europa gilt der flämische Mathematiker und Ingenieur Simon Stevin (1548–1620). 1585 erschien in Leiden seine kleine Schrift De Thiende, auf Deutsch „Die Zehntel“. Sie richtete sich an Landvermesser, Kaufleute und Münzmeister und versprach, alle Rechnungen mit ganzen Zahlen und ohne Brüche zu lösen. Stevin schrieb noch kein Komma. Über jede Ziffer setzte er eine eingekreiste Zahl, die ihre Stelle angab: 8⓪ 9① 3② 7③ bedeutet 8,937. Dazu forderte er, auch Münzen, Maße und Gewichte im Zehnersystem zu unterteilen. Mehr zu dieser Zeit findest du in der Mathematik des 16. Jahrhunderts.

Der Dezimalpunkt bei Napier

Die Schreibweise mit Komma oder Punkt setzte sich im frühen 17. Jahrhundert durch. Ein wichtiger Wegbereiter war der schottische Mathematiker John Napier. In seiner Schrift Rabdologiae von 1617 über das Rechnen mit Rechenstäbchen verwendet er einen Punkt, um die Ganzen von den Bruchteilen zu trennen. Auch frühere Autoren hatten schon ähnliche Zeichen benutzt, aber durch Napiers Werke wurde die Schreibweise bekannt.

Quellen und weiterführende Literatur

• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• Simon Stevin: De Thiende, Leiden 1585 (französisch als La Disme).
• MacTutor History of Mathematics: Simon Stevin (englisch)
• MacTutor History of Mathematics: John Napier (englisch)
• Wikipedia: Dezimalbruch