John Horton Conway

John Horton Conway (1937–2020) war ein britischer Mathematiker, der in Cambridge und später in Princeton lehrte. Er gehört zu den wenigen Forschern, deren Ideen sowohl Fachleute als auch Hobbyrechner begeistern. Mit dem Spiel des Lebens schuf er ein Rechenspiel mit drei einfachen Regeln, aus denen erstaunlich vielfältige Muster entstehen. Mit den surrealen Zahlen fand er ein riesiges Zahlensystem, das die gewohnten Zahlen samt unendlich großen und unendlich kleinen enthält. Und in der Gruppentheorie, der Mathematik der Symmetrie, entdeckte er eine neue Gruppe, die seinen Namen trägt.

Conway war für seine verspielte Art bekannt und erfand Namen, die man sich merkt: Gleiter, Sprouts, Moonshine. Er starb 2020 an den Folgen einer Corona-Infektion.

Kindheit und Studium in Cambridge

John Horton Conway wurde am 26. Dezember 1937 in Liverpool geboren. Nach der Überlieferung seiner Mutter konnte er mit vier Jahren die Zweierpotenzen aufsagen (2, 4, 8, 16 und so weiter). Mit elf Jahren erklärte er, in Cambridge Mathematik studieren zu wollen. Das tat er am Gonville and Caius College und schloss 1959 ab. Sein Doktorvater war der Zahlentheoretiker Harold Davenport.

Ab 1964 lehrte Conway in Cambridge, wo er 1981 Mitglied der Royal Society wurde. 1987 folgte er einem Ruf auf den John-von-Neumann-Lehrstuhl der Universität Princeton in den USA, benannt nach John von Neumann. Kollegen beschrieben ihn als jemanden, der Mathematik am liebsten spielerisch betrieb.

Symmetrien, das Leech-Gitter und das Monster

Seinen Ruf als ernsthafter Mathematiker begründete Conway 1968. Das Leech-Gitter ist eine Art Kugelpackung in 24 Dimensionen, die der Mathematiker John Leech entdeckt hatte. Conway bestimmte ihre Symmetrien und fand dabei eine neue einfache Gruppe. Einfache Gruppen sind die unzerlegbaren Bausteine der Symmetrie, ähnlich den Primzahlen bei den Zahlen. Sie hat über vier Trillionen Elemente und gehört zu den 26 „sporadischen“ Gruppen, die in keine der unendlichen Familien passen. Den Grundstein für die Gruppentheorie legte unter anderem Évariste Galois.

1979 bemerkten Conway und Simon Norton ein seltsames Muster zwischen der größten dieser Gruppen, dem „Monster“, und einer Funktion der Zahlentheorie. Der britisch-kanadische Mathematiker John McKay hatte zuvor festgestellt: Ein Koeffizient dieser Funktion lautet 196.884, und die kleinste Darstellung des Monsters hat die Dimension 196.883, also genau eins weniger. Conway und Norton nannten den Zusammenhang Monstrous Moonshine („monströser Mondschein“, im Sinne von Hirngespinst). Richard Borcherds bewies ihn in den 1990er-Jahren und erhielt dafür 1998 die Fields-Medaille.

Das Spiel des Lebens

1970 stellte der Wissenschaftsautor Martin Gardner Conways Erfindung in der Zeitschrift Scientific American vor. Das Spiel des Lebens (englisch Game of Life) braucht keine Spieler. Man startet mit ein paar gefüllten Feldern auf einem Raster, und dann entwickelt sich alles von selbst, Generation für Generation. Jedes Feld hat acht Nachbarn, und es gelten drei Regeln:

1. Ein lebendes Feld mit zwei oder drei lebenden Nachbarn überlebt.
2. Ein lebendes Feld mit weniger als zwei (Einsamkeit) oder mehr als drei Nachbarn (Überbevölkerung) stirbt.
3. Ein totes Feld mit genau drei lebenden Nachbarn wird lebendig.

Aus diesen Regeln entsteht ein Zoo an Mustern: Blöcke, die für immer stehen bleiben, Blinker, die zwischen zwei Zuständen wechseln, und Gleiter, die über das Raster wandern. Ein Gleiter besteht aus nur fünf Feldern. Nach vier Generationen hat er genau seine Form zurück, ist aber ein Feld schräg weitergewandert.

Bald zeigte sich, dass das Spiel weit mehr kann: Bill Gosper fand noch 1970 eine „Gleiterkanone“, die endlos neue Gleiter erzeugt. Später wurde gezeigt, dass man im Spiel des Lebens einen vollständigen Computer nachbauen kann, es ist also so mächtig wie eine Turing-Maschine. Schon von Neumann hatte sich mit Maschinen beschäftigt, die sich selbst vervielfältigen. Conway ging es darum, solche Ideen in eine möglichst einfache Welt zu übersetzen.

Surreale Zahlen: Spielstände als Zahlen

Um 1970 stieß Conway bei der Analyse von Endspielen im Brettspiel Go auf eine Idee: Manche Spielstellungen verhalten sich wie Zahlen. Daraus wurde die Theorie der surrealen Zahlen. Man baut sie Tag für Tag auf. Am Tag 0 gibt es nur die Null. Eine neue Zahl entsteht aus zwei Mengen, einer linken und einer rechten, und liegt zwischen ihnen. So ist die 1 die einfachste Zahl rechts von der 0, und ½ die einfachste Zahl zwischen 0 und 1. Setzt man das Verfahren immer weiter fort, enthält das System alle reellen Zahlen, aber auch die Unendlichkeit ω und winzige Zahlen, die größer als null und kleiner als jeder Bruch sind.

Der Informatiker Donald Knuth gab ihnen 1974 in einer kleinen Erzählung den Namen „surreal“. Conways Fachbuch On Numbers and Games folgte 1976. Zusammen mit Elwyn Berlekamp und Richard Guy schrieb er außerdem Winning Ways (1982), ein Standardwerk der kombinatorischen Spieltheorie, das Strategien für viele Zweipersonenspiele erklärt. Die unendlichen surrealen Zahlen führen die Ideen von Georg Cantor über das Unendliche in neuer Form fort.

Der Doomsday-Algorithmus: Wochentag im Kopf

Conway konnte jedem Datum den Wochentag zuordnen, in Sekunden und ohne Hilfsmittel. Er stellte sein Verfahren Anfang der 1970er-Jahre vor. Der Kern: In jedem Jahr fallen bestimmte Tage immer auf denselben Wochentag, den „Doomsday“ (Weltuntergangstag). Das sind der 4.4., 6.6., 8.8., 10.10. und 12.12. sowie der 9.5. und 5.9., der 11.7. und 7.11. (merkbar als „9 bis 5 im 7-Eleven“). Außerdem ist der letzte Tag im Februar (28. oder 29.) ein Doomsday.

Conway trainierte das Verfahren, indem er seinen Computer so einrichtete, dass er ihn bei jedem Einloggen nach dem Wochentag eines zufälligen Datums fragte. Berichten zufolge brauchte er im Durchschnitt weniger als zwei Sekunden.

Weitere Ideen: Folgen, Knoten, Formen

Conway hatte unzählige Einfälle. Die Look-and-say-Folge beginnt mit 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211: Jedes Glied beschreibt, was im vorigen steht („eine 1“, „zwei 1en“, „eine 2, eine 1“ und so weiter). Ihre Längen wachsen um den festen Faktor 1,3036…, die „Conway-Konstante“. Im 15-Satz (1993, mit William Schneeberger) zeigte er, dass man bei bestimmten quadratischen Formen nur die Zahlen bis 15 prüfen muss, um zu wissen, ob sie jede positive ganze Zahl darstellen. Damit rückt der Vier-Quadrate-Satz von Joseph-Louis Lagrange in einen größeren Rahmen. In der Knotentheorie entwickelte er eine eigene Schreibweise und ein Polynom, das Knoten unterscheiden hilft.

Zeitleiste: John Conways Leben

1. 1937 Geburt am 26. Dezember in Liverpool
2. 1959 Abschluss des Studiums in Cambridge
3. 1964 Fellow und Dozent in Cambridge
4. 1968 Entdeckung einer neuen einfachen Gruppe (Conway-Gruppe)
5. 1970 Das Spiel des Lebens erscheint in Martin Gardners Kolumne
6. 1976 Buch On Numbers and Games über surreale Zahlen
7. 1979 Monstrous Moonshine (mit Simon Norton)
8. 1981 Aufnahme in die Royal Society
9. 1987 John-von-Neumann-Lehrstuhl in Princeton
10. 2020 Tod am 11. April in New Brunswick, New Jersey

Bedeutung heute

Das Spiel des Lebens ist ein Klassiker der Informatik: An ihm lernt man, wie aus einfachen lokalen Regeln komplexe Strukturen entstehen. Die surrealen Zahlen bleiben ein Forschungsthema der Logik und der Spieltheorie, und Moonshine gab der Zahlentheorie und der theoretischen Physik neue Fragen. Wie viele Zahlenarten es vor den surrealen gibt, zeigt die Seite zu Zahlen und ihre Eigenschaften; den Rahmen der Zeit beschreibt die Mathematik des 20. Jahrhunderts.

Conway lebte seine letzten Jahre nach einem schweren Schlaganfall in einem Pflegeheim in New Jersey. Er starb am 11. April 2020 im Alter von 82 Jahren an den Folgen einer Corona-Infektion.

Quellen und weiterführende Literatur

• Siobhan Roberts: Genius at Play. The Curious Mind of John Horton Conway. Bloomsbury, New York 2015.
• John H. Conway: On Numbers and Games. Academic Press, London 1976.
• Elwyn R. Berlekamp, John H. Conway, Richard K. Guy: Winning Ways for Your Mathematical Plays. Academic Press, London 1982.
• Martin Gardner: Mathematical Games: The fantastic combinations of John Conway’s new solitaire game „Life“. In: Scientific American 223 (Oktober 1970).
• MacTutor History of Mathematics: John Horton Conway (englisch)