Höhere Ableitungen

Die Ableitung $f\prime$ ist selbst eine Funktion und lässt sich wieder ableiten. Das ergibt die zweite Ableitung $f\prime \prime$, danach $f\prime \prime \prime$ und so weiter. Für $f(x)=x^4-2x^2$ gilt:

• $f\prime (x)=4x^3-4x$
• $f\prime \prime (x)=12x^2-4$
• $f\prime \prime \prime (x)=24x$
• $f^{(4)}(x)=24$ und $f^{(5)}(x)=0$

Die zweite Ableitung beschreibt die Krümmung: Bei $f\prime \prime (x)>0$ biegt sich der Graph nach links (wie eine Schale), bei $f\prime \prime (x)<0$ nach rechts. Beim Auto ist der Weg $s(t)$, die erste Ableitung $s\prime (t)=v(t)$ die Geschwindigkeit und die zweite $s\prime \prime (t)=a(t)$ die Beschleunigung. Für $s(t)=2t^2+3t$ (in Metern, $t$ in Sekunden) ist $v(t)=4t+3$ und $a(t)=4$. Nach 5 Sekunden fährt das Auto mit $v(5)=23$ m/s, das sind $23·\mathrm{3,6}=\mathrm{82,8}$ km/h.