Die Ableitungs­funktion

Die Ableitung gilt für jede Stelle $x$. Ordnest du jedem $x$ die Tangentensteigung zu, erhältst du die Ableitungsfunktion $f\prime$. Aus ihrem Graphen liest du den Verlauf von $f$ ab:

• $f\prime (x)>0$: Der Graph von $f$ steigt.
• $f\prime (x)<0$: Der Graph von $f$ fällt.
• $f\prime (x)=0$: Die Tangente ist waagerecht, dort liegt oft ein Hoch- oder Tiefpunkt.

Nicht jede Funktion ist überall differenzierbar. Bei $f(x)=|x|$ ist die Sekantensteigung bei $x=0$ rechts immer $+1$ und links immer $-1$. Beide Grenzwerte sind verschieden, der Graph hat dort einen Knick und keine Tangente. Wer differenzierbar ist, ist stetig, aber die Umkehrung gilt nicht.