Logarithmen

Der Logarithmus ist die Umkehrung des Potenzierens. Er beantwortet die Frage: Mit welcher Hochzahl muss ich eine Basis potenzieren, um eine bestimmte Zahl zu erhalten? Wie oft musst du 1 € verdoppeln, bis daraus 1.000 € werden? Gesucht ist die Lösung von $2^x=1.000$, und sie heißt ${\log }_{2}1.000\approx \mathrm{9,97}$. Nach 10 Verdopplungen hast du schon 1.024 €.

Logarithmen stecken in der Lautstärke (Dezibel), im pH-Wert, in der Erdbebenstärke und in jeder Zinseszinsrechnung. Vor rund 400 Jahren verwandelten sie das mühsame Multiplizieren in ein Addieren. Du solltest die Potenzgesetze kennen, denn aus ihnen folgen alle Logarithmengesetze.

Einführung in Logarithmen: die Umkehrung des Potenzierens

Du kennst Umkehrungen: Subtrahieren macht Addieren rückgängig, Teilen das Malnehmen. Das Potenzieren hat sogar zwei Umkehrungen, weil Basis und Hochzahl nicht vertauschbar sind ($2^3\ne 3^2$). Fehlt die Basis, ziehst du eine Wurzel. Fehlt die Hochzahl, brauchst du den Logarithmus.

Ein Beispiel aus der Biologie: Eine Bakterienkultur verdoppelt sich jede Stunde. Nach wie vielen Stunden aus einem Bakterium eine Million werden, ist keine Frage nach dem Ergebnis, sondern nach der Hochzahl. Aus $2^x=\mathrm{1.000.000}$ folgt $x\approx 20$. Der Logarithmus zählt also, wie oft man verdoppelt, verzehnfacht oder allgemein mit der Basis multipliziert hat.

Was ist ein Logarithmus?

Warum diese Bedingungen? Mit der Basis 1 kommt immer 1 heraus, da ist keine Hochzahl zu finden. Eine positive Basis liefert nur positive Potenzen. Deshalb gibt es keinen Logarithmus von null oder von negativen Zahlen.

Eigenschaften von Logarithmen

Weil der Logarithmus ein Exponent ist, ergeben sich ein paar Grundtatsachen direkt aus der Definition.

• ${\log }_{b}1=0$, denn $b^0=1$.
• ${\log }_{b}b=1$, denn $b^1=b$.
• ${\log }_b\left(b^x\right)=x$ und $b^{{\log }_{b}a}=a$: Logarithmus und Potenz heben sich auf.
• Bei $b>1$ gilt ${\log }_{b}a>0$ für $a>1$ und ${\log }_{b}a<0$ für $0<a<1$.
• Aus ${\log }_{b}u={\log }_{b}v$ folgt $u=v$.

Häufige Logarithmen: dekadisch und natürlich

Drei Basen sind so wichtig, dass sie eigene Namen und Tasten auf dem Taschenrechner haben.

Für andere Basen brauchst du den Basiswechsel. Er lässt dich jeden Logarithmus mit den Tasten lg oder ln berechnen (der Beweis folgt unten):

Logarithmen eignen sich für Größen, die riesige Bereiche überstreichen. Der pH-Wert ist der negative Zehnerlogarithmus der Konzentration der Wasserstoff-Ionen, also $\mathrm{pH}=-\lg c$. Eine Lösung mit pH 2 ist daher zehnmal saurer als eine mit pH 3. Auf der Richterskala steht jede ganze Zahl mehr für zehnfach größere Ausschläge des Seismografen.

Achte beim Rechnen auf die Schreibweise: Auf Taschenrechnern bedeutet die Taste log den Zehnerlogarithmus. In vielen Programmiersprachen wie Python oder JavaScript liefert log dagegen den natürlichen Logarithmus. Im Zweifel gilt der Kontext.

Logarithmengesetze

Die Gesetze sind die Potenzgesetze in neuer Verkleidung. Aus „Potenzen mit gleicher Basis multipliziert man, indem man die Exponenten addiert“ wird: Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen.

Als Merkhilfe senken die Gesetze die Rechenstufe um eine Stufe: Aus Mal wird Plus, aus Geteilt wird Minus, aus Hoch wird Mal. Gerade das machte Logarithmen zum Rechenwerkzeug, denn Addieren ist viel leichter als Multiplizieren.

Rechenregeln anwenden: zusammenfassen und zerlegen

Die Gesetze benutzt du in beide Richtungen. Beim Zusammenfassen machst du aus mehreren Logarithmen einen. Beim Zerlegen trennst du einen komplizierten Numerus in Teile.

Beweise zu den Logarithmengesetzen

Alle Beweise folgen demselben Muster: Schreibe die Logarithmen als Exponenten, wende ein Potenzgesetz an und lies das Ergebnis wieder als Logarithmus. Wir setzen $x={\log }_{b}u$ und $y={\log }_{b}v$. Nach der Definition heißt das $u=b^x$ und $v=b^y$.

Ein Zahlenbeispiel zum ersten Beweis: Mit $u=8=2^3$ und $v=4=2^2$ ist $u·v=2^{3+2}=2^5=32$. Die Exponenten 3 und 2 addieren sich zu 5, und genau das sagt das Produktgesetz. Beim Quotienten gilt dasselbe: $32:8=2^5:2^3=2^{5-3}=2^2=4$. Und für die Potenz: $8^2={\left(2^3\right)}^2=2^{3·2}=2^6=64$. Die Rechnungen zeigen, dass die Gesetze nicht vom Himmel fallen, sondern aus den Potenzgesetzen folgen. Wer die Potenzgesetze versteht, muss sich die Logarithmengesetze nie auswendig merken.

Graphen von Logarithmusfunktionen

Die Umkehrfunktion von $g\left(x\right)=b^x$ ist $f\left(x\right)={\log }_{b}x$. Ihre Graphen liegen deshalb spiegelbildlich zur Geraden $y=x$. Für $b=2$ zeigt die Wertetabelle, wie das zusammenpasst: Die Punkte der Exponentialfunktion (x | y) werden zu den Punkten (y | x) der Logarithmusfunktion.

Der Logarithmus wächst sehr langsam. Schon ${\log }_2\mathrm{1.000.000}\approx \mathrm{19,9}$: Eine Million braucht nur etwa 20 Verdopplungen. Die zweite Abbildung zeigt, wie die Basis die Steilheit verändert.

Wie bei jeder Funktion verschieben und strecken Rechenzeichen den Graphen. Bei $f\left(x\right)={\log }_2(x-3)+1$ rutscht die Kurve um 3 nach rechts und um 1 nach oben. Die Asymptote liegt dann bei $x=3$, und der Definitionsbereich ist (3; ∞). Spiegelt man den Graphen an der x-Achse, erhält man den Logarithmus zur Basis $\frac{1}{2}$.

Logarithmusfunktionen lösen

Typische Aufgaben sind Funktionswerte berechnen, Nullstellen und Definitionsbereich bestimmen und die Umkehrfunktion bilden. Beim Definitionsbereich muss das Argument des Logarithmus positiv sein.

Gleichungen mit Logarithmen lösen: Exponentialgleichungen

Steckt die Unbekannte im Exponenten, holt der Logarithmus sie nach unten. Das nennt man Exponentialgleichung. Vorher musst du die Potenz allein auf eine Seite bringen, ähnlich wie bei jeder anderen Gleichung (siehe Variable isolieren).

Logarithmische Gleichungen lösen

Steht die Unbekannte im Logarithmus, kehrst du den Logarithmus um: Du setzt beide Seiten als Exponent der Basis ein. Gehe dabei in vier Schritten vor: Definitionsbereich bestimmen (jedes Argument muss positiv sein), mit den Gesetzen zu einem Logarithmus zusammenfassen, in die Potenzform umschreiben und am Ende mit dem Definitionsbereich vergleichen.

Geschichte: vom Rechenknecht zum Rechenschieber

Um 1600 rechneten Astronomen, Seefahrer und Landvermesser mit siebenstelligen Zahlen. Eine einzige Multiplikation kostete Minuten, eine Tafel mit Sternörtern Wochen. Die Rettung kam aus einer einfachen Beobachtung.

Napier und Bürgi: Multiplizieren durch Addieren

Die Zweierpotenzen 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 gehören zu den Hochzahlen 0 bis 6. Willst du 16 · 64 rechnen, addierst du die Hochzahlen 4 und 6 und erhältst $2^{10}=1.024$. Schon Michael Stifel hatte 1544 eine solche Tabelle aufgestellt. Aber erst der schottische Gutsherr John Napier (1550–1617) baute daraus ein Werkzeug für beliebige Zahlen. 1614 erschien seine Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Das Wort Logarithmus prägte er aus den griechischen Wörtern logos (Verhältnis) und arithmos (Zahl). Unabhängig von ihm entwickelte Jost Bürgi (1552–1632), Uhrmacher und Instrumentenbauer in Kassel und Prag, eine ähnliche Methode. Seine Tafeln erschienen 1620. Wie dringend die Astronomen sie brauchten, zeigt Johannes Kepler: Er nutzte Logarithmentafeln für seine Rudolfinischen Tafeln, die 1627 erschienen.

Briggs: die Zehnerlogarithmen

Der Londoner Professor Henry Briggs (1561–1630) reiste 1615 nach Edinburgh und verabredete mit Napier, die Basis 10 zu verwenden, damit $\lg 1=0$ und $\lg 10=1$ gilt. 1617 veröffentlichte er die Logarithmen von 1 bis 1.000, 1624 folgte die Arithmetica logarithmica mit 14 Stellen. Den Rest ergänzte Adriaan Vlacq 1628. Mehr dazu auf der Seite über Napier.

Der Rechenschieber: Logarithmen aus Holz

Edmund Gunter (1581–1626) trug die Logarithmen als Strecken auf einen Maßstab. William Oughtred (1574–1660) setzte um 1622 zwei solche Skalen gegeneinander verschiebbar. So entstand der Rechenschieber, der die Addition von Strecken mit der Multiplikation von Zahlen verband. Ingenieure bauten damit noch im 20. Jahrhundert Brücken und Flugzeuge. Erst der Taschenrechner löste ihn ab, etwa mit dem HP-35 von 1972.

Euler und die Zahl e

Für Napier und Briggs waren Logarithmen eine Rechentechnik. Dass sie die Umkehrung der Potenz sind, formulierte erst Leonhard Euler in der Introductio in analysin infinitorum (1748). Er erklärte den Logarithmus als Exponenten und stellte die Zahl $e=\mathrm{2,71828}\dots$ als natürliche Basis in den Mittelpunkt. Auf diese Zahl war schon Jakob Bernoulli beim Zinseszins gestoßen, und Euler bezeichnete sie mit dem Buchstaben e. Natürlich heißt der Logarithmus zur Basis e, weil die Fläche unter der Hyperbel $y=\frac{1}{x}$ von 1 bis x genau $\ln x$ beträgt. Die Analysis nutzt diesen Zusammenhang überall.

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen ln und lg?

lg ist der Logarithmus zur Basis 10, ln der zur Basis e ≈ 2,718. Beide hängen über $\ln x=\lg x·\ln 10\approx \mathrm{2,303}·\lg x$ zusammen.

Warum gibt es keinen Logarithmus von negativen Zahlen?

Eine positive Basis liefert bei jeder reellen Hochzahl nur positive Ergebnisse. Deshalb kann $b^x=-4$ nicht erfüllt werden. Erst in den komplexen Zahlen lässt sich das umgehen.

Wozu braucht man Logarithmen heute?

Überall dort, wo Größen über viele Zehnerpotenzen schwanken: Lautstärke, Erdbeben, Säuregrad, Datenmengen. Außerdem lösen sie Wachstums- und Zerfallsaufgaben.

Quellen und weiterführende Literatur

• Eli Maor: e: The Story of a Number, Princeton University Press, Princeton 1994.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• MacTutor History of Mathematics: John Napier (englisch)
• MacTutor History of Mathematics: Jost Bürgi (englisch)
• Wikipedia: Logarithmus