Zahlen und ihre Eigenschaften

Zahlen sind das Werkzeug, mit dem Menschen seit Jahrtausenden zählen, messen und rechnen. Hier lernst du die wichtigsten Zahlenarten kennen, erfährst, was Primzahlen, Teiler und Vielfache sind, und bekommst die Rechengesetze für geschicktes Kopfrechnen. Am Ende geht es um Quadratzahlen und Wurzeln.

Diese Seite gehört zur Arithmetik. Zu jedem Abschnitt gibt es ein Beispiel, bei den großen Themen auch eine Übung mit Lösung. Unterwegs begegnen dir das Sieb des Eratosthenes, der Algorithmus des Euklid und die Zahlenmuster der Pythagoreer.

Zahlentypen im Überblick

Die Menschen haben ihre Zahlen erweitert, wenn die alten nicht mehr reichten: Zum Zählen genügen die natürlichen Zahlen, für Schulden braucht man negative Zahlen, zum Teilen Brüche. Die Diagonale eines Quadrats führt sogar auf Zahlen wie √2, die keine Brüche sind.

Gerade und ungerade Zahlen

Eine ganze Zahl ist gerade, wenn du sie ohne Rest durch 2 teilen kannst, sonst ist sie ungerade. Das siehst du an der letzten Ziffer: 0, 2, 4, 6, 8 bedeutet gerade, 1, 3, 5, 7, 9 bedeutet ungerade. Auch die Null ist gerade. Beim Rechnen gilt: gerade + gerade und ungerade + ungerade ergeben gerade (4 + 6 = 10, 3 + 5 = 8), gerade + ungerade ergibt ungerade (4 + 5 = 9). Ein Produkt ist nur ungerade, wenn beide Faktoren ungerade sind.

Teiler und Vielfache

Ein Teiler passt ohne Rest in eine Zahl. Die 3 ist ein Teiler von 12, weil 12 : 3 = 4 aufgeht. Man schreibt 3 | 12. Ein Vielfaches entsteht beim Malnehmen: 12 ist ein Vielfaches von 3, weil 3 · 4 = 12. Jede Zahl hat nur endlich viele Teiler, aber unendlich viele Vielfache. Schnelle Tests liefern die Teilbarkeitsregeln.

Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen

Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: die 1 und sich selbst. Die kleinsten sind 2, 3, 5, 7, 11, 13 und 17. Eine Zahl mit mehr als zwei Teilern heißt zusammengesetzt, zum Beispiel 12 mit den Teilern 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Die 2 ist die einzige gerade Primzahl. Die 1 ist weder prim noch zusammengesetzt, denn sie hat nur einen Teiler.

Ob eine Zahl prim ist, prüfst du mit Primzahlen als Teilern, aber nur bis zur Wurzel der Zahl. Ein größerer Teiler hätte einen kleineren Partner, den du schon gefunden hättest.

Es gibt unendlich viele Primzahlen, das zeigte Euklid um 300 v. Chr. Gäbe es nur endlich viele, könntest du alle multiplizieren und 1 addieren. Diese Zahl lässt bei jeder Division durch eine der Primzahlen den Rest 1, also müsste ein weiterer Primteiler existieren. Das ist ein Widerspruch.

Das Sieb des Eratosthenes

Wie findest du alle Primzahlen bis 100, ohne jede Zahl einzeln zu testen? Mit einem über 2.000 Jahre alten Verfahren: Du streichst alle Vielfachen aus, und die Primzahlen bleiben im „Sieb“ hängen. Es ist nach Eratosthenes von Kyrene benannt, der im 3. Jahrhundert v. Chr. in Alexandria lebte, einem Zentrum der hellenistischen Mathematik.

1. Schreibe die Zahlen von 1 bis 100 in ein Gitter und streiche die 1.
2. Die 2 bleibt stehen, alle ihre Vielfachen (4, 6, 8, …) streichst du.
3. Die nächste freie Zahl ist die 3. Sie bleibt, ihre Vielfachen (6, 9, 12, …) streichst du.
4. Mache mit 5 und 7 genauso. Dann bist du fertig, denn schon 11 · 11 = 121 liegt über 100.

Alle Zahlen, die übrig bleiben, sind prim. Es sind genau 25.

Primfaktorzerlegung

Jede Zahl größer als 1 lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben, und zwar auf genau eine Weise, wenn du die Reihenfolge ignorierst. Das ist der Hauptsatz der Arithmetik. Zum Zerlegen teilst du immer wieder durch die kleinste Primzahl, die aufgeht, bis 1 übrig bleibt.

Darum zählt die 1 nicht als Primzahl: Sonst wäre 6 = 2 · 3 = 1 · 2 · 3, und die Zerlegung nicht mehr eindeutig.

Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

Der ggT zweier Zahlen ist die größte Zahl, die beide ohne Rest teilt. Du brauchst ihn zum Kürzen von Brüchen. Es gibt drei Wege, hier für 24 und 36:

1. Teiler vergleichen: Gemeinsame Teiler sind 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Der größte ist 12, also ggT(24, 36) = 12.
2. Primfaktoren: Es ist 24 = 2³ · 3 und 36 = 2² · 3². Nimm jeden gemeinsamen Primfaktor mit der kleineren Hochzahl: 2² · 3 = 12.
3. Euklidischer Algorithmus: Teile die größere durch die kleinere Zahl, dann die kleinere durch den Rest, und so weiter. Der letzte Rest vor der Null ist der ggT.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Das kgV zweier Zahlen ist die kleinste Zahl, die ein Vielfaches von beiden ist. Du brauchst es für den gemeinsamen Nenner beim Bruchrechnen. Mit Primfaktoren nimmst du jeden Primfaktor mit der größeren Hochzahl. Außerdem gilt ggT(a, b) · kgV(a, b) = a · b.

Zahleneigenschaften und Rechengesetze

Rechengesetze sagen dir, was beim Rechnen erlaubt ist. Sie gelten für alle Zahlen aus der Schule und machen das Kopfrechnen leichter.

Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)

Beim Addieren und Multiplizieren darfst du die Zahlen vertauschen. Das macht Kopfrechnen leichter: 4 · 17 · 25 = 17 · 4 · 25 = 17 · 100 = 1.700. Bei Minus und Geteilt geht das nicht: 8 − 3 = 5, aber 3 − 8 = −5.

Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz)

Bei Summen oder Produkten aus mehr als zwei Zahlen darfst du die Klammern frei setzen: (27 + 38) + 12 = 27 + (38 + 12) = 27 + 50 = 77 und (2 · 7) · 5 = 2 · (7 · 5) = 70. Für die Subtraktion gilt das nicht: (10 − 5) − 2 = 3, aber 10 − (5 − 2) = 7.

Identitätsgesetz (neutrale Elemente)

Die Null ändert bei der Addition nichts, die Eins bei der Multiplikation nichts: a + 0 = a und a · 1 = a. Beide heißen neutrale Elemente. Du nutzt das beim Erweitern: 3/4 = 3/4 · 2/2 = 6/8.

Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)

Es verbindet Mal und Plus: a · (b + c) = a · b + a · c. Die Zahl vor der Klammer multiplizierst du mit jedem Summanden. So rechnest du 7 · 98 = 7 · (100 − 2) = 700 − 14 = 686. Umgekehrt klammerst du aus: 6 · 13 + 6 · 7 = 6 · (13 + 7) = 120. Mehr dazu unter Ausmultiplizieren von Klammern und bei den Zerlegungstricks im Einmaleins. Typischer Fehler: 3 · (4 + 5) ist 27 und nicht 3 · 4 + 5 = 17.

Reihenfolge der Rechenoperationen (Punkt vor Strich)

Damit jeder dasselbe Ergebnis bekommt, gilt diese Reihenfolge:

1. Klammern zuerst, von innen nach außen.
2. Potenzen und Wurzeln danach.
3. Punktrechnung (· und :) vor Strichrechnung (+ und −).
4. Gleichrangiges rechnest du von links nach rechts.

Zahlen runden

Beim Runden entscheidest du zuerst, auf welche Stelle du runden willst. Dann zählt nur die Ziffer direkt rechts davon: Bei 0 bis 4 wird abgerundet, die Stelle bleibt gleich. Bei 5 bis 9 wird aufgerundet, die Stelle wird um 1 größer. Alle Stellen rechts davon werden zu Nullen oder fallen weg.

Beim Überschlag rundest du vorher: 4.987 + 3.012 ≈ 5.000 + 3.000 = 8.000. Typische Fehler: 2,449 auf eine Nachkommastelle ist 2,4 und nicht schrittweise 2,45 und dann 2,5. Und 1.996 auf Zehner ergibt 2.000 (Übertrag!). Mehr dazu bei den Dezimalzahlen.

Betrag (Absolutwert)

Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von null auf der Zahlengeraden. Man schreibt |5| = 5 und |−5| = 5, denn beide sind fünf Schritte von der Null entfernt. Der Betrag ist nie negativ: Positive Zahlen bleiben, bei negativen fällt das Minuszeichen weg. Der Abstand zweier Zahlen a und b ist |a − b|.

Zahlenfolgen

Eine Zahlenfolge ist eine geordnete Liste von Zahlen mit einer Regel, zum Beispiel 3, 7, 11, 15, … Jede Zahl heißt Glied. Zwei Arten kommen oft vor:

• Bei einer arithmetischen Folge addierst du immer dieselbe Zahl. Die Folge 3, 7, 11, 15, … wächst um 4, das n-te Glied ist 4n − 1.
• Bei einer geometrischen Folge multiplizierst du immer mit derselben Zahl. Die Folge 2, 6, 18, 54, … wächst mit dem Faktor 3.

Quadratzahlen und perfekte Quadrate

Eine Quadratzahl entsteht, wenn du eine natürliche Zahl mit sich selbst malnimmst: n² = n · n. Der Name kommt daher, dass n · n Plättchen ein Quadrat mit der Seitenlänge n legen. Solche Zahlen heißen auch perfekte Quadrate. Die ersten fünfzehn sind 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196 und 225.

Nach antiker Überlieferung legten schon die Pythagoreer (griechische Mathematik) Zahlen als Muster aus Steinchen. Sie bemerkten: Die nächste Quadratzahl entsteht, wenn du einen Winkelhaken mit der nächsten ungeraden Anzahl von Steinchen anlegst.

Quadratwurzeln verstehen

Die Wurzel dreht das Quadrieren um. Die Quadratwurzel √a ist die nicht negative Zahl, die mit sich selbst malgenommen a ergibt. Weil 7 · 7 = 49 ist, gilt √49 = 7. Die Zahl unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand. Bei perfekten Quadraten kommt eine ganze Zahl heraus (√81 = 9), sonst ist die Wurzel irrational und du kannst sie nur annähern, etwa √2 ≈ 1,414.

Wurzeln sind sehr alt. Eine babylonische Tontafel (um 1800 bis 1600 v. Chr.) nennt für √2 den Wert 1;24,51,10 im Sechzigersystem, das sind 1,414213…, also sechs richtige Stellen. Mehr dazu bei der babylonischen Mathematik.

Zusammenhang zwischen Quadrat und Wurzel

Quadrieren und Wurzelziehen heben sich auf, ähnlich wie Plus und Minus. Für a ≥ 0 gilt (√a)² = a. Umgekehrt kommt nach dem Quadrieren und Wurzelziehen die Ausgangszahl heraus, bei negativen Zahlen aber ohne Minuszeichen:

Zum Beispiel ist (√7)² = 7 und √((−5)²) = √25 = 5 = |−5|. Deshalb hat x² = 49 die Lösungen 7 und −7, mehr unter Quadratische Gleichungen.

Wurzeln vereinfachen

Viele Wurzeln enthalten einen Faktor, aus dem du die Wurzel ziehen kannst. So gehst du vor: Suche im Radikanden den größten Faktor, der ein perfektes Quadrat ist (4, 9, 16, 25, 36, …). Schreibe den Radikanden als Produkt damit, nutze √(a · b) = √a · √b und ziehe die Wurzel aus dem Quadratfaktor.

Hilfreich ist die Primfaktorzerlegung: Aus 72 = 2³ · 3² darf jedes Paar gleicher Primfaktoren vor die Wurzel. Rückwärts geht es auch, etwa beim Vergleichen: 2√7 = √28 ist größer als √25 = 5.

Radikale vereinfachen: addieren und subtrahieren

Ein Radikal ist ein Wurzelausdruck wie 3√2. Du kannst Radikale nur zusammenfassen, wenn unter der Wurzel dieselbe Zahl steht, genau wie bei 3x + 5x = 8x. Vereinfache deshalb zuerst jede Wurzel.

Verschiedene Radikanden lassen sich nicht zusammenfassen: √2 + √3 ≈ 3,15, aber √5 ≈ 2,24. Auch Kubikwurzeln lassen sich vereinfachen: $\sqrt[3]{54}$ = $\sqrt[3]{27·2}$ = 3$\sqrt[3]{2}$.

Radikale mit Brüchen

Steht unter der Wurzel ein Bruch, ziehst du getrennt aus Zähler und Nenner (für a ≥ 0 und b > 0):

Im dritten Beispiel machst du den Nenner rational, indem du mit der Wurzel erweiterst. Das ist erlaubt, weil √2/√2 = 1 ist (Identitätsgesetz).

Radikale multiplizieren

Wurzeln multiplizierst du, indem du die Radikanden multiplizierst: √a · √b = √(a · b) für a, b ≥ 0. Zahlen vor den Wurzeln multiplizierst du getrennt. Dividieren geht genauso: √72 : √2 = √36 = 6.

Quellen und weiterführende Literatur

• Euklid: Die Elemente, übersetzt und herausgegeben von Clemens Thaer, Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, Verlag Harri Deutsch.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• MacTutor History of Mathematics: Eratosthenes (englisch)
• Wikipedia: Sieb des Eratosthenes