Hermann Minkowski

Hermann Minkowski (1864–1909) war ein deutscher Mathematiker, der in Aleksotas bei Kaunas im damaligen Russischen Kaiserreich geboren wurde und in Königsberg aufwuchs. Er verband zwei Welten, die lange getrennt schienen: Zahlen und Geometrie. In der Geometrie der Zahlen (1896) löste er Fragen über ganze Zahlen, indem er sie als Punkte in einem Gitter zeichnete. 1908 erkannte er, dass sich die Spezielle Relativitätstheorie von Albert Einstein am besten mit einer vierdimensionalen Geometrie beschreiben lässt, der Raumzeit.

Minkowski war ein enger Freund von David Hilbert und lehrte zeitweise an der ETH Zürich, wo auch der Student Einstein bei ihm Vorlesungen hörte. Er starb 1909 völlig unerwartet im Alter von 44 Jahren.

Vom Wunderkind zum Professor

Hermann Minkowski wurde am 22. Juni 1864 in einer jüdischen Kaufmannsfamilie geboren. 1872 zog die Familie nach Königsberg. Sein älterer Bruder Oskar wurde ein bekannter Arzt. Hermann studierte ab 1880 in Königsberg und Berlin Mathematik. Schon als junger Student beteiligte er sich an einem Preisausschreiben der Pariser Akademie der Wissenschaften: Es ging darum, eine Zahl als Summe von fünf Quadratzahlen darzustellen. 1883, mit 18 Jahren, teilte er sich den Preis mit dem Engländer Henry Smith, und der Franzose Charles Hermite lobte die Arbeit.

1885 wurde Minkowski in Königsberg bei Ferdinand von Lindemann promoviert. Es folgten Stationen in Bonn (ab 1887), wieder Königsberg (1894), an der ETH Zürich (1896) und schließlich Göttingen (1902). Im Jahr 1896 erschien auch die erste Lieferung seines Hauptwerks.

Freundschaft mit David Hilbert

In Königsberg schloss Minkowski eine lebenslange Freundschaft mit Hilbert und Adolf Hurwitz. Die drei gingen auf langen Spaziergängen allen mathematischen Fragen nach. Als die Deutsche Mathematiker-Vereinigung 1893 einen Bericht über die Zahlentheorie bestellte, übernahm Hilbert die Arbeit allein. Und als Felix Klein und Hilbert in Göttingen die Mathematik ausbauten, setzte Hilbert 1902 einen zusätzlichen Lehrstuhl für den Freund durch. Nach Minkowskis Tod schrieb er den Nachruf.

Geometrie der Zahlen

Ein Gitter besteht aus allen Punkten der Ebene, deren Koordinaten ganze Zahlen sind, wie die Kreuzungspunkte auf kariertem Papier. Minkowski bemerkte, dass sich Fragen über ganze Zahlen oft als Fragen nach Gitterpunkten in bestimmten Flächen stellen lassen. Sein wichtigstes Werkzeug war der Gitterpunktsatz (um 1890 gefunden, 1896 veröffentlicht). Er braucht zwei Begriffe: Eine Fläche ist konvex, wenn die Verbindung zweier ihrer Punkte immer ganz in ihr liegt; sie ist symmetrisch zum Ursprung, wenn zu jedem Punkt auch der gegenüberliegende Punkt dazugehört.

Der Beweis ist überraschend kurz. Schrumpft man die Fläche auf die halbe Breite und halbe Höhe, hat sie noch eine Fläche größer als 1. Schiebt man die Kopien dieser verkleinerten Fläche an alle Gitterpunkte, so passen sie nicht ohne Überlappung nebeneinander in die Ebene: Jede Kopie hat mehr als die Fläche 1, doch pro Einheitsquadrat ist nur Platz für die Fläche 1. Zwei Kopien überlappen sich also. Daraus folgt mit der Symmetrie und der Konvexität, dass die ursprüngliche Fläche einen weiteren Gitterpunkt enthält.

Mit dieser Methode bewies Minkowski auch tiefe Sätze der algebraischen Zahlentheorie, zu der auch Hilberts Zahlbericht gehört. Das Hauptwerk Geometrie der Zahlen erschien in Teilen; die vollständige Fassung kam erst 1910, nach seinem Tod, heraus.

Raum und Zeit (1908)

1905 hatte Albert Einstein die Spezielle Relativitätstheorie veröffentlicht: Zeit vergeht für bewegte Beobachter langsamer, und Längen schrumpfen. Die Rechnungen waren damals schwer zu durchschauen. Minkowski, einst Einsteins Lehrer, erkannte, dass sich alles viel einfacher fassen lässt. Man muss Raum und Zeit nur als Einheit betrachten: Jedes Ereignis ist ein Punkt (x, y, z, c·t) in einer vierdimensionalen Welt, wobei c die Lichtgeschwindigkeit ist. Am 21. September 1908 trug er diese Idee auf der Naturforscherversammlung in Köln vor und sagte:

„Von Stund’ an sollen Raum für sich und Zeit für sich völlig zu Schatten herabsinken, und nur noch eine Art Union der beiden soll Selbständigkeit bewahren.“

Der Clou: Der „Abstand“ zweier Ereignisse wird nicht wie im Satz des Pythagoras mit lauter Pluszeichen berechnet. Die Zeit geht mit umgekehrtem Vorzeichen ein:

Diese Rechenvorschrift ist für alle Beobachter gleich, auch wenn sie sich gegeneinander bewegen. Man kann sie in einem Minkowski-Diagramm zeichnen. Alle Punkte, die ein Lichtstrahl vom Ereignis „hier und jetzt“ aus erreicht, liegen im Diagramm auf zwei Geraden mit 45° Neigung. Sie bilden einen Doppelkegel, den Lichtkegel.

Im oberen Kegel liegt alles, was von „hier und jetzt“ aus noch beeinflusst werden kann, im unteren alles, was uns beeinflusst haben kann. Was außerhalb liegt, ist „anderswo“: Dorthin kommt weder Licht noch ein Signal in der verfügbaren Zeit. Einstein stand dem geometrischen Ansatz zuerst skeptisch gegenüber, nutzte ihn aber später selbst für die Allgemeine Relativitätstheorie. Dort wird der Minkowski-Raum zum gekrümmten Raum der Raumzeit, wie ihn schon Bernhard Riemann mathematisch vorbereitet hatte.

Ein früher Tod

Im Januar 1909 erkrankte Minkowski an einem Blinddarmdurchbruch. Er starb am 12. Januar 1909 in Göttingen im Alter von 44 Jahren, mitten in seinem erfolgreichsten Schaffen. Für Hilbert war es einer der schwersten Verluste seines Lebens.

Zeitleiste: Hermann Minkowski

1. 1864 Geburt in Aleksotas bei Kaunas (22. Juni)
2. 1872 Umzug der Familie nach Königsberg
3. 1883 Preis der Pariser Akademie (geteilt mit Henry Smith)
4. 1885 Promotion in Königsberg
5. 1896 Professor an der ETH Zürich; Geometrie der Zahlen (erste Lieferung)
6. 1902 Lehrstuhl in Göttingen, den Hilbert für ihn durchsetzte
7. 1908 Vortrag „Raum und Zeit“ in Köln (21. September)
8. 1909 Tod in Göttingen (12. Januar)

Bedeutung heute

Der Minkowski-Raum ist die Bühne der Speziellen Relativitätstheorie und damit der gesamten modernen Teilchenphysik, einem Kernstück der Mathematik und Physik des 20. Jahrhunderts. Ihre Symmetrien, die Lorentz-Transformationen, gehören zu den Lie-Gruppen. Auch seine Gitter leben weiter: In der Geometrie der Zahlen, in der Zahlentheorie und in der modernen Kryptografie, denn Verfahren, die auch Quantencomputern standhalten sollen, beruhen auf schwer lösbaren Aufgaben in hochdimensionalen Gittern. In der Informatik und Robotik nutzt man außerdem die Minkowski-Summe zweier Flächen, um zu prüfen, ob zwei Körper zusammenstoßen.

Häufige Fragen

Was ist Raumzeit?

Raumzeit ist die gemeinsame vierdimensionale Beschreibung von Raum und Zeit. Jedes Ereignis wird durch drei Orts- und eine Zeitangabe festgelegt. Minkowski zeigte 1908, dass die Spezielle Relativitätstheorie dadurch besonders übersichtlich wird.

War Minkowski Einsteins Lehrer?

Ja, Einstein besuchte als Student am Polytechnikum in Zürich mehrere Vorlesungen von Minkowski. Die Raumzeit-Idee von 1908 kam allerdings erst Jahre später.

Quellen und weiterführende Literatur

• Hermann Minkowski: Geometrie der Zahlen, Teubner, Leipzig 1896 (vollständig 1910).
• Hermann Minkowski: Raum und Zeit. In: Physikalische Zeitschrift 10 (1909), S. 104–111.
• David Hilbert: Hermann Minkowski. Gedächtnisrede. In: Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 1909.
• MacTutor History of Mathematics: Hermann Minkowski (englisch)
• Wikipedia: Hermann Minkowski