Giuseppe Peano

Giuseppe Peano (1858–1932) war ein italienischer Mathematiker aus dem Piemont und ein Meister der Genauigkeit. Berühmt ist er für die Peano-Axiome: fünf kurze Grundregeln, aus denen sich das gesamte Rechnen mit den natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3 … ableiten lässt. Ein Axiom ist dabei eine Aussage, die man am Anfang als gegeben annimmt, um alles Weitere daraus zu beweisen. Dazu kommt die Peano-Kurve von 1890, eine durchgehende Linie, die durch jeden Punkt eines Quadrats läuft.

Peano lehrte in Turin und war überzeugt, dass sich Mathematik in einer eindeutigen Zeichensprache aufschreiben lässt. Viele Symbole der Mengenlehre und Logik, die wir heute benutzen, gehen auf ihn zurück. Im Alter widmete er sich einer weiteren Idee: einer internationalen Gelehrtensprache auf Latein-Basis, dem Latino sine flexione.

Vom Bauernhof an die Universität Turin

Giuseppe Peano wurde am 27. August 1858 in Spinetta bei Cuneo im Piemont geboren, als zweites von fünf Kindern einer Bauernfamilie. Ab 1876 studierte er Mathematik an der Universität Turin und wurde 1880 promoviert. Er arbeitete zunächst als Assistent, ab 1886 lehrte er zusätzlich an der Militärakademie. 1889 übernahm er an der Universität den Lehrstuhl für Analysis, den bis dahin Angelo Genocchi innegehabt hatte. 1887 heiratete er Carola Crosio, die Tochter eines Malers.

Peano galt als streng. Er fand Ausnahmefälle in Lehrsätzen berühmter Kollegen und bestand darauf, dass jede Aussage lückenlos begründet wird. Mit dieser Haltung begann er, die Mathematik in eine Formelsprache zu übersetzen, und stieß damit nicht nur auf Begeisterung.

Die Peano-Axiome (1889)

Was sind eigentlich die Zahlen 1, 2, 3 …, und warum ist 2 + 2 = 4? Im 19. Jahrhundert hatte man das noch nicht sauber geklärt. 1888 gab Richard Dedekind eine Antwort, und 1889 veröffentlichte Peano in lateinischer Sprache seine Arithmetices principia, nova methodo exposita („Grundlagen der Arithmetik, nach neuer Methode dargestellt“). Peano kannte Dedekinds Schrift und erkannte dessen Vorrang an, formulierte die Regeln aber in einer besonders knappen Zeichensprache. Heute lauten sie meist so (Peano selbst begann noch bei 1 zu zählen):

1. 0 ist eine natürliche Zahl.
2. Jede natürliche Zahl n hat genau einen Nachfolger, die Zahl n + 1.
3. 0 ist nicht Nachfolger irgendeiner natürlichen Zahl.
4. Verschiedene natürliche Zahlen haben verschiedene Nachfolger.
5. Induktionsaxiom: Gilt eine Eigenschaft für 0 und vererbt sie sich von jeder Zahl auf ihren Nachfolger, dann gilt sie für alle natürlichen Zahlen.

Das letzte Axiom kennt jeder von Dominosteinen: Wenn der erste Stein fällt und jeder fallende Stein den nächsten umstößt, dann fallen alle. Die Regeln legen fest, wie die Zahlenreihe aussieht: Sie beginnt bei 0, geht immer weiter, wiederholt sich nie und enthält nichts außer dem, was man durch Nachfolger erreicht. Mehr braucht man nicht. Alles Weitere, Addition, Multiplikation und Primzahlen, lässt sich daraus aufbauen.

Aus den Peano-Axiomen entstand die Peano-Arithmetik, das Standardsystem der Logik für die Zahlen. Auf sie bezog sich Kurt Gödel 1931, als er bewies, dass in jedem widerspruchsfreien System dieser Art wahre Aussagen existieren, die sich nicht beweisen lassen.

Die Peano-Kurve (1890): eine Linie füllt ein Quadrat

Eine Linie hat eine Dimension, ein Quadrat zwei. Das schien klar. 1877 hatte Georg Cantor gezeigt, dass es auf einer Strecke und in einem Quadrat gleich viele Punkte gibt. Cantors Zuordnung war aber sprunghaft: Nahe Punkte der Strecke landeten weit auseinander im Quadrat. Konnte man eine Linie stetig, also ohne Sprünge, so durch ein Quadrat führen, dass sie jeden Punkt trifft? Peano zeigte 1890 in den Mathematischen Annalen: Ja.

Die Konstruktion geht schrittweise. Man teilt das Quadrat in 3 × 3 Felder und läuft in einer Schlangenlinie durch alle neun Mittelpunkte. Dann teilt man jedes Feld wieder in neun kleinere und verfeinert den Weg entsprechend, und so fort. Im Grenzfall, nach unendlich vielen Schritten, hat der Weg jeden Punkt des Quadrats berührt. Peano beschrieb das rein rechnerisch mit Zahlen im Dreiersystem, ganz ohne Zeichnung. Bald darauf fand David Hilbert eine ähnliche Kurve.

Die Peano-Kurve zwang die Mathematik, den Begriff der Dimension neu zu überdenken. L. E. J. Brouwer bewies 1911, dass eine umkehrbare, stetige Zuordnung zwischen Räumen verschiedener Dimension unmöglich ist. Die Kurve von Peano ist stetig, aber nicht umkehrbar, denn viele Punkte der Strecke landen im selben Punkt des Quadrats. Heute werden raumfüllende Kurven praktisch genutzt, etwa um zweidimensionale Daten in eine sinnvolle Reihenfolge zu bringen.

Logik, Symbole und das Formulario

Schon 1888 gab Peano in seinem Calcolo geometrico eine Definition des Vektorraums, die der heutigen sehr nahekommt. Darin führte er auch die Zeichen ∩ („geschnitten mit“) und ∪ („vereinigt mit“) ein. Später kam das Zeichen ∈ („ist Element von“) dazu; es geht auf den griechischen Buchstaben ε zurück, den Anfangsbuchstaben von ἐστί, „ist“. Auch das Zeichen ∃ für „es gibt“ stammt aus seinen Formelsammlungen. Wer in der Mengenlehre mit diesen Zeichen rechnet, benutzt Peanos Erbe.

Von 1892 an sammelte Peano mit Schülern bekannte Sätze der Mathematik im Formulario Mathematico und schrieb sie ausschließlich in Zeichen auf. Die fünfte und letzte Auflage von 1908 enthielt rund 4.200 Formeln und Sätze. Für Peano war das sein wichtigstes Werk. Außerhalb seines Schülerkreises stieß es jedoch auf wenig Interesse. Auf dem Pariser Philosophenkongress 1900 beeindruckte er Bertrand Russell so sehr, dass dieser später von einem Wendepunkt in seinem Denken sprach. Russell und Whitehead verwendeten in den Principia Mathematica Peanos Zeichenschrift.

Auch in der Analysis hinterließ Peano Spuren. Sein Existenzsatz von 1886 besagt, dass eine Differentialgleichung der Form y′ = f(x, y) mit stetiger Funktion f zumindest in der Nähe jedes Startpunkts eine Lösung hat.

Latino sine flexione: Latein ohne Beugung

1903 schlug Peano vor, Latein zu vereinfachen. In seinem Latino sine flexione („Latein ohne Beugung“) fallen die Endungen weg, die man für Fälle, Zeiten und Personen braucht. Der Wortschatz bleibt weitgehend lateinisch, doch jedes Wort erscheint nur in einer Grundform. Peano knüpfte damit an eine Idee von Leibniz an, eine gemeinsame Sprache der Gelehrten zu schaffen. Von 1908 an leitete er die Academia pro Interlingua, und die letzte Ausgabe des Formulario schrieb er in dieser Sprache. Durchgesetzt hat sie sich nicht.

Streit um die Lehre und die späten Jahre

Peano lehrte, wie er forschte: streng und in seiner Zeichensprache. Das überforderte viele Studierende. Kollegen rieten ihm ab, doch er änderte sich nicht. 1901 beendete die Militärakademie seinen Lehrvertrag. An der Universität Turin blieb er bis zu seinem Tod. Er starb in der Nacht des 20. April 1932 in Turin an einem Herzinfarkt.

Zeitleiste: Giuseppe Peano

1. 1858 Geburt in Spinetta bei Cuneo (27. August)
2. 1880 Promotion in Turin
3. 1886 Existenzsatz für Differentialgleichungen
4. 1888 Calcolo geometrico mit Vektorraum-Definition und Mengensymbolen
5. 1889 Arithmetices principia mit den Peano-Axiomen
6. 1890 Raumfüllende Kurve
7. 1892 Beginn des Formulario Mathematico
8. 1900 Kongress in Paris, Begegnung mit Bertrand Russell
9. 1903 Vorschlag des Latino sine flexione
10. 1932 Tod in Turin (20. April)

Bedeutung heute

Die Peano-Axiome sind bis heute die Standarddefinition der natürlichen Zahlen. In Beweisassistenten wie Lean oder Coq, Programmen, die mathematische Beweise automatisch prüfen, beginnt jede Zahl bei „null“ und wächst durch „Nachfolger“, genau nach Peanos Vorbild. Das Induktionsprinzip lernt man in der Schule als vollständige Induktion kennen.

Häufige Fragen

Was sagen die Peano-Axiome aus?

Sie legen fest, was die natürlichen Zahlen sind: eine Reihe, die bei 0 beginnt, in der jede Zahl genau einen Nachfolger hat, die sich nie wiederholt und in der das Induktionsprinzip gilt. Daraus lassen sich Addition, Multiplikation und alle weiteren Rechenregeln herleiten.

Quellen und weiterführende Literatur

• Giuseppe Peano: Arithmetices principia, nova methodo exposita, Fratelli Bocca, Turin 1889.
• Giuseppe Peano: Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane. In: Mathematische Annalen 36 (1890), S. 157–160.
• Hubert C. Kennedy: Peano. Life and Works of Giuseppe Peano, D. Reidel, Dordrecht 1980.
• Richard Dedekind: Was sind und was sollen die Zahlen?, Vieweg, Braunschweig 1888.
• MacTutor History of Mathematics: Giuseppe Peano (englisch)