Sekante und Differenzenquotient

Lektion 2 von 7 im Kapitel Schritt 14 von 41 in Klasse 11

Um die Steigung einer Kurve in einem Punkt $P$ zu messen, legst du durch $P$ und einen zweiten Kurvenpunkt $Q$ eine Gerade, die Sekante. Ihre Steigung lässt sich ausrechnen. Hat $P$ die $x$ -Koordinate $x$ und $Q$ die Koordinate $x + h$ , ist die Steigung der Sekante der Differenzenquotient

m = \frac{f (x + h) - f (x)}{h} .

Je näher der zweite Punkt Q an P heranrückt, desto flacher wird die Sekante. Im Grenzfall wird sie zur Tangente mit der Steigung 2. Die Steigung der Sekante durch P und Q₁ ist 5,25 : 1,5 = 3,5.

Im Bild ist $f (x) = x^{2}$ und $P (1 | 1)$ . Rückt $Q$ immer näher an $P$ , wird die Sekante flacher und nähert sich der Tangente, die die Kurve in $P$ nur berührt. Die Tabelle zeigt die Sekantensteigungen. Wegen $\frac{(1 + h)^{2} - 1}{h} = 2 + h$ sind sie leicht zu berechnen. Der Punkt $Q$ darf auch links von $P$ liegen, dann ist $h$ negativ.

Sekantensteigungen durch $P (1 | 1)$ bei $f (x) = x^{2}$
$h$	2	1	0,1	0,01	−0,01	−0,1
Steigung $2 + h$	4	3	2,1	2,01	1,99	1,9

Von beiden Seiten laufen die Werte auf 2 zu. Diese Zahl ist die Steigung der Tangente.

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