Kurvendiskussion: Schema, Extrem- und Wendepunkte

Eine Kurvendiskussion ist die systematische Untersuchung des Graphen einer Funktion. Du bestimmst, wo die Funktion definiert ist, wie sich der Graph im Unendlichen verhält, wo er die Achsen schneidet, wo er seine höchsten und tiefsten Punkte hat, wo er steigt, fällt und sich krümmt. Am Ende kannst du den Graphen skizzieren, ohne ihn mit einem Rechner zu zeichnen.

Das Werkzeug dafür ist die Ableitung: Die erste Ableitung verrät, wo der Graph steigt oder fällt, die zweite, wie er sich krümmt. Die Grundidee der Extremstellen steht schon im Überblick zur Analysis, hier folgt das vollständige Schema.

Das Schema im Überblick

Die Schritte einer Kurvendiskussion
Schritt	Frage	Werkzeug
Definitionsbereich	Für welche $x$ ist $f (x)$ erklärt?	Nenner $\neq 0$ , Radikand $\geq 0$ , Argument von $\ln$ positiv
Symmetrie	Spiegelt sich der Graph an der $y$ -Achse oder am Ursprung?	$f (- x) = f (x)$ oder $f (- x) = - f (x)$
Verhalten im Unendlichen	Wohin läuft der Graph für $x \to \pm \infty$ ?	Grenzwerte, dominanter Term
Achsenschnittpunkte	Wo schneidet der Graph die Achsen?	$f (0)$ und $f (x) = 0$
Extrempunkte	Wo liegen Hoch- und Tiefpunkte?	$f' (x) = 0$ und $f'' (x) \neq 0$
Wendepunkte	Wo wechselt die Krümmung?	$f'' (x) = 0$ und $f''' (x) \neq 0$
Monotonie, Krümmung	Wo steigt, fällt, biegt sich der Graph?	Vorzeichen von $f'$ und $f''$
Graph	Wie sieht der Graph aus?	Wertetabelle und Punkte

Es müssen nicht immer alle Schritte verlangt sein. Die Reihenfolge hat aber einen Sinn: Die einfachen Schritte kommen zuerst und liefern Kontrollen für die späteren. So muss der Graph zum Beispiel zum Verhalten im Unendlichen passen.

Das Hauptbeispiel

Wir untersuchen $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ . Der Term lässt sich ausklammern: $f (x) = x (x^{2} - 6 x + 9) = x (x - 3)^{2}$ . Welche Eigenschaften ganzrationaler Funktionen du dafür brauchst, steht bei den ganzrationalen Funktionen.

Die umgekehrte Aufgabe, aus vorgegebenen Eigenschaften eine passende Funktion zu finden, behandeln die Steckbriefaufgaben.

Schritte 1 bis 4: Eigenschaften ohne Ableitung

Definitionsbereich: Bei einer ganzrationalen Funktion gibt es keine Einschränkung, also $D = ℝ$ .
Symmetrie: Es ist $f (- x) = - x^{3} - 6 x^{2} - 9 x$ . Das ist weder $f (x)$ noch $- f (x)$ , der Graph hat also keine Symmetrie zur $y$ -Achse oder zum Ursprung. Das sieht man auch an den gemischten Exponenten 3, 2 und 1.
Verhalten im Unendlichen: Für große $| x |$ bestimmt der Term $x^{3}$ das Verhalten. Es gilt $f (x) \to + \infty$ für $x \to + \infty$ und $f (x) \to - \infty$ für $x \to - \infty$ .
Achsenschnittpunkte: Der $y$ -Achsenabschnitt ist $f (0) = 0$ , also $(0 | 0)$ . Die Nullstellen folgen aus $x (x - 3)^{2} = 0$ : $x = 0$ ist einfach, der Graph schneidet die Achse. $x = 3$ ist doppelt, der Graph berührt die Achse nur.

Schritt 5: Die Ableitungen

Mit der Potenzregel gilt:

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 = 3 (x^{2} - 4 x + 3) = 3 (x - 1) (x - 3)$
$f'' (x) = 6 x - 12$
$f''' (x) = 6$

Die Faktorform von $f'$ lässt sich aus der Mitternachtsformel oder durch Probieren gewinnen: $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ hat die Lösungen 1 und 3.

Schritt 6: Extrempunkte

Ein Extrempunkt ist ein Hochpunkt oder Tiefpunkt. Dort ist die Tangente waagerecht. Diese Beobachtung reicht aber nicht allein aus, denn auch ein Sattelpunkt hat eine waagerechte Tangente.

Die zweite Ableitung ist die schnellere Probe. Ist $f'' (x_{0}) = 0$ , sagt sie nichts aus, und du prüfst den Vorzeichenwechsel von $f'$ . Bei $f (x) = x^{4}$ ist $f'' (0) = 0$ und trotzdem liegt bei 0 ein Tiefpunkt, denn $f' (x) = 4 x^{3}$ wechselt von minus nach plus.

Schritt 7: Wendepunkte

An einem Wendepunkt wechselt der Graph von einer Rechtskurve in eine Linkskurve oder umgekehrt. Dort ist er am steilsten oder am flachsten. Die Bedingungen sind ähnlich wie bei den Extrempunkten, nur eine Ableitung höher:

Schritt 8: Monotonie und Krümmung

Die Extremstellen 1 und 3 und die Wendestelle 2 teilen die Zahlengerade in Bereiche. In jedem Bereich hat $f'$ ein festes Vorzeichen, du prüfst es mit einer Probestelle.

Monotonie und Krümmung des Hauptbeispiels
Bereich	Probe	Vorzeichen $f'$	Verlauf
$x < 1$	$f' (0) = 9$	plus	streng monoton steigend
$1 < x < 3$	$f' (2) = - 3$	minus	streng monoton fallend
$x > 3$	$f' (4) = 9$	plus	streng monoton steigend

Krümmung des Hauptbeispiels
Bereich	Probe	Vorzeichen $f''$	Krümmung
$x < 2$	$f'' (0) = - 12$	minus	Rechtskurve
$x > 2$	$f'' (3) = 6$	plus	Linkskurve

Das passt zusammen: Der Graph steigt bis zum Hochpunkt $H (1 | 4)$ und krümmt sich nach rechts (wie ein Berg). Bei $W (2 | 2)$ ändert sich die Krümmung. Danach biegt er sich nach links (wie eine Schale) und läuft in den Tiefpunkt $T (3 | 0)$ . Wegen der Linkskurve passt dort der Tiefpunkt.

Schritt 9: Die Wendetangente

Die Tangente im Wendepunkt heißt Wendetangente. Ihre Steigung ist $f' (2) = 12 - 24 + 9 = - 3$ . Mit der Tangentengleichung gilt

y = - 3 (x - 2) + 2 = - 3 x + 8 .

Sie schneidet die $x$ -Achse bei $x = \frac{8}{3} \approx 2,67$ . Im Wendepunkt fällt der Graph am steilsten: Dort ist die Steigung $- 3$ der kleinste Wert von $f'$ .

Schritt 10: Wertetabelle und Graph

Wertetabelle von $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$
$x$	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4
$f (x)$	0	3,125	4	3,375	2	0,625	0	0,875	4

Graph von f(x) = x³ − 6x² + 9x mit Nullstelle N(0|0), Hochpunkt H(1|4), Wendepunkt W(2|2), Tiefpunkt T(3|0) und der Wendetangente y = −3x + 8.

Du trägst zuerst die besonderen Punkte ein: Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkt. Dann verbindest du sie so, dass der Graph zu Monotonie, Krümmung und Verhalten im Unendlichen passt. Der Wertebereich ist $ℝ$ , denn die Funktion läuft von $- \infty$ bis $+ \infty$ .

Ein zweites Beispiel mit e-Funktion

Untersuche $f (x) = x \cdot e^{- x}$ .

Beispiel: Kurvendiskussion mit e-Funktion

Definitionsbereich, Symmetrie: $D = ℝ$ . Es ist $f (- x) = - x \cdot e^{x}$ , weder $f (x)$ noch $- f (x)$ : keine Symmetrie.
Unendlich: Für $x \to + \infty$ gilt $f (x) = \frac{x}{e^{x}} \to 0$ , denn $e^{x}$ wächst schneller als $x$ . Die $x$ -Achse ist waagerechte Asymptote. Für $x \to - \infty$ gilt $f (x) \to - \infty$ .
Achsenschnittpunkte: $f (0) = 0$ . Wegen $e^{- x} > 0$ ist $f (x) = 0$ nur für $x = 0$ .
Ableitungen (Produkt- und Kettenregel): $f' (x) = e^{- x} - x e^{- x} = (1 - x) e^{- x}$ , $f'' (x) = (x - 2) e^{- x}$ und $f''' (x) = (3 - x) e^{- x}$ .
Extrempunkt: $f' (x) = 0$ ergibt $x = 1$ . Wegen $f'' (1) = - e^{- 1} < 0$ ist es ein Hochpunkt mit $f (1) = e^{- 1} \approx 0,37$ : $H (1 | 0,37)$ .
Wendepunkt: $f'' (x) = 0$ ergibt $x = 2$ . Wegen $f''' (2) = e^{- 2} \neq 0$ ist es ein Wendepunkt mit $f (2) = 2 e^{- 2} \approx 0,27$ : $W (2 | 0,27)$ .
Verlauf: Für $x < 1$ steigt der Graph, für $x > 1$ fällt er. Für $x < 2$ ist er eine Rechtskurve, für $x > 2$ eine Linkskurve. Der Wertebereich ist $(- \infty; e^{- 1}]$ .
Wendetangente: Die Steigung ist $f' (2) = - e^{- 2} \approx - 0,135$ . Die Tangente lautet $y = - e^{- 2} (x - 2) + 2 e^{- 2} = e^{- 2} (4 - x)$ und trifft die $x$ -Achse bei $x = 4$ .

Graph von f(x) = x · e^−x. Für x → ∞ nähert sich der Graph der x-Achse, die waagerechte Asymptote ist. Die Wendetangente trifft die Achse bei x = 4.

Andere Funktionstypen

Das Schema bleibt gleich, nur die Schwerpunkte verschieben sich:

Gebrochenrationale Funktionen: Zuerst Definitionslücken, dann Polstellen und Asymptoten. Das alles steht bei den gebrochenrationalen Funktionen.
e-Funktionen: Beachte, dass $e^{x}$ nie null wird und für $x \to - \infty$ gegen null geht (mehr bei der Exponentialfunktion).
Eingeschränkter Definitionsbereich: Liegt die Funktion nur auf einem Intervall vor, prüfe auch die Randwerte, denn dort kann das größte oder kleinste $f (x)$ liegen. Das ist die Idee der Extremwertaufgaben.
Trigonometrische Funktionen: Sie sind periodisch, du untersuchst eine Periode und setzt fort.

Mit dem Kurvendiskussion-Rechner kannst du deine Ergebnisse prüfen, mit dem Funktionsplotter den Graphen ansehen. Zum Üben gibt es das Arbeitsblatt Extrempunkte.

Typische Fehler

$f' (x_{0}) = 0$ reicht nicht: Das ist nur die notwendige Bedingung. Bei $f (x) = x^{3}$ ist $f' (0) = 0$ , aber es gibt keinen Extrempunkt.
$y$ -Wert vergessen: Gefragt sind Punkte. Setze $x_{0}$ in $f$ ein, nicht in $f'$ oder $f''$ .
Vorzeichen vertauscht: $f'' (x_{0}) > 0$ gehört zum Tiefpunkt (Schale), $f'' (x_{0}) < 0$ zum Hochpunkt.
Wendepunkt ohne Prüfung: $f'' (x_{0}) = 0$ allein genügt nicht. Bei $f (x) = x^{4}$ gilt $f'' (0) = 0$ , aber $f''$ wechselt das Vorzeichen nicht, und es gibt keinen Wendepunkt.
Nullstelle verloren: Bei $x^{3} - 3 x = 0$ darfst du nicht durch $x$ teilen, sonst fehlt die Lösung $x = 0$ . Klammere $x$ aus.
Wendetangente: Ihre Steigung ist $f' (x_{W})$ , nicht $f'' (x_{W})$ und nicht $f (x_{W})$ .
Ableitungsfehler: Ein Fehler in $f'$ zerstört alle weiteren Schritte. Prüfe, ob die Ergebnisse zum Graphen passen, zum Beispiel mit dem Plotter.

Übungen

Geschichte: Maxima und Minima

Die Suche nach größten und kleinsten Werten ist älter als die Ableitung. Pierre de Fermat fand um 1630 ein Verfahren, Extremwerte zu bestimmen, das dem Nullsetzen der Ableitung entspricht. Im Jahr 1684 veröffentlichte Gottfried Wilhelm Leibniz seine Nova Methodus pro maximis et minimis, die Differenzieren und Extremwerte verband. Seither ist die Ableitung das Standardwerkzeug, um den Verlauf eines Graphen zu untersuchen.

Häufige Fragen

Muss ich die Schritte in dieser Reihenfolge machen?

Nein, aber die Reihenfolge ist praktisch: Erst die einfachen Schritte, dann die Ableitungen. Die Ableitungen brauchst du für alle weiteren Schritte.

Wie viele Extremstellen kann eine Funktion haben?

Eine ganzrationale Funktion vom Grad $n$ hat höchstens $n - 1$ Extrempunkte und höchstens $n - 2$ Wendepunkte. Grad 3 hat also höchstens zwei Extrempunkte und einen Wendepunkt.

Was ist der Unterschied zwischen lokalem und globalem Extremum?

Ein lokaler Hochpunkt ist nur in seiner Umgebung der höchste Punkt. Ein globales Maximum ist der höchste Wert der ganzen Funktion. Im Hauptbeispiel ist $H (1 | 4)$ nur lokal, denn $f$ wächst für $x \to \infty$ über alle Grenzen.

Kann ich die Kurvendiskussion mit einem Rechner machen?

Ja, zum Prüfen. In Prüfungen verlangt man aber meist den Rechenweg. Der Rechner hilft, Fehler zu finden.

Quellen und weiterführende Literatur

Wikipedia: Kurvendiskussion
Wikipedia: Extremwert
Wikipedia: Wendepunkt
Wikipedia: Sattelpunkt
Gottfried Wilhelm Leibniz: Nova Methodus pro Maximis et Minimis, Acta Eruditorum, 1684.