Rechner · Klasse 10 bis Studium
Ableitungsrechner mit Rechenweg und Regeln
Gib eine Funktion ein und erhalte die Ableitung samt Erklärung, welche Regel an welcher Stelle greift. Der Rechner zeigt bei Produkten und Verkettungen die Teilfunktionen u und v, bildet bis zu vier Ableitungen und berechnet Steigung und Tangente an einer Stelle.
So benutzt du den Ableitungsrechner
Schreib den Funktionsterm in das Feld. Malpunkte darfst du weglassen: 3x^2, 2sin(x) und x e^x werden richtig verstanden. Der Rechner zeigt die Ableitung in mathematischer Schreibweise und erklärt darunter, welche Regel er für welchen Teil verwendet hat. Bei Brüchen fasst er das Ergebnis zusätzlich auf einen gemeinsamen Nenner zusammen. Im Erweitert-Bereich wählst du, wie oft abgeleitet wird, und gibst eine Stelle x₀ für Steigung und Tangente an.
Die Ableitungsregeln
| Regel | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Potenzregel | (xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹ | (x⁵)′ = 5x⁴ |
| Faktorregel | (c · f)′ = c · f′ | (3x²)′ = 6x |
| Summenregel | (f + g)′ = f′ + g′ | (x² + x)′ = 2x + 1 |
| Produktregel | (u · v)′ = u′v + uv′ | (x² sin x)′ = 2x sin x + x² cos x |
| Quotientenregel | (u : v)′ = (u′v − uv′) : v² | (1 : x)′ = −1 : x² |
| Kettenregel | f(g(x))′ = f′(g(x)) · g′(x) | (e2x)′ = 2e2x |
Dazu kommen die Grundableitungen: (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (eˣ)′ = eˣ und (ln x)′ = 1/x. Die Begründungen findest du im Kapitel Analysis.
Was die Ableitung bedeutet
Die Ableitung f′(x) gibt die Steigung des Graphen an der Stelle x an, also die Steigung der Tangente dort. Sie ist der Grenzwert der Sekantensteigungen (f(x + h) − f(x)) : h für immer kleinere h. Ist f′ positiv, steigt der Graph, ist sie negativ, fällt er. Wo f′(x) = 0 gilt, hat der Graph eine waagerechte Tangente, dort liegen mögliche Hoch- und Tiefpunkte. Erfunden haben die Differentialrechnung unabhängig voneinander Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz im 17. Jahrhundert. Von Leibniz stammt die Schreibweise dy/dx.
Höhere Ableitungen
Leitet man die Ableitung noch einmal ab, erhält man die zweite Ableitung f″. Sie beschreibt die Krümmung: Ist f″ positiv, ist der Graph linksgekrümmt wie eine nach oben offene Schale, ist sie negativ, rechtsgekrümmt. In der Physik ist die erste Ableitung des Weges die Geschwindigkeit und die zweite die Beschleunigung.
Häufige Fragen
Woran erkenne ich, dass ich die Kettenregel brauche?
Immer wenn in einer Funktion nicht einfach x steht, sondern ein Term: sin(2x + 1), ex² oder (3x − 1)⁵. Dann leitest du die äußere Funktion ab, setzt den inneren Term unverändert ein und multiplizierst mit der Ableitung des inneren Terms.
Muss ich die Quotientenregel benutzen?
Nicht immer. 1/x² kannst du als x⁻² schreiben und mit der Potenzregel ableiten: −2x⁻³. Für echte Brüche mit x im Zähler und Nenner ist die Quotientenregel aber meist der bequemste Weg.
Warum sieht mein Ergebnis anders aus als das des Rechners?
Ableitungen lassen sich auf viele gleichwertige Arten schreiben, etwa 2x sin x + x² cos x oder x (2 sin x + x cos x). Setze zur Kontrolle eine Zahl für x ein: Stimmen beide Ergebnisse überein, ist deine Ableitung richtig.
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