Anwendungen: Medikament, Kredit, Fischbestand

Immer wenn ein Bestand in festen Schritten wächst oder schrumpft und dabei etwas Festes dazukommt oder abgeht, steckt die lineare Differenzengleichung $x_{n+1}=a·x_n+b$ dahinter. Vier Beispiele zeigen, wie du die Zahlen aus dem Text in $a$ und $b$ übersetzt.

Medikament im Körper

Nimmst du regelmäßig ein Medikament, baut der Körper zwischen zwei Einnahmen einen Teil davon ab, und mit der nächsten Dosis kommt neuer Wirkstoff dazu. Der Faktor $a$ ist der Anteil, der nach dem Abbau bleibt, die Konstante $b$ ist die Dosis.

Kredit mit monatlicher Rate

Bei einem Kredit wachsen die Schulden durch die Zinsen, und jede Rate verringert sie. Mit dem Monatszins $i$ und der Rate $R$ gilt $S_{n+1}=(1+i)·S_n-R$. Die Rate ist hier ein negatives $b$. Dieselbe Aufgabe löst die Finanzmathematik mit der Summe einer geometrischen Reihe, siehe Annuität und Restschuld bei der Finanzmathematik. Den Zinseszins erklärt das kaufmännische Rechnen, die Grundlagen die Zinsrechnung.

Fischbestand mit Fang

In einem See wächst der Bestand jedes Jahr um einen Anteil, und die Fischer entnehmen eine feste Menge. Der Fang ist ein negatives $b$.

Population mit Grenze

Hat ein Lebensraum nur begrenzt Platz oder Futter, bremst das die Vermehrung. Dann ist die Änderung pro Schritt proportional zum Bestand und zum noch freien Platz:

Das ist keine lineare Gleichung mehr, denn $B_n$ wird mit sich selbst multipliziert. Du rechnest sie aber genauso Schritt für Schritt, am besten in einer Tabellenkalkulation. Die Fixpunkte sind $B=0$ und $B=S$, dort ist die Änderung null.