Mathematik des 20. Jahrhunderts

Die Mathematik des 20. Jahrhunderts ist die Geschichte einer Wissenschaft, die ihre eigenen Fundamente untersuchte und dabei auf unerwartete Grenzen stieß. Zwischen 1900 und 2000 fragten Mathematikerinnen und Mathematiker nicht mehr nur, was wahr ist, sondern auch, was sich überhaupt beweisen und berechnen lässt. Aus dieser Grundlagenarbeit gingen Gödels Unvollständigkeitssätze und Turings Theorie der Berechenbarkeit hervor und damit zugleich die theoretische Basis des Computers.

Gleichzeitig wurde die Mathematik abstrakter und vielfältiger als je zuvor. Algebra, Topologie und Funktionalanalysis beschrieben nicht mehr einzelne Zahlen oder Figuren, sondern allgemeine Strukturen. Neue Gebiete wie Spieltheorie, Informationstheorie, Chaostheorie und fraktale Geometrie verbanden das Fach mit Wirtschaft, Technik und Naturwissenschaften. Aus einem kleinen Kreis von Gelehrten an wenigen Universitäten wurde ein weltweiter Beruf.

Das Jahrhundert begann mit David Hilberts Liste offener Probleme von 1900 und endete mit aufsehenerregenden Beweisen: dem computergestützten Beweis des Vier-Farben-Satzes 1976 und dem Beweis des Großen Fermatschen Satzes 1994/95. Dazwischen lagen zwei Weltkriege, die Vertreibung vieler Forschender aus dem nationalsozialistischen Deutschland und eine Verlagerung des mathematischen Zentrums von Göttingen nach Princeton.

Historischer Kontext: Von Göttingen nach Princeton

Um 1900 lag das Zentrum der Mathematik in Europa. In Göttingen lehrten Felix Klein und David Hilbert, später kamen Hermann Minkowski, Emmy Noether und viele andere hinzu; Paris war mit Henri Poincaré die zweite Hauptstadt des Fachs. Internationale Mathematikerkongresse, deren zweiter 1900 in Paris stattfand, machten die Forschung zu einem grenzüberschreitenden Unternehmen.

Der Erste Weltkrieg zerriss diese Gemeinschaft zeitweise: Zu den Kongressen von 1920 und 1924 waren deutsche Mathematiker nicht eingeladen. Ein weit tieferer Einschnitt folgte 1933. Das nationalsozialistische „Gesetz zur Wiederherstellung des Berufsbeamtentums“ führte zur Entlassung jüdischer und politisch missliebiger Hochschullehrer. Göttingen verlor binnen kurzer Zeit einen großen Teil seiner Mathematiker, darunter Emmy Noether, Richard Courant und Hermann Weyl. Viele von ihnen fanden in den USA eine neue Heimat.

Besonders das 1930 gegründete Institute for Advanced Study in Princeton zog Emigranten an: Albert Einstein, Hermann Weyl und John von Neumann gehörten zu seinen ersten Professoren, Kurt Gödel emigrierte 1940 endgültig dorthin. Nach 1945 wurden die USA zur führenden mathematischen Nation; starke Schulen entstanden aber auch in der Sowjetunion um Andrei Kolmogorow und in Frankreich um die Gruppe Bourbaki. Die 1936 erstmals verliehene Fields-Medaille wurde zur angesehensten Auszeichnung des Fachs.

Hilberts 23 Probleme: Ein Programm für das Jahrhundert

Am 8. August 1900 sprach der 38-jährige David Hilbert auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Paris über „Mathematische Probleme“. Im Vortrag selbst stellte er aus Zeitgründen nur zehn Fragen vor; die gedruckte Fassung enthielt 23 Probleme aus nahezu allen Gebieten der damaligen Mathematik. Hilbert verband die Liste mit einem Bekenntnis: Jedes klar gestellte mathematische Problem sei lösbar, entweder durch eine Antwort oder durch den Nachweis, dass eine Lösung unmöglich ist.

Die Liste wirkte wie ein Forschungsprogramm. Einige Beispiele:

• Problem 1: die Kontinuumshypothese Georg Cantors: Gibt es eine unendliche Menge, die mächtiger ist als die natürlichen, aber weniger mächtig als die reellen Zahlen?
• Problem 2: der Beweis, dass die Axiome der Arithmetik widerspruchsfrei sind.
• Problem 7: die Transzendenz von Zahlen wie 2^√2, gelöst 1934/35 von Alexander Gelfond und Theodor Schneider.
• Problem 8: die Riemannsche Vermutung (nach Bernhard Riemann) und weitere Fragen zur Verteilung der Primzahlen.
• Problem 10: ein allgemeines Verfahren, das für jede diophantische Gleichung entscheidet, ob sie ganzzahlige Lösungen hat.

Heute gilt rund die Hälfte der Probleme als gelöst, mehrere weitere als teilweise beantwortet. Einige, etwa die Axiomatisierung der Physik (Problem 6), waren zu allgemein formuliert, um je endgültig erledigt zu werden. Offen sind unter anderem die Riemannsche Vermutung und Problem 12, die Verallgemeinerung des Satzes von Kronecker-Weber auf beliebige Zahlkörper. Manche Antworten fielen anders aus, als Hilbert erwartet hatte: Problem 1 erwies sich als unentscheidbar, Problem 10 als unlösbar.

Hinter der Liste stand ein neues Verständnis von Mathematik. In seinen Grundlagen der Geometrie (1899) hatte Hilbert die euklidische Geometrie auf ein lückenloses Axiomensystem gestellt. Axiome galten nun nicht mehr als „selbstverständliche Wahrheiten“ über den Raum, sondern als Festlegungen, aus denen alles Weitere rein logisch folgen muss. Ihm wird der Satz zugeschrieben, man müsse statt „Punkte, Geraden, Ebenen“ jederzeit auch „Tische, Stühle, Bierseidel“ sagen können. Von einem guten Axiomensystem erwartete Hilbert vor allem zweierlei: Widerspruchsfreiheit (es lässt sich kein Widerspruch ableiten) und Vollständigkeit (jede Aussage lässt sich beweisen oder widerlegen).

Eng verbunden war Hilbert mit seinem Freund Hermann Minkowski, der 1902 ebenfalls nach Göttingen kam. Minkowski begründete die Geometrie der Zahlen und gab 1908 in seinem Kölner Vortrag „Raum und Zeit“ Einsteins spezieller Relativitätstheorie ihre geometrische Gestalt: die vierdimensionale Raumzeit. Er starb bereits im folgenden Jahr.

Die Grundlagenkrise: Logizismus, Formalismus und Intuitionismus

Ende des 19. Jahrhunderts schien Cantors Mengenlehre eine sichere Basis für die gesamte Mathematik zu bieten, und Gottlob Frege wollte die Arithmetik vollständig auf Logik zurückführen. 1901 entdeckte Bertrand Russell jedoch einen Widerspruch, den er Frege im Juni 1902 brieflich mitteilte. Man betrachte die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten: Enthält sie sich selbst, darf sie es nach ihrer Definition nicht; enthält sie sich nicht, muss sie es. Diese Russellsche Antinomie zeigte, dass ein naiver Mengenbegriff in Widersprüche führt.

Auf die Krise antworteten drei Schulen:

• Logizismus: Russell und Alfred North Whitehead wollten in den drei Bänden der Principia Mathematica (1910–1913) die Mathematik aus wenigen logischen Grundsätzen herleiten; eine Typentheorie sollte Antinomien ausschließen. Das Werk ist für seine Gründlichkeit berüchtigt: Bis zur Aussage 1 + 1 = 2 vergehen mehrere hundert Seiten.
• Intuitionismus: L. E. J. Brouwer verlangte, dass mathematische Objekte schrittweise konstruiert werden. Er lehnte deshalb reine Existenzbeweise ab und erkannte den Satz vom ausgeschlossenen Dritten (jede Aussage ist wahr oder falsch) für unendliche Gesamtheiten nicht an.
• Formalismus: Hilbert wollte die klassische Mathematik vollständig formalisieren und dann mit „finiten“, unstrittigen Mitteln beweisen, dass sie widerspruchsfrei ist (Hilbertprogramm).

Parallel dazu axiomatisierte Ernst Zermelo 1908 die Mengenlehre. Ergänzt durch Abraham Fraenkel und andere entstand daraus das System ZFC, das bis heute als Standardgrundlage der Mathematik gilt (mehr dazu unter Mengenlehre). Der Streit zwischen Hilbert und Brouwer, der sogenannte Grundlagenstreit, wurde in den 1920er-Jahren teils erbittert geführt; 1928 drängte Hilbert Brouwer aus der Redaktion der Mathematischen Annalen.

Gödels Unvollständigkeitssätze (1931)

Am 8. September 1930 hielt Hilbert in Königsberg einen Vortrag, dessen Schluss auch im Rundfunk gesendet wurde. Er endete mit den Worten „Wir müssen wissen. Wir werden wissen.“, die heute auf seinem Grabstein in Göttingen stehen. Ausgerechnet am Vortag hatte der 24-jährige Kurt Gödel auf einer Tagung in derselben Stadt beiläufig ein Ergebnis angekündigt, das Hilberts Hoffnungen einen schweren Schlag versetzte.

In seiner 1931 veröffentlichten Arbeit Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I bewies Gödel zwei Sätze:

1. Erster Unvollständigkeitssatz: Jedes widerspruchsfreie formale System, dessen Axiome sich mechanisch aufzählen lassen und das die Arithmetik der natürlichen Zahlen umfasst, enthält Aussagen, die in ihm weder beweisbar noch widerlegbar sind.
2. Zweiter Unvollständigkeitssatz: Ein solches System kann seine eigene Widerspruchsfreiheit nicht beweisen.

Gödels Kunstgriff bestand darin, Formeln und Beweise durch natürliche Zahlen zu codieren (Gödelnummerierung). So konnte er eine arithmetische Aussage bauen, die sinngemäß behauptet: „Ich bin nicht beweisbar.“ Wäre sie beweisbar, wäre das System widersprüchlich; also ist sie unbeweisbar und gerade deshalb wahr.

Damit war Hilberts Programm in seiner ursprünglichen Form gescheitert: Vollständigkeit und ein finiter Beweis der Widerspruchsfreiheit sind für die Arithmetik nicht zu haben. Beliebig wurde die Mathematik dadurch aber nicht. Gödels Sätze betreffen formale Systeme als Ganzes, nicht die alltägliche Beweispraxis; fast alle Sätze, mit denen Mathematiker arbeiten, lassen sich in ZFC beweisen. Gerhard Gentzen zeigte 1936 zudem, dass sich die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik mit stärkeren Mitteln, einer transfiniten Induktion, durchaus beweisen lässt.

Die Kontinuumshypothese: weder beweisbar noch widerlegbar

Ein konkretes Beispiel für eine unentscheidbare Aussage lieferte ausgerechnet Hilberts erstes Problem. Gödel zeigte 1938: Nimmt man die Kontinuumshypothese als zusätzliches Axiom zu ZFC hinzu, entsteht kein Widerspruch, sofern ZFC selbst widerspruchsfrei ist. 1963 bewies Paul Cohen mit der von ihm entwickelten Methode des Forcing, dass dasselbe für ihre Verneinung gilt. Die Kontinuumshypothese ist in ZFC also weder beweisbar noch widerlegbar. Cohen erhielt dafür 1966 die Fields-Medaille; Forcing wurde zum Standardwerkzeug der Mengenlehre.

Turing, Church und die Grenzen der Berechenbarkeit

Hilbert und Wilhelm Ackermann hatten 1928 das Entscheidungsproblem formuliert: Gibt es ein mechanisches Verfahren, das für jede Formel der Prädikatenlogik entscheidet, ob sie allgemeingültig ist? Dazu musste man zuerst präzise fassen, was ein „mechanisches Verfahren“ ist. 1936 gelang das unabhängig voneinander Alonzo Church in Princeton mit dem Lambda-Kalkül und dem 23-jährigen Alan Turing in Cambridge.

Turings Aufsatz On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem beschreibt eine gedachte Maschine: ein unbegrenztes Band mit Feldern, einen Lese-Schreib-Kopf und eine endliche Tabelle von Regeln. Diese Turingmaschine kann nach heutigem Verständnis alles berechnen, was sich überhaupt algorithmisch berechnen lässt (Church-Turing-These). Turing zeigte außerdem, dass es eine universelle Maschine gibt, die jede andere simulieren kann, wenn man ihr deren Beschreibung als Eingabe gibt. Das ist das Grundprinzip des programmierbaren Computers.

Sein zentrales Ergebnis war negativ: Es gibt kein Verfahren, das für jedes Programm entscheidet, ob es irgendwann anhält (Halteproblem). Daraus folgt, dass auch das Entscheidungsproblem unlösbar ist. Im Zweiten Weltkrieg arbeitete Turing in Bletchley Park an der Entschlüsselung der deutschen Enigma-Funksprüche; 1950 schlug er mit dem später nach ihm benannten Test ein Kriterium für maschinelle Intelligenz vor. 1952 wurde er wegen seiner Homosexualität verurteilt; er starb 1954 mit 41 Jahren.

Hilberts zehntes Problem

Die Theorie der Berechenbarkeit beantwortete schließlich auch Hilberts zehntes Problem. Martin Davis, Hilary Putnam und Julia Robinson hatten bis 1961 entscheidende Vorarbeit geleistet. 1970 schloss der 22-jährige Leningrader Juri Matijassewitsch die letzte Lücke: Es gibt keinen Algorithmus, der für jede Polynomgleichung mit ganzzahligen Koeffizienten entscheidet, ob sie ganzzahlige Lösungen besitzt. Nach den vier Beteiligten heißt das Ergebnis MRDP-Satz; es ist ein Beispiel für Zusammenarbeit über den Eisernen Vorhang hinweg. Julia Robinson wurde 1983 als erste Frau Präsidentin der American Mathematical Society.

Emmy Noether und die Wende zur abstrakten Algebra

Kaum jemand hat die Arbeitsweise der modernen Mathematik so geprägt wie Emmy Noether. Als Frau durfte sie sich in Göttingen erst 1919 habilitieren, obwohl Hilbert und Klein sie schon 1915 dorthin geholt hatten. 1918 veröffentlichte sie das Noether-Theorem: Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems gehört eine Erhaltungsgröße. Aus der zeitlichen Unveränderlichkeit physikalischer Gesetze folgt etwa die Energieerhaltung, aus ihrer Unabhängigkeit vom Ort die Impulserhaltung. Der Satz ist bis heute ein Grundpfeiler der theoretischen Physik.

In den 1920er-Jahren entwickelte Noether die Theorie der Ringe und Ideale. Statt mit konkreten Zahlen und Polynomen zu rechnen, untersuchte sie, welche Eigenschaften allein aus wenigen Axiomen folgen, etwa aus der Bedingung, dass jede aufsteigende Kette von Idealen abbricht (heute: noethersche Ringe). Bartel van der Waerden, der bei ihr und Emil Artin gehört hatte, machte diese Sichtweise mit seinem Lehrbuch Moderne Algebra (1930/31) zum Standard. 1933 wurde Noether als Jüdin entlassen; sie emigrierte an das Bryn Mawr College in den USA und starb dort 1935. Albert Einstein würdigte sie in einem Nachruf als das bedeutendste schöpferische mathematische Genie, das seit Beginn der höheren Bildung für Frauen hervorgetreten sei.

Bourbaki, Grothendieck und die Mathematik der Strukturen

Im Dezember 1934 trafen sich in einem Pariser Café junge Mathematiker, um ein neues Lehrbuch der Analysis zu planen. Zu ihnen gehörten Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Delsarte, Jean Dieudonné, René de Possel und André Weil. Aus dem Projekt wurde ein Kollektiv, das unter dem erfundenen Namen Nicolas Bourbaki veröffentlichte. Ab 1939 erschienen die Éléments de mathématique: eine Darstellung der Mathematik von der Mengenlehre aufwärts, streng axiomatisch und fast ohne Bilder. Mitglieder schieden in der Regel mit 50 Jahren aus.

Bourbaki ordnete die Mathematik nach drei Grundtypen von Strukturen: algebraischen Strukturen (etwa Gruppen), Ordnungsstrukturen und topologischen Strukturen. Viele heute selbstverständliche Begriffe und Zeichen gehen auf die Gruppe zurück oder wurden durch sie populär, etwa die Wörter injektiv, surjektiv und bijektiv oder das Zeichen ∅ für die leere Menge. In den 1960er-Jahren beeinflusste der strukturelle Stil auch die Schulreform der „Neuen Mathematik“, die Mengenlehre schon in der Grundschule einführte und wegen ihrer Abstraktheit bald umstritten war.

André Weil selbst verband Zahlentheorie und algebraische Geometrie. Ende 1939 wurde er in Finnland unter Spionageverdacht festgenommen; 1940 saß er in Frankreich im Gefängnis von Rouen, weil er sich dem Militärdienst entzogen hatte. Dort arbeitete er an seinem Beweis der Riemannschen Vermutung für Kurven über endlichen Körpern. 1949 formulierte er die Weil-Vermutungen über die Lösungsanzahlen von Gleichungen über endlichen Körpern. Sie legten nahe, dass sich Werkzeuge der Topologie auf solche zahlentheoretischen Fragen übertragen lassen.

Grothendieck und die Neugründung der algebraischen Geometrie

Weils Vermutungen wurden zur Leitlinie für Alexander Grothendieck, der ab 1958 am Institut des Hautes Études Scientifiques bei Paris arbeitete. Er baute die algebraische Geometrie auf dem neuen Begriff des Schemas von Grund auf neu auf und schuf mit der étalen Kohomologie das Werkzeug, mit dem sich drei der vier Weil-Vermutungen beweisen ließen. Den letzten und schwierigsten Teil bewies 1974 sein Schüler Pierre Deligne. Grothendiecks Werke, die Éléments de géométrie algébrique und die Seminarbände SGA, umfassen Tausende Seiten. 1966 erhielt er die Fields-Medaille; 1970 verließ er das Institut aus Protest gegen dessen teilweise militärische Finanzierung und zog sich später ganz aus der Mathematik zurück.

Eine noch allgemeinere Sprache entstand mit der Kategorientheorie, die Samuel Eilenberg und Saunders Mac Lane 1945 einführten. Sie beschreibt mathematische Objekte über die strukturerhaltenden Abbildungen zwischen ihnen; durch Grothendieck wurde sie zum alltäglichen Werkzeug.

Topologie, Geometrie und Funktionalanalysis

Die Topologie untersucht Eigenschaften, die sich beim Dehnen, Stauchen und Verbiegen nicht ändern, etwa die Zahl der Löcher einer Fläche. Poincaré hatte sie 1895 mit seiner Arbeit Analysis situs begründet; im 20. Jahrhundert wurde sie zu einem der zentralen Gebiete. Felix Hausdorff gab 1914 in seinen Grundzügen der Mengenlehre eine axiomatische Definition topologischer Räume.

Ausgerechnet Brouwer, der spätere Wortführer des Intuitionismus, bewies um 1910 einige der wichtigsten klassischen Sätze der Topologie, darunter den Brouwerschen Fixpunktsatz: Jede stetige Abbildung einer Kreisscheibe (oder Vollkugel) in sich selbst lässt mindestens einen Punkt an seinem Platz. Eine verbreitete Veranschaulichung: Legt man einen Stadtplan irgendwo innerhalb der dargestellten Stadt auf den Boden, so liegt ein Punkt des Plans genau über dem Ort, den er darstellt. Fixpunktsätze dieser Art wurden später unter anderem für die Spieltheorie wichtig.

Eine der berühmtesten Fragen der Topologie stellte Poincaré 1904: Ist jede geschlossene, einfach zusammenhängende dreidimensionale Mannigfaltigkeit eine dreidimensionale Sphäre? Erstaunlicherweise gelang der Beweis zuerst in höheren Dimensionen: 1961 durch Stephen Smale für fünf und mehr Dimensionen, 1982 durch Michael Freedman für Dimension vier. Der dreidimensionale Fall blieb das ganze Jahrhundert offen; William Thurstons Geometrisierungsvermutung von 1982 lieferte den Rahmen, in dem ihn Grigori Perelman 2002/03 löste.

Neue Brücken zur Physik entstanden in der Differentialgeometrie. Shing-Tung Yau bewies 1976 die Calabi-Vermutung; die nach Eugenio Calabi und ihm benannten Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten spielen in der Stringtheorie eine zentrale Rolle, und 1982 erhielt Yau die Fields-Medaille. Wladimir Arnold zeigte 1957 als Student, aufbauend auf Arbeiten seines Lehrers Andrei Kolmogorow, dass sich jede stetige Funktion von drei Variablen aus stetigen Funktionen von zwei Variablen zusammensetzen lässt. Damit war eine Fassung von Hilberts 13. Problem gelöst. Die KAM-Theorie (nach Kolmogorow, Arnold und Jürgen Moser) erklärte, warum viele regelmäßige Bewegungen in mechanischen Systemen wie dem Sonnensystem auch unter kleinen Störungen erhalten bleiben.

Aus der Analysis erwuchs die Funktionalanalysis, die Funktionen als Punkte in unendlichdimensionalen Räumen auffasst. Hilberträume und Stefan Banachs Theorie normierter Räume (1932) lieferten die Sprache, in der John von Neumann 1932 die Mathematischen Grundlagen der Quantenmechanik formulierte. Kolmogorow stellte 1933 die Wahrscheinlichkeitstheorie auf eine axiomatische Grundlage, die bis heute gilt (siehe Wahrscheinlichkeitsrechnung).

Zahlentheorie und Kombinatorik: Hardy, Ramanujan und Erdős

In England belebte G. H. Hardy gemeinsam mit John Edensor Littlewood die reine Mathematik neu, die dort lange hinter dem Kontinent zurückgeblieben war. 1914 bewies Hardy, dass unendlich viele Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion auf der sogenannten kritischen Geraden liegen. Das war ein wichtiger Schritt, aber noch kein Beweis der Riemannschen Vermutung.

Im Januar 1913 erhielt Hardy einen Brief von Srinivasa Ramanujan, einem Angestellten der Hafenverwaltung von Madras, der sich die höhere Mathematik weitgehend selbst beigebracht hatte. Der Brief enthielt Formeln, die Hardy teils bekannt, teils völlig neu und rätselhaft erschienen. Ab 1914 arbeiteten beide in Cambridge zusammen, unter anderem an einer Näherungsformel für die Zahl der Partitionen, also der Zerlegungen einer Zahl in Summanden (4 hat fünf: 4, 3 + 1, 2 + 2, 2 + 1 + 1 und 1 + 1 + 1 + 1). Ramanujan wurde 1918 in die Royal Society aufgenommen, erkrankte aber schwer und starb 1920 mit 32 Jahren in Indien. Seine Notizbücher mit fast 3.900 Ergebnissen beschäftigen die Forschung bis heute.

Der Ungar Paul Erdős verkörperte einen neuen Arbeitsstil. Ohne festen Wohnsitz reiste er von Kollege zu Kollege und veröffentlichte rund 1.500 Arbeiten mit mehr als 500 Koautoren, vor allem zu Kombinatorik, Graphentheorie und Zahlentheorie. Er gehörte zu den Begründern der probabilistischen Methode: Man beweist, dass ein Objekt mit einer bestimmten Eigenschaft existiert, indem man zeigt, dass ein zufällig gewähltes Objekt sie mit positiver Wahrscheinlichkeit besitzt. Für offene Probleme setzte Erdős Geldpreise aus; viele sind bis heute ungelöst, etwa seine Vermutung über arithmetische Progressionen. Die Erdős-Zahl misst scherzhaft den „Abstand“ einer Forscherin oder eines Forschers zu ihm über gemeinsame Veröffentlichungen.

Spieltheorie: Von Neumann, Morgenstern und Nash

John von Neumann war einer der vielseitigsten Mathematiker des Jahrhunderts: Er arbeitete über Mengenlehre, Operatoralgebren, Quantenmechanik, Ökonomie und Computer und wirkte am Manhattan-Projekt mit. 1928 bewies er das Minimax-Theorem: In jedem endlichen Zwei-Personen-Nullsummenspiel (der Gewinn des einen ist der Verlust des anderen) gibt es optimale, gegebenenfalls zufällig gemischte Strategien, mit denen sich jeder Spieler einen bestimmten Wert sichern kann. 1944 begründete er mit dem Ökonomen Oskar Morgenstern im Buch Theory of Games and Economic Behavior die Spieltheorie als eigene Disziplin.

Den entscheidenden Schritt zu Spielen mit beliebig vielen Beteiligten und ohne Nullsummenbedingung machte 1950 der 21-jährige John Nash in seiner Dissertation in Princeton. Ein Nash-Gleichgewicht ist eine Kombination von Strategien, bei der sich kein Spieler verbessern kann, indem er allein seine Strategie ändert. Nash bewies mithilfe eines Fixpunktsatzes, dass jedes endliche Spiel ein solches Gleichgewicht besitzt, wenn man gemischte Strategien zulässt.

Nash leistete auch tiefe Beiträge zur Geometrie und zu partiellen Differentialgleichungen, bevor er ab 1959 jahrzehntelang an paranoider Schizophrenie litt. 1994 erhielt er gemeinsam mit John Harsanyi und Reinhard Selten den Wirtschaftsnobelpreis, 2015 zusammen mit Louis Nirenberg den Abelpreis. Wenige Tage nach der Preisverleihung in Oslo kam er bei einem Autounfall ums Leben. Der Film A Beautiful Mind (2001) machte sein Leben weltbekannt, gestaltete es aber in vielen Punkten frei.

Computer, Information und Algorithmen

Die theoretische Vorarbeit von Turing und Church traf in den 1930er- und 1940er-Jahren auf die Technik. Claude Shannon zeigte 1937 in seiner Masterarbeit, dass sich elektrische Schaltungen mit der Algebra von George Boole beschreiben und entwerfen lassen. Konrad Zuse stellte 1941 in Berlin mit der Z3 den ersten funktionsfähigen programmgesteuerten Digitalrechner fertig, in den USA folgte 1945/46 der elektronische Großrechner ENIAC. Im Entwurf für dessen Nachfolger EDVAC beschrieb von Neumann 1945 einen Rechner, der Programm und Daten im selben Speicher ablegt. Diese Von-Neumann-Architektur liegt bis heute fast allen Computern zugrunde; an ihrer Entwicklung waren allerdings auch die ENIAC-Konstrukteure John Presper Eckert und John Mauchly maßgeblich beteiligt.

1948 veröffentlichte Shannon A Mathematical Theory of Communication und begründete damit die Informationstheorie: Information lässt sich in Bits messen, und jeder Übertragungskanal hat eine Kapazität, bis zu der sich Daten nahezu fehlerfrei übertragen lassen. Datenkompression und Mobilfunk beruhen auf diesen Ideen. Zur selben Zeit entstanden neue Rechenverfahren: die Monte-Carlo-Methode von Stanisław Ulam, von Neumann und Nicholas Metropolis, die Probleme mit Zufallszahlen simuliert, und George Dantzigs Simplexverfahren (1947) zur linearen Optimierung.

Computer veränderten bald auch die reine Mathematik. 1952 bewies Raphael Robinson mit dem Rechner SWAC, dass 2⁵²¹ − 1 eine Primzahl ist. Es war die erste neu entdeckte Mersenne-Primzahl (benannt nach Marin Mersenne) seit 1914; im selben Jahr folgten vier weitere. 1996 gründete George Woltman das Projekt GIMPS, in dem Freiwillige weltweit mit ihren Rechnern nach Mersenne-Primzahlen suchen. 1970 stellte John Horton Conway sein „Spiel des Lebens“ vor, einen zellulären Automaten, in dem aus wenigen Regeln erstaunlich komplexe Muster entstehen. Conway erfand außerdem die surrealen Zahlen und prägte die kombinatorische Spieltheorie.

Komplexitätstheorie: P gegen NP

Mit den Computern rückte eine neue Frage in den Mittelpunkt: nicht nur, ob sich etwas berechnen lässt, sondern wie schnell. 1971 zeigte Stephen Cook (unabhängig von Leonid Levin), dass das Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik „NP-vollständig“ ist; Richard Karp wies 1972 dieselbe Eigenschaft für 21 weitere Probleme nach. Damit war das P-NP-Problem in seiner heutigen Form gestellt: Lässt sich jedes Problem, dessen Lösung man schnell überprüfen kann (Klasse NP), auch schnell lösen (Klasse P)? Die Frage ist bis heute offen und gehört zu den Millennium-Problemen.

Chaostheorie und fraktale Geometrie

Dass deterministische Systeme praktisch unvorhersagbar sein können, hatte Poincaré schon beim Dreikörperproblem bemerkt. Zur eigenen Disziplin wurde die Chaostheorie aber erst, als Computer es erlaubten, solche Systeme tausendfach durchzurechnen.

Der Meteorologe Edward Lorenz simulierte 1961 am Massachusetts Institute of Technology ein vereinfachtes Wettermodell. Als er eine Rechnung wiederholte und dabei einen Zwischenwert nur mit drei statt sechs Nachkommastellen eingab (0,506 statt 0,506127), wich die neue Prognose nach kurzer Zeit völlig von der alten ab. Lorenz erkannte darin ein Grundprinzip: In chaotischen Systemen wachsen winzige Unterschiede in den Anfangsbedingungen rasch an. 1963 veröffentlichte er ein System aus drei gekoppelten Differentialgleichungen, dessen Lösungen sich auf einer schmetterlingsförmigen Figur bewegen, ohne sich je zu wiederholen: den Lorenz-Attraktor.

Die zweite Wurzel der Bewegung reicht in die Jahre um 1918 zurück. Gaston Julia und Pierre Fatou untersuchten unabhängig voneinander, was geschieht, wenn man eine rationale Funktion immer wieder auf ihr eigenes Ergebnis anwendet. Julia erhielt für seine Abhandlung von 1918 den Großen Preis der Pariser Akademie der Wissenschaften. Die dabei entstehenden Grenzmengen, heute Julia-Mengen genannt, sind extrem verästelt, ließen sich ohne Computer aber kaum darstellen; das Gebiet geriet für Jahrzehnte in den Hintergrund.

Benoît Mandelbrot, der lange für IBM forschte, griff diese Ideen mit Computergrafik wieder auf. Schon 1967 hatte er gefragt, wie lang die Küste Großbritanniens sei. Die Antwort hängt vom Maßstab ab, mit dem man misst. 1975 prägte er den Begriff Fraktal für Gebilde, die auf allen Größenskalen ähnlich zerklüftet sind und deren Dimension keine ganze Zahl sein muss. Sein Buch The Fractal Geometry of Nature (1982) fand Fraktale in Wolken, Gebirgen und Pflanzen.

Das bekannteste Fraktal ist die nach ihm benannte Mandelbrot-Menge. Man wählt eine komplexe Zahl c und berechnet, beginnend mit z₀ = 0, immer wieder

Bleiben die Werte beschränkt, gehört c zur Menge. Für c = −1 pendelt die Folge zwischen −1 und 0, also gehört −1 dazu; für c = 1 entsteht 0, 1, 2, 5, 26, …, die Folge wächst also über alle Grenzen, und 1 gehört nicht dazu. Erste grobe Computerbilder stellten Robert Brooks und Peter Matelski 1978 vor, Mandelbrot veröffentlichte 1980 seine Darstellung. Adrien Douady und John Hubbard bewiesen 1982 unter anderem, dass die Menge zusammenhängend ist, und gaben ihr ihren Namen. Im deutschsprachigen Raum heißt sie auch „Apfelmännchen“.

Große Beweise am Ende des Jahrhunderts

Der Vier-Farben-Satz (1976)

1852 bemerkte Francis Guthrie beim Einfärben einer Karte der englischen Grafschaften, dass vier Farben genügten, damit Gebiete mit gemeinsamer Grenze nie dieselbe Farbe tragen. Über seinen Bruder Frederick gelangte die Frage zu dessen Lehrer Augustus De Morgan. Alfred Kempe legte 1879 einen Beweis vor, in dem Percy Heawood 1890 einen Fehler fand; Heawood zeigte immerhin, dass fünf Farben stets ausreichen.

1976 bewiesen Kenneth Appel und Wolfgang Haken an der University of Illinois den Vier-Farben-Satz. Sie führten das Problem auf knapp 2.000 Grundkonfigurationen zurück, die ein Computer in über 1.000 Stunden Rechenzeit einzeln prüfte. Der erste große computergestützte Beweis löste eine Grundsatzdebatte aus: Ist ein Argument, das kein Mensch vollständig nachvollziehen kann, ein Beweis? Neil Robertson, Daniel Sanders, Paul Seymour und Robin Thomas vereinfachten das Verfahren 1996 auf 633 Konfigurationen, und 2005 bestätigte Georges Gonthier den Satz mit dem Beweisassistenten Coq vollständig formal.

Die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen

Ein Gemeinschaftswerk anderer Art war die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen, der „Bausteine“ aller endlichen Symmetriegruppen. Über hundert Mathematiker schrieben dafür von den 1950er- bis in die 1980er-Jahre Tausende Seiten; eine letzte Lücke wurde erst 2004 geschlossen. Neben einigen unendlichen Familien gibt es genau 26 Ausnahmen, die sporadischen Gruppen. Die größte, das „Monster“ mit rund 8 · 10⁵³ Elementen, konstruierte Robert Griess 1982.

Der Große Fermatsche Satz (1994/95)

Um 1637 notierte Pierre de Fermat am Rand seiner Diophant-Ausgabe, die Gleichung $x^n+y^n=z^n$ habe für n > 2 keine Lösung in positiven ganzen Zahlen; für seinen wunderbaren Beweis sei der Rand zu schmal. Über 350 Jahre lang scheiterten Generationen an dieser Behauptung; Teilergebnisse stammten unter anderem von Leonhard Euler, Sophie Germain und Ernst Kummer.

Die Lösung kam auf einem Umweg. Gerhard Frey bemerkte 1984, dass eine Lösung der Fermat-Gleichung eine sehr ungewöhnliche elliptische Kurve liefern würde. Ken Ribet bewies 1986, aufbauend auf Ideen von Jean-Pierre Serre, dass eine solche Kurve der Taniyama-Shimura-Vermutung widerspräche, nach der alle elliptischen Kurven über den rationalen Zahlen „modular“ sind. Wer diese Vermutung bewies, bewies also auch Fermat.

Andrew Wiles, den Fermats Problem seit seinem zehnten Lebensjahr fesselte, arbeitete daraufhin sieben Jahre weitgehend im Verborgenen. Im Juni 1993 stellte er in Cambridge einen Beweis für den sogenannten semistabilen Fall vor, der für Fermat genügt. Bei der Begutachtung fand sich eine Lücke. Gemeinsam mit seinem früheren Doktoranden Richard Taylor schloss Wiles sie im September 1994; die beiden Arbeiten erschienen 1995 in den Annals of Mathematics. Da Wiles inzwischen älter als 40 war, konnte er keine Fields-Medaille mehr erhalten; die Internationale Mathematische Union ehrte ihn 1998 mit einer silbernen Sonderplakette, 2016 folgte der Abelpreis.

Wichtige Persönlichkeiten

• David Hilbert (1862–1943): 23 Probleme, Axiomatik, Hilbertprogramm
• Hermann Minkowski (1864–1909): Geometrie der Zahlen, Raumzeit
• Alfred North Whitehead (1861–1947) und Bertrand Russell (1872–1970): Russellsche Antinomie, Principia Mathematica
• G. H. Hardy (1877–1947) und Srinivasa Ramanujan (1887–1920): analytische Zahlentheorie, Partitionen
• Pierre Fatou (1878–1929) und Gaston Julia (1893–1978): komplexe Dynamik
• L. E. J. Brouwer (1881–1966): Fixpunktsatz, Intuitionismus
• Emmy Noether (1882–1935): Noether-Theorem, abstrakte Algebra
• John von Neumann (1903–1957): Spieltheorie, Quantenmechanik, Computerarchitektur
• Kurt Gödel (1906–1978): Unvollständigkeitssätze
• André Weil (1906–1998): Weil-Vermutungen, Bourbaki
• Alan Turing (1912–1954): Turingmaschine, Berechenbarkeit
• Paul Erdős (1913–1996): Kombinatorik, probabilistische Methode
• Edward Lorenz (1917–2008): Chaostheorie
• Julia Robinson (1919–1985) und Juri Matijassewitsch (geb. 1947): Hilberts zehntes Problem
• Benoît Mandelbrot (1924–2010): fraktale Geometrie
• Alexander Grothendieck (1928–2014): Schemata, Neubegründung der algebraischen Geometrie
• John Nash (1928–2015): Nash-Gleichgewicht
• Paul Cohen (1934–2007): Forcing, Kontinuumshypothese
• Wladimir Arnold (1937–2010): KAM-Theorie, dynamische Systeme
• John Horton Conway (1937–2020): Spiel des Lebens, surreale Zahlen
• Shing-Tung Yau (geb. 1949): Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten
• Andrew Wiles (geb. 1953): Beweis des Großen Fermatschen Satzes

Zeitleiste der Mathematik im 20. Jahrhundert

1. 1900 Hilbert stellt in Paris seine Liste mathematischer Probleme vor; gedruckt umfasst sie 23 Probleme.
2. 1910–1913 Whitehead und Russell veröffentlichen die Principia Mathematica.
3. 1918 Emmy Noether veröffentlicht ihr Theorem über Symmetrien und Erhaltungsgrößen; Gaston Julia legt seine Abhandlung zur Iteration rationaler Funktionen vor.
4. 1931 Gödel veröffentlicht die Unvollständigkeitssätze.
5. 1936 Turing und Church zeigen die Unlösbarkeit des Entscheidungsproblems; die ersten Fields-Medaillen werden verliehen.
6. 1944 Von Neumann und Morgenstern begründen mit Theory of Games and Economic Behavior die Spieltheorie.
7. 1948 Shannon begründet die Informationstheorie.
8. 1963 Cohen beweist die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese; Lorenz veröffentlicht sein chaotisches Wettermodell.
9. 1970 Matijassewitsch vollendet die negative Lösung von Hilberts zehntem Problem; Conway stellt das Spiel des Lebens vor.
10. 1976 Appel und Haken beweisen den Vier-Farben-Satz mit Computerhilfe.
11. 1982 Mandelbrots The Fractal Geometry of Nature erscheint; Freedman beweist die vierdimensionale Poincaré-Vermutung.
12. 1994/95 Wiles beweist, unterstützt von Taylor, den Großen Fermatschen Satz.

Erbe und Ausblick: Was vom 20. Jahrhundert bleibt

Das 20. Jahrhundert setzte fort, was im 19. Jahrhundert begonnen hatte: die strenge Begründung der Analysis, Cantors Mengenlehre, die nichteuklidischen Geometrien und Poincarés Topologie. Es radikalisierte diese Entwicklung jedoch. Mathematik wurde zur Wissenschaft von Strukturen, deren Gegenstände allein durch Axiome bestimmt sind. Die Sprache von Mengen, Gruppen, Räumen und Kategorien, die Noether, Bourbaki und Grothendieck prägten, ist heute Standard in Forschung und Studium.

Zugleich lernte das Fach seine Grenzen kennen. Gödel und Turing zeigten, dass es unbeweisbare wahre Aussagen und unlösbare Rechenprobleme gibt. Aus genau dieser Grundlagenforschung entstanden die Informatik und der Computer, der am Ende des Jahrhunderts selbst zum Beweiswerkzeug geworden war. Spieltheorie, Informationstheorie, Optimierung und Chaosforschung prägen zudem Wirtschaft, Technik und Naturwissenschaften bis heute.

Viele Fragen gab das Jahrhundert ungelöst weiter. Die Riemannsche Vermutung, das P-NP-Problem und die dreidimensionale Poincaré-Vermutung gehörten im Jahr 2000 zu den sieben Millennium-Problemen des Clay Mathematics Institute. Wie es mit ihnen und mit computergeprüften Beweisen weiterging, zeigt der Artikel über die Mathematik im 21. Jahrhundert.

Häufige Fragen

Was waren Hilberts 23 Probleme?

David Hilbert stellte 1900 auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Paris eine Liste offener Fragen vor, die in der gedruckten Fassung 23 Probleme umfasste. Rund die Hälfte gilt heute als gelöst; die Riemannsche Vermutung (Problem 8) ist weiterhin offen.

Was besagen Gödels Unvollständigkeitssätze?

Jedes widerspruchsfreie, mechanisch beschreibbare Axiomensystem, das die Arithmetik umfasst, enthält Aussagen, die sich darin weder beweisen noch widerlegen lassen. Außerdem kann ein solches System seine eigene Widerspruchsfreiheit nicht beweisen. Gödel veröffentlichte die Sätze 1931.

Wer hat den Großen Fermatschen Satz bewiesen?

Andrew Wiles stellte 1993 einen Beweis vor, in dem eine Lücke entdeckt wurde. Zusammen mit Richard Taylor schloss er sie 1994; die Arbeiten erschienen 1995.

Welche Rolle spielten Computer in der Mathematik des 20. Jahrhunderts?

Turings Theorie von 1936 lieferte das Modell des Computers. Später halfen Rechner bei der Primzahlsuche, in der Chaosforschung und bei der Darstellung von Fraktalen. 1976 wurde mit dem Vier-Farben-Satz erstmals ein berühmtes Problem mit entscheidender Computerhilfe bewiesen.

Quellen und weiterführende Literatur

• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 2: Von Euler bis zur Gegenwart, Springer, Berlin/Heidelberg 2009.
• David Hilbert: Mathematische Probleme. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900. In: Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, 1900, S. 253–297.
• Jeremy J. Gray: The Hilbert Challenge, Oxford University Press, Oxford 2000.
• Simon Singh: Fermats letzter Satz. Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels, Hanser, München 1998.
• MacTutor History of Mathematics: Bourbaki (englisch)
• MacTutor History of Mathematics: The four colour theorem (englisch)