Ganzrationale Funktionen: Grad, Nullstellen, Graph

Eine ganzrationale Funktion (auch Polynomfunktion) ist eine Funktion, deren Gleichung eine Summe aus Vielfachen von Potenzen von x ist, zum Beispiel f(x) = x³ − 3x² + 4. Zum Ausrechnen brauchst du nur Addieren und Multiplizieren, und der Graph ist eine glatte Kurve ohne Knick, Sprung und Lücke. Das Wort grenzt sie von den gebrochenrationalen Funktionen ab, bei denen x im Nenner steht, wie bei 1 : x.

Hier lernst du, was Grad und Leitkoeffizient über den Graphen verraten, woran du Symmetrie erkennst und wie du Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte einordnest. Am Ende skizzierst du einen Graphen. Das Rechnen mit Polynomen steht auf der Seite Polynome. Vorwissen: Funktionen und Parabeln.

Definition, Grad und Leitkoeffizient

Ganzrationale Funktionen nach Grad
Grad	Name	Beispiel	Graph
0	konstant	f(x) = 3	waagerechte Gerade
1	linear	f(x) = 2x − 1	Gerade (lineare Funktionen)
2	quadratisch	f(x) = x² − 4x + 1	Parabel
3	kubisch	f(x) = x³ − 3x² + 4	S-förmige Kurve
4	quartisch	f(x) = x⁴ − 5x² + 4	W- oder M-förmige Kurve

Verhalten im Unendlichen

Wohin läuft der Graph ganz links und ganz rechts? Dafür schreibst du $x \to \infty$ („x gegen unendlich“), wenn x beliebig groß wird, und $x \to - \infty$ , wenn x beliebig klein, also stark negativ wird. Für große |x| übertrumpft das Glied mit der höchsten Potenz alle anderen. Bei f(x) = x³ − 3x² + 4 ist f(100) = 1.000.000 − 30.000 + 4: Der Beitrag von x³ ist fast das ganze Ergebnis. Der Graph verhält sich also wie der von $a_{n} x^{n}$ .

Die vier Möglichkeiten für das Verhalten im Unendlichen. Die Pfeile an den Kurvenenden zeigen, wohin der Graph weiterläuft.

Verhalten im Unendlichen (Endverhalten)
Grad	Leitkoeffizient	für x → −∞	für x → +∞
gerade	positiv	f(x) → +∞ (links oben)	f(x) → +∞ (rechts oben)
gerade	negativ	f(x) → −∞ (links unten)	f(x) → −∞ (rechts unten)
ungerade	positiv	f(x) → −∞ (links unten)	f(x) → +∞ (rechts oben)
ungerade	negativ	f(x) → +∞ (links oben)	f(x) → −∞ (rechts unten)

Merke dir: Bei geradem Grad laufen beide Enden in dieselbe Richtung, bei ungeradem in entgegengesetzte. Ein positiver Leitkoeffizient heißt „rechts oben“.

Daraus folgt: Bei ungeradem Grad nimmt f jeden Wert an und hat mindestens eine Nullstelle. Bei geradem Grad hat der Graph eine tiefste Stelle (Leitkoeffizient positiv) oder eine höchste (negativ).

Symmetrie zum Koordinatensystem

Ein Graph kann achsensymmetrisch zur y-Achse sein (die linke Hälfte ist das Spiegelbild der rechten) oder punktsymmetrisch zum Ursprung (Drehung um 180° um den Ursprung ändert nichts). Bei ganzrationalen Funktionen erkennst du das an den Exponenten.

Der Grund: Für gerades n ist (−x)ⁿ = xⁿ, für ungerades n ist (−x)ⁿ = −xⁿ. Das Absolutglied zählt als gerader Exponent, denn a₀ = a₀x⁰.

Schnittpunkt mit der y-Achse

Auf der y-Achse ist x = 0. Dann fallen alle Glieder mit x weg, und es bleibt $f (0) = a_{0}$ . Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist also S(0 | a₀), und du liest ihn direkt am Absolutglied ab. Bei f(x) = x³ − 3x² + 4 ist es (0 | 4), bei f(x) = 2x⁴ − x ist es der Ursprung (0 | 0).

Nullstellen und ihre Vielfachheit

Nullstellen berechnen

Eine Nullstelle ist eine Zahl x mit f(x) = 0. Dort schneidet oder berührt der Graph die x-Achse. Welches Verfahren passt, hängt von der Form ab:

Ausklammern: x³ − 4x = x(x − 2)(x + 2) hat die Nullstellen 0, 2 und −2, denn ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist (Nullproduktsatz).
Substitution: Kommen nur x⁴, x² und eine Zahl vor, setzt du z = x². Aus x⁴ − 5x² + 4 = 0 wird z² − 5z + 4 = 0, also z = 1 oder z = 4 und damit x = ±1 oder x = ±2.
Raten und abspalten: Bei Grad 3 oder höher probierst du Teiler des Absolutglieds. Hast du eine Nullstelle gefunden, teilst du den Faktor mit der Polynomdivision ab.
Näherung: Sonst hilft ein Rechner wie der Funktionsplotter.

Vielfachheit: schneiden oder berühren

Steht ein Faktor (x − x₁) mehrfach in der Zerlegung, zum Beispiel (x − x₁)^m, ist x₁ eine Nullstelle der Vielfachheit m. Davon hängt das Aussehen des Graphen an dieser Stelle ab.

Die einfachsten Fälle sind f(x) = x (geneigt hindurch), f(x) = x² (Berührung) und f(x) = x³ (flach hindurch). Der Grund: Ein Faktor (x − x₁)^m wechselt bei x₁ genau dann das Vorzeichen, wenn m ungerade ist. Die übrigen Faktoren ändern in der Nähe von x₁ ihr Vorzeichen nicht.

Einfache Nullstellen (−2 und 3): Der Graph schneidet die Achse und wechselt das Vorzeichen. Doppelte Nullstelle (1): Der Graph berührt die Achse nur und bleibt auf derselben Seite.

Linearfaktorzerlegung

Nach dem Faktorsatz gehört zu jeder Nullstelle x₁ ein Linearfaktor (x − x₁). Hat f den Grad n und n Nullstellen, wobei mehrfache mehrfach zählen, gilt

f (x) = a_{n} \cdot (x - x_{1}) (x - x_{2}) \dots (x - x_{n})

Der Vorfaktor a_n gehört immer dazu. Nicht jede ganzrationale Funktion zerfällt in reelle Linearfaktoren: x² + 1 hat keine reelle Nullstelle. Mit komplexen Zahlen gelingt die Zerlegung immer.

Wie viele Nullstellen sind möglich?

Mögliche Anzahl verschiedener Nullstellen
Grad n	Anzahl der Nullstellen
1	genau 1
2	0, 1 oder 2
3	1, 2 oder 3
4	0 bis 4

Eine Funktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen. Bei ungeradem Grad gibt es immer mindestens eine, denn die Enden liegen auf verschiedenen Seiten der x-Achse und der Graph reißt nirgends ab. Bei geradem Grad kann es auch keine geben, etwa bei x² + 1 oder x⁴ + 1. Zählst du mehrfache Nullstellen mehrfach und erlaubst komplexe Zahlen, sind es genau n.

Extrem- und Wendepunkte

Ein Extrempunkt ist ein Hoch- oder Tiefpunkt: Der Graph wechselt von steigend auf fallend oder umgekehrt. Dort verläuft die Tangente waagerecht, es gilt $f' (x) = 0$ . Ein Wendepunkt ist eine Stelle, an der sich die Krümmung ändert: Der Graph wechselt von einer Linkskurve in eine Rechtskurve oder umgekehrt. Dort gilt $f'' (x) = 0$ mit einem Vorzeichenwechsel von $f''$ . Wie du Polynome ableitest und Extremstellen findest, steht im Abschnitt Ableitungsregeln und bei den Extremstellen.

Die Ableitung einer Funktion vom Grad n hat den Grad n − 1, die zweite Ableitung den Grad n − 2. Ein Polynom vom Grad m hat höchstens m Nullstellen. Daraus folgt:

Höchstzahl der besonderen Punkte
Grad n	Nullstellen	Extrempunkte (höchstens n − 1)	Wendepunkte (höchstens n − 2)
2	2	1	0
3	3	2	1
4	4	3	2
5	5	4	3

Es können weniger sein: x³ hat keinen Extrempunkt, x⁴ keinen Wendepunkt. Bei Grad 3 gibt es immer genau einen Wendepunkt.

Einen Graphen aus den Eigenschaften skizzieren

Endverhalten: Grad und Leitkoeffizient zeigen, wo der Graph links und rechts herkommt.
Symmetrie: Prüfe die Exponenten.
y-Achsenabschnitt: Berechne f(0) = a₀.
Nullstellen: Bestimme sie samt Vielfachheit (schneiden oder berühren).
Extrempunkte: Löse f′(x) = 0 und berechne die Funktionswerte.
Wendepunkte: Löse f″(x) = 0.
Zeichnen: Trage die Punkte ein, verbinde sie zu einer glatten Kurve und kontrolliere sie mit einer Wertetabelle.

Ein vollständiges Beispiel

Untersuche f(x) = x³ − 3x² + 4.

Beispiel: Schritt für Schritt untersucht

Endverhalten: Grad 3 (ungerade), Leitkoeffizient 1 (positiv). Der Graph kommt von links unten und läuft nach rechts oben.
Symmetrie: Die Exponenten 3, 2 und 0 sind gemischt. Es liegt keine Symmetrie zur y-Achse oder zum Ursprung vor.
y-Achsenabschnitt: f(0) = 4, also (0 | 4).
Nullstellen: Probiere Teiler von 4. Es ist f(−1) = −1 − 3 + 4 = 0. Die Division durch (x + 1) ergibt x² − 4x + 4 = (x − 2)². Also ist f(x) = (x + 1)(x − 2)². Die Nullstelle −1 ist einfach (der Graph schneidet), die Nullstelle 2 ist doppelt (er berührt).
Extrempunkte: f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2), also x = 0 oder x = 2. Mit f″(x) = 6x − 6 gilt f″(0) = −6 < 0: Hochpunkt H(0 | 4). Es gilt f″(2) = 6 > 0: Tiefpunkt T(2 | 0). Der Tiefpunkt liegt auf der x-Achse, passend zur doppelten Nullstelle.
Wendepunkt: f″(x) = 0 ergibt x = 1, und f″ wechselt dort das Vorzeichen. Mit f(1) = 1 − 3 + 4 = 2 ist W(1 | 2) der Wendepunkt.

Der Graph von f(x) = x³ − 3x² + 4 mit Nullstelle N(−1 | 0), Hochpunkt H(0 | 4), Wendepunkt W(1 | 2) und Tiefpunkt T(2 | 0). Der Tiefpunkt liegt auf der x-Achse: Dort berührt der Graph die Achse (doppelte Nullstelle).

Die Funktion hat mit zwei Extrempunkten und einem Wendepunkt genau die Höchstzahl für Grad 3 erreicht.

Typische Fehler

Übungen

Die Ergebnisse prüfst du mit dem Kurvendiskussion-Rechner.

Geschichte: von der kubischen Gleichung zum Fundamentalsatz

Nullstellen waren lange Lösungen von Gleichungen, bevor es Graphen gab. Quadratische Gleichungen lösten schon babylonische Schreiber. Für die Gleichung dritten Grades fand um 1515 Scipione del Ferro in Bologna ein Verfahren, das er geheim hielt. Niccolò Tartaglia entdeckte es 1535 unabhängig neu, und Gerolamo Cardano veröffentlichte es 1545 in seiner Ars Magna. Sein Schüler Lodovico Ferrari löste die Gleichung vierten Grades (Tartaglia, Cardano und Ferrari). Dass es für Grad 5 keine allgemeine Formel gibt, bewies Niels Henrik Abel 1824 (Gleichungen höheren Grades).

Dass jedes Polynom vom Grad n genau n komplexe Nullstellen hat, ist der Fundamentalsatz der Algebra. Carl Friedrich Gauß bewies ihn 1799 in seiner Doktorarbeit. Frühere Versuche, etwa von d’Alembert 1746, hatten Lücken, und auch Gauß’ erster Beweis setzte eine Eigenschaft von Kurven voraus, die erst später streng begründet wurde.

Häufige Fragen

Sind Geraden und Parabeln ganzrationale Funktionen?

Ja, es sind die Fälle mit Grad 1 und Grad 2.

Warum ist 1 : x keine ganzrationale Funktion?

Weil x im Nenner steht. Das entspricht dem Exponenten −1, und in ganzrationalen Funktionen sind nur Exponenten 0, 1, 2, 3, … erlaubt. Solche Funktionen heißen gebrochenrational.

Quellen und weiterführende Literatur

Wikipedia: Ganzrationale Funktion
MacTutor History of Mathematics: Girolamo Cardano (englisch)
Gerolamo Cardano: Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus, Nürnberg 1545.
Carl Friedrich Gauß: Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse, Helmstedt 1799.
John Stillwell: Mathematics and Its History, 3. Auflage, Springer, New York 2010.