Funktionen einfach erklärt: Definition und Beispiele

Eine Funktion ist eine Vorschrift, die jeder Zahl aus einer Menge genau eine Zahl zuordnet. Ein Taxi zeigt das gut: Du fährst x Kilometer, und der Fahrpreis hängt nur von x ab. Bei 4 € Grundpreis und 2 € je Kilometer kostet eine Fahrt über 5 km genau 14 €. Zu jeder Strecke gehört also genau ein Preis, und dieses „genau ein“ ist das Herz jeder Funktion.

Funktionen begegnen dir überall: Der Bremsweg hängt von der Geschwindigkeit ab, der Kontostand von der Zeit, die Temperatur vom Ort. Auf dieser Seite lernst du ihre Sprache. Du unterscheidest Relationen und Funktionen, schreibst Funktionen auf, bestimmst ihre erlaubten Eingaben, verrechnest, verkettest und kehrst sie um. Voraussetzung ist, dass du mit Gleichungen und Potenzen sicher umgehst.

Relationen und Funktionen unterscheiden

Eine Relation verbindet Elemente zweier Mengen. Das kann „ist Teiler von“ sein, „ist verheiratet mit“ oder „hat das Quadrat“. Mathematisch ist eine Relation eine Menge von Paaren (x | y). Eine Funktion ist eine besondere Relation: Jedes x der Ausgangsmenge kommt in genau einem Paar vor. Man sagt, die Zuordnung ist eindeutig.

Pfeildiagramme machen das sichtbar: Links stehen die Eingaben, rechts die möglichen Ausgaben.

Links ist x ↦ x² eine Funktion: Jedes x hat genau einen Pfeil, und −1 und 1 dürfen beide bei 1 enden. Rechts gehen von 1 und von 4 je zwei Pfeile aus (y² = x), deshalb ist diese Relation keine Funktion.

Links hat jedes x genau einen Pfeil. Dass die Pfeile von −1 und von 1 beide bei 1 enden, ist erlaubt, denn (−1)² = 1² = 1. Rechts gehen von 1 zwei Pfeile aus, nämlich zu −1 und zu 1. Das verletzt die Eindeutigkeit. Auch ein Element ohne Pfeil wäre ein Fehler.

Am Graphen erkennst du eine Funktion mit dem Senkrechtentest: Lege gedanklich senkrechte Linien durch das Bild. Trifft jede den Graphen höchstens einmal, ist es der Graph einer Funktion. Ein Kreis fällt durch: Zur Gleichung $x^{2} + y^{2} = 25$ gehören bei x = 3 die zwei Werte y = 4 und y = −4, denn 9 + 16 = 25.

Funktionsnotation und Schreibweise

Mathematikerinnen und Mathematiker schreiben Funktionen knapp auf. Der Buchstabe f ist der Name der Funktion, x das Argument, und $f (x)$ liest du „f von x“. Das ist der Funktionswert an der Stelle x, nicht f mal x. Rechts vom Gleichheitszeichen steht der Funktionsterm, zusammen heißt $f (x) = 2 x + 4$ die Funktionsgleichung. Sie beschreibt den Taxipreis von oben.

Vier Wege, dieselbe Funktion darzustellen
Darstellung	Taxipreis	Vorteil
in Worten	4 € Grundpreis plus 2 € je Kilometer	jeder versteht es sofort
Funktionsgleichung	$f (x) = 2 x + 4$ oder $f : x \mapsto 2 x + 4$	kurz und exakt
Wertetabelle	0, 1, 2, 5, 10 km kosten 4, 6, 8, 14, 24 €	Werte sofort ablesbar
Graph	Gerade durch (0 \| 4) mit Steigung 2	Verlauf auf einen Blick

Oft schreibt man statt $f (x)$ auch y. Der Graph von f besteht aus allen Punkten (x | f(x)). Stammen Eingabe und Ausgabe aus den reellen Zahlen ℝ, lautet die ausführliche Form $f : ℝ \to ℝ$ .

Definitionsbereich und Wertebereich

Nicht jede Zahl darf in jede Funktion. Bei $f (x) = 1 / x$ gibt es für x = 0 keinen Funktionswert, denn durch null lässt sich nicht teilen. Bei $g (x) = \sqrt{x}$ sind negative Zahlen tabu, weil es in den reellen Zahlen keine Wurzel aus ihnen gibt. Die Menge aller erlaubten Eingaben heißt Definitionsbereich D. Die Menge aller Werte, die tatsächlich herauskommen, heißt Wertebereich W.

Die Abbildung zeigt $f (x) = \sqrt{x - 1}$ . Unter der Wurzel muss $x - 1 \geq 0$ gelten, also x ≥ 1. Die Wurzel liefert nie etwas Negatives, und jeder Wert ab 0 wird erreicht. Deshalb ist D = [1; ∞) und W = [0; ∞).

Die Funktion f(x) = √(x − 1) ist nur für x ≥ 1 erklärt und liefert nur Werte y ≥ 0. Die dicken Linien auf den Achsen zeigen den Definitionsbereich und den Wertebereich, die gestrichelten Linien den Punkt (5 | 2) mit f(5) = 2.

Die eckige Klammer bei [1 bedeutet, dass die 1 dazugehört. Eine runde Klammer schließt den Randpunkt aus, bei ∞ steht sie immer, denn ∞ ist keine Zahl. Manche Schulbücher schreiben dafür nach außen geöffnete eckige Klammern, etwa ]1; 3[. Fehlen nur einzelne Zahlen, schreibt man ℝ ∖ {0} und liest „ℝ ohne die Null“.

Rechenoperationen mit Funktionen

Funktionen lassen sich wie Zahlen verrechnen. Du rechnest immer an derselben Stelle x und bildest dort Summe, Differenz, Produkt oder Quotient der Funktionswerte. So entsteht eine neue Funktion.

Verkettete (komponierte) Funktionen

Beim Verketten schaltest du zwei Funktionen hintereinander: Das Ergebnis der ersten wird zur Eingabe der zweiten. Man schreibt $(f \circ g) (x) = f (g (x))$ und liest „f nach g“. Zuerst wirkt die innere Funktion g, dann die äußere Funktion f. Das ist wie bei einer Maschinenstraße: Erst wird gebohrt, dann lackiert.

Bei f(g(x)) läuft x zuerst durch g und das Ergebnis danach durch f. Für x = 1 liefert g den Wert 4, und f macht daraus 16.

Das siehst du bei $f (x) = \sqrt{x}$ und $g (x) = x - 4$ . Die Kette $f (g (x)) = \sqrt{x - 4}$ ist nur für x ≥ 4 erklärt. Die umgekehrte Kette $g (f (x)) = \sqrt{x} - 4$ gilt dagegen schon für alle x ≥ 0.

Funktionen zerlegen: innere und äußere Funktion

Verketten funktioniert auch rückwärts. In einem verschachtelten Term erkennst du eine Kette einfacher Bausteine. Diese Übung brauchst du später für die Kettenregel in der Analysis.

Umkehrfunktion bilden

Manche Funktionen kannst du rückgängig machen. Beim Taxipreis $f (x) = 2 x + 4$ fragst du: Wie weit bin ich gefahren, wenn ich 24 € bezahlt habe? Du rechnest rückwärts, erst 24 − 4 = 20, dann 20 : 2 = 10 km. Diese Rückwärtsvorschrift ist die Umkehrfunktion $f^{- 1}$ . Allgemein gilt $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Das geht nur, wenn zu jedem Ausgabewert genau eine Eingabe gehört. Am Graphen prüfst du das mit dem Waagerechtentest: Jede waagerechte Gerade darf den Graphen höchstens einmal treffen. Die Parabel $y = x^{2}$ besteht ihn nicht, denn 9 kommt von 3 und von −3. Dann hilft es, den Definitionsbereich einzuschränken, zum Beispiel auf x ≥ 0. Dort ist die Wurzel die Umkehrfunktion.

Der Schritt „Namen vertauschen“ hat eine schöne Bedeutung: Aus jedem Punkt (a | b) des Graphen von f wird der Punkt (b | a) auf dem Graphen von $f^{- 1}$ . Das ist genau die Spiegelung an der Winkelhalbierenden $y = x$ .

Die Graphen von f(x) = x² (für x ≥ 0) und f⁻¹(x) = √x liegen spiegelbildlich zur gestrichelten Geraden y = x. Aus dem Punkt (2 | 4) wird beim Spiegeln der Punkt (4 | 2).

Wichtige Funktionstypen im Überblick

Ein paar Grundtypen kehren immer wieder. Mit Verschieben, Strecken, Verrechnen und Verketten baust du aus ihnen fast alle Funktionen der Schule.

Acht Grundtypen im Vergleich: Gerade, Parabel, kubische Kurve, Wurzel, Betrag, Hyperbel, Exponentialkurve und Sinuskurve. Die Fenster sind verschieden gewählt, damit jeder Verlauf gut zu erkennen ist.

Die wichtigsten Funktionstypen
Typ	Funktionsgleichung	Merkmal	Beispiel
linear	$f (x) = m x + n$	Gerade, m ist die Steigung	Taxipreis, direkte Proportionalität
quadratisch	$f (x) = a x^{2} + b x + c$	Parabel mit Scheitel	Wurfbahn, Flächen
Potenzfunktion	$f (x) = x^{n}$	gerades n wie Parabel, ungerades n S-förmig	Würfelvolumen $V = a^{3}$
Polynom	$f (x) = a_{n} x^{n} + \dots + a_{0}$	höchstens n Nullstellen	glatte Kurven ohne Knick
Wurzel	$f (x) = \sqrt{x}$	halbe liegende Parabel	Fallzeit aus der Höhe
Betrag	$f (x) = \| x \|$	Knick bei 0	Abstand zum Nullpunkt
gebrochen-rational	$f (x) = \frac{1}{x}$	Hyperbel, Pol bei 0	umgekehrte Proportionalität
Exponential	$f (x) = a^{x}$	wächst oder fällt immer schneller	Zinseszins, Zerfall
Logarithmus	$f (x) = \log_{a} x$	Umkehrung der Exponentialfunktion	Dezibel, pH-Wert
Winkelfunktionen	$f (x) = \sin x$ , $\cos x$	periodisch, Werte zwischen −1 und 1	Schwingungen, Trigonometrie

Zwei Symmetrien helfen beim Skizzieren: Bei $f (- x) = f (x)$ liegt der Graph spiegelsymmetrisch zur y-Achse (wie $x^{2}$ ), bei $f (- x) = - f (x)$ punktsymmetrisch zum Ursprung (wie $x^{3}$ ).

Geschichte: Wie der Funktionsbegriff entstand

Das Wort „Funktion“ ist erst gut 300 Jahre alt, die Idee dahinter deutlich älter. Jeder Schritt machte den Begriff allgemeiner.

Oresme: Größen als Bilder

Um 1350 fragte Nikolaus von Oresme (ca. 1320–1382), wie man darstellt, dass etwas stärker oder schwächer wird, etwa die Wärme eines Stabes. Er trug auf einer Grundlinie Orte oder Zeitpunkte ab und senkrecht darüber die Stärke. Die entstehende Figur zeigt, wie sich die Größe ändert. Das ist die Idee des Graphen, noch ohne Koordinatensystem und ohne Formel.

Descartes: Kurven als Gleichungen

1637 verband René Descartes (1596–1650) in La Géométrie Geometrie und Algebra: Punkte werden durch Zahlen festgelegt, Kurven durch Gleichungen beschrieben. Heute ist der Graph von f die Menge aller Punkte (x | y) mit y = f(x). Von Funktionen sprach Descartes noch nicht, nur von Kurven und ihren Gleichungen.

Leibniz: Das Wort Funktion

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) benutzte das lateinische Wort functio, „Verrichtung“, schon 1673 in einem Manuskript und in Veröffentlichungen der 1690er-Jahre. Er meinte Größen, die von einer Kurve abhängen, etwa die Länge einer Tangente. Sein Briefpartner Johann Bernoulli definierte 1718: Eine Funktion ist eine Größe, die auf irgendeine Weise aus einer veränderlichen Größe und aus Konstanten zusammengesetzt ist.

Euler: Die Schreibweise f(x)

Leonhard Euler (1707–1783) machte die Funktion zum Hauptthema der Analysis. Um 1734 schrieb er erstmals $f (x)$ für den Wert einer Funktion f an der Stelle x. In seiner Introductio in analysin infinitorum (1748) nannte er eine Funktion einen analytischen Ausdruck aus der Veränderlichen und aus Zahlen. Für Euler war eine Funktion also eine Formel. Sinus, Exponentialfunktion und Logarithmus behandelte er systematisch als Funktionen einer Zahl.

Dirichlet: Zuordnung statt Formel

Im 19. Jahrhundert stieß die Formel an Grenzen. Joseph Fourier hatte behauptet, dass sich fast jede Funktion, auch eine mit Sprüngen, aus Sinusschwingungen aufbauen lässt. Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859) formulierte 1837: Ist jedem x eines Intervalls ein bestimmtes y zugeordnet, dann ist y eine Funktion von x, gleichgültig, wie die Zuordnung zustande kommt. Sein berühmtes Beispiel gibt rationalen Zahlen den Wert 1 und irrationalen den Wert 0. Das ist im Kern die Definition, die du heute lernst. Im 20. Jahrhundert fasste man sie noch abstrakter als Menge von Paaren, in der kein erstes Glied doppelt vorkommt, wie am Anfang dieser Seite.

Wie es weitergeht: Wie schnell sich ein Funktionswert ändert, untersucht die Analysis. Die Exponentialfunktion und ihre Umkehrung lernst du bei den Logarithmen kennen, die Winkelfunktionen in der Trigonometrie.

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen einer Funktion und einer Gleichung?

Eine Gleichung wie $2 x + 4 = 10$ fragt nach bestimmten Zahlen, hier x = 3. Eine Funktion wie $f (x) = 2 x + 4$ beschreibt alle Zuordnungen auf einmal. Setzt du $f (x) = 10$ , wird aus der Funktion wieder eine Gleichung.

Dürfen zwei verschiedene x denselben Funktionswert haben?

Ja. Bei $f (x) = x^{2}$ gehören x = 2 und x = −2 beide zu 4. Nicht erlaubt ist, dass ein einziges x zwei Funktionswerte hat.

Quellen und weiterführende Literatur

Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 2: Von Euler bis zur Gegenwart, Springer, Berlin 2009.
A. P. Youschkevitch: The concept of function up to the middle of the 19th century, Archive for History of Exact Sciences 16 (1976).
MacTutor History of Mathematics: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (englisch)
MacTutor History of Mathematics: Leonhard Euler (englisch)
Wikipedia: Funktion (Mathematik)