L. E. J. Brouwer

Luitzen Egbertus Jan Brouwer, meist L. E. J. Brouwer genannt (1881–1966), war ein niederländischer Mathematiker mit zwei Gesichtern. Als Topologe, also Erforscher von Eigenschaften, die sich beim Dehnen und Verbiegen nicht ändern, bewies er den Brouwerschen Fixpunktsatz: Wer eine Tasse Kaffee umrührt, findet immer einen Punkt, der nach dem Umrühren genau dort ist, wo er vorher war. Und als Philosoph der Mathematik begründete er den Intuitionismus, nach dem mathematische Objekte nur existieren, wenn man sie wirklich konstruieren kann.

Brouwer lehrte von 1912 an in Amsterdam. Mit seiner Kritik an den Methoden der klassischen Mathematik geriet er in den 1920er-Jahren in einen erbitterten Streit mit David Hilbert, den sogenannten Grundlagenstreit.

Von Overschie nach Amsterdam

Brouwer wurde am 27. Februar 1881 in Overschie bei Rotterdam geboren, als ältester von drei Söhnen. Nach dem Gymnasium begann er 1897 in Amsterdam das Mathematikstudium. Schon früh beschäftigten ihn philosophische Fragen: 1905 erschien sein Buch Leben, Kunst und Mystik. 1907 wurde er mit einer Arbeit über die Grundlagen der Mathematik promoviert (Over de grondslagen der wiskunde). Seit 1904 war er mit Lize de Holl verheiratet.

1912 wurde er Professor in Amsterdam und blieb es bis zur Emeritierung 1951. Er erhielt Ehrendoktortitel der Universitäten Oslo (1936) und Cambridge (1955) und war Mitglied der Royal Society. Über sein Verhalten im Zweiten Weltkrieg wird bis heute diskutiert: Er half jüdischen Studierenden, ermunterte 1943 aber auch andere, eine Loyalitätserklärung gegenüber den deutschen Besatzern zu unterschreiben; nach der Befreiung wurde er für kurze Zeit suspendiert. Am 2. Dezember 1966 starb Brouwer in Blaricum bei einem Verkehrsunfall.

Der Brouwersche Fixpunktsatz

Man stelle sich eine Tasse Kaffee vor, die mit dem Löffel kräftig umgerührt wird, ohne dass etwas herausspritzt. Jedes Teilchen auf der Oberfläche wandert an einen neuen Platz. Die Oberfläche ist (grob gesagt) eine Kreisscheibe, und das Umrühren ordnet jedem Punkt einen neuen Punkt derselben Scheibe zu, ohne die Fläche zu zerreißen. Brouwers Satz sagt: Es gibt immer mindestens einen Punkt, der genau da landet, wo er angefangen hat. Ein solcher Punkt heißt Fixpunkt.

Ein zweites Bild: Ein Stadtplan liegt auf dem Boden, und ein zweiter Plan derselben Stadt wird so zerknüllt, dass er ganz innerhalb des ersten liegt. Dann liegt mindestens ein Punkt des zerknüllten Plans exakt über dem Ort, den er darstellt. Mathematisch lautet der Satz so:

Dabei ist K eine Kugel beliebiger Dimension, also ein Stück Strecke, eine Kreisscheibe, eine Vollkugel und so weiter. „Stetig“ heißt: Nahe Punkte werden auf nahe Punkte abgebildet, nichts wird zerrissen.

Der eindimensionale Fall

Den einfachsten Fall kann man zeichnen. Sei f eine stetige Funktion, die jede Zahl zwischen 0 und 1 wieder auf eine Zahl zwischen 0 und 1 abbildet. Ihr Graph beginnt links irgendwo ab der Höhe 0 und endet rechts höchstens auf der Höhe 1. Er liegt also links über oder auf der Diagonalen und rechts unter oder auf ihr. Da er nicht springen darf, muss er die Diagonale irgendwo schneiden. Dort gilt f(x) = x.

Im Zweidimensionalen und höher wird der Beweis schwieriger. Brouwer bewies den Satz in den Jahren um 1910, den allgemeinen Fall für jede Dimension veröffentlichte er 1911 in den Mathematischen Annalen. Der Satz hat Anwendungen weit über die Topologie hinaus: John Nash nutzte Fixpunktsätze, um zu beweisen, dass in vielen Spielen ein Zustand existiert, in dem kein Spieler durch einseitiges Abweichen gewinnt, das Nash-Gleichgewicht. Auch in der Wirtschaftstheorie benutzt man sie, um die Existenz von Marktgleichgewichten zu zeigen.

Dimension und Topologie

Brouwer klärte eine Frage, die Cantor und Peano aufgeworfen hatten: Kann man die Ebene stetig und umkehrbar auf eine Gerade abbilden? Cantor hatte eine umkehrbare, aber sprunghafte Zuordnung gefunden, Peano eine stetige, aber nicht umkehrbare. Brouwer bewies 1911 mit seiner Invarianz der Dimension, dass beides zusammen unmöglich ist. Damit war klar, dass die Dimension eine feste Eigenschaft eines Raums ist. Seine Methoden, etwa der Abbildungsgrad, der zählt, wie oft eine Abbildung eine Fläche umwickelt, wurden Standardwerkzeuge der Topologie.

Intuitionismus: Mathematik als Konstruktion

Schon in seiner Doktorarbeit zweifelte Brouwer an den Grundlagen. 1908 veröffentlichte er den Aufsatz „Die Unzuverlässigkeit der logischen Prinzipien“. Seine Idee: Mathematik ist keine Beschreibung einer Welt abstrakter Dinge, sondern eine Tätigkeit des menschlichen Geistes, die mit dem Zählen beginnt. Ein mathematisches Objekt gibt es erst, wenn man es herstellen kann; ein Beweis ist selbst eine Konstruktion.

Daraus folgt die Ablehnung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten. Er besagt: Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch, ein Drittes gibt es nicht. Bei endlichen Dingen stimmt das. Ob es aber unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, also Primzahlen mit Abstand 2 wie 11 und 13, weiß bis heute niemand. Ein klassischer Mathematiker sagt trotzdem: Die Aussage ist entweder wahr oder falsch. Ein Intuitionist erwidert: Solange weder ein Beweis noch eine Widerlegung vorliegt, darf man das nicht behaupten.

Die Folgen reichen weit. Viele Existenzbeweise der klassischen Mathematik, bei denen man zeigt, dass etwas existieren muss, ohne es zu finden, wären ungültig. Das betrifft sogar Hilberts Basissatz und Brouwers eigenen Fixpunktsatz. Hermann Weyl, ein früherer Schüler Hilberts, schloss sich 1921 Brouwer an und machte die Ideen einem breiten Publikum bekannt.

Der Grundlagenstreit mit Hilbert

Hilbert wollte die klassische Mathematik retten. „Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können“, erklärte er 1925. Er verglich 1927 das Verbot des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten damit, einem Astronomen das Fernrohr oder einem Boxer die Fäuste zu nehmen. Brouwer dagegen hielt die klassische Mathematik für unsicher. Die Auseinandersetzung wurde zunehmend persönlich.

1928 kam es zum Bruch: Brouwer rief dazu auf, den Mathematikerkongress in Bologna zu boykottieren, an dem Hilbert mit einer deutschen Delegation teilnahm. Hilbert schloss ihn daraufhin aus der Redaktion der Mathematischen Annalen aus, was die Satzung der Zeitschrift nicht vorsah. Einstein und Constantin Carathéodory, zwei der Mitherausgeber, stellten sich auf Brouwers Seite. Dennoch blieb der Intuitionismus eine Minderheitsmeinung. Wenige Jahre später zeigte Kurt Gödel 1931, dass Hilberts Programm in seiner ursprünglichen Form scheitern muss. Keine der beiden Seiten hatte also das letzte Wort.

Zeitleiste: L. E. J. Brouwer

1. 1881 Geburt in Overschie (27. Februar)
2. 1907 Promotion in Amsterdam über die Grundlagen der Mathematik
3. 1908 „Die Unzuverlässigkeit der logischen Prinzipien“
4. um 1910 Brouwerscher Fixpunktsatz
5. 1911 Invarianz der Dimension; allgemeiner Fixpunktsatz in den Mathematischen Annalen
6. 1912 Professor in Amsterdam
7. 1928 Streit mit Hilbert um die Redaktion der Mathematischen Annalen
8. 1951 Emeritierung
9. 1966 Tod bei einem Verkehrsunfall in Blaricum (2. Dezember)

Bedeutung heute

Brouwers Fixpunktsatz und seine Methoden gehören zum Fundament der Topologie und der Spieltheorie. Die klassische Mathematik hat sich durchgesetzt, doch Brouwers „konstruktive“ Haltung ist heute in der Informatik zu Hause. Beweisassistenten wie Coq, Agda und Lean beruhen im Kern auf einer konstruktiven Logik, in der man den Satz vom ausgeschlossenen Dritten nicht einfach voraussetzt und in der jeder Beweis zugleich ein Programm ist. Philosophisch beeinflusste Brouwer sogar andere Fächer: Der Philosoph Ludwig Wittgenstein kehrte Berichten zufolge nach einem Vortrag Brouwers in Wien 1928 zur Philosophie zurück.

Auch die Mathematik des 20. Jahrhunderts insgesamt trägt Brouwers Spuren, in der Topologie wie in der Logik.

Häufige Fragen

Was besagt der Brouwersche Fixpunktsatz?

Jede stetige Abbildung einer Kugel (oder Kreisscheibe oder Strecke) in sich hat mindestens einen Fixpunkt, also einen Punkt, der auf sich selbst abgebildet wird. Beim Umrühren einer Tasse Kaffee bleibt deshalb ein Punkt an seinem Ort.

Was ist der Intuitionismus?

Der Intuitionismus ist die von Brouwer begründete Richtung, nach der Mathematik eine Konstruktionsarbeit des Geistes ist. Er erkennt nur Beweise an, die zeigen, wie man etwas herstellt, und lehnt den Satz vom ausgeschlossenen Dritten für unendliche Mengen ab.

Quellen und weiterführende Literatur

• L. E. J. Brouwer: Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten. In: Mathematische Annalen 71 (1911), S. 97–115.
• L. E. J. Brouwer: Beweis der Invarianz der Dimensionszahl. In: Mathematische Annalen 70 (1911), S. 161–165.
• Dirk van Dalen: Mystic, Geometer, and Intuitionist. The Life of L. E. J. Brouwer, 2 Bände, Oxford University Press, Oxford 1999 und 2005.
• MacTutor History of Mathematics: Luitzen Egbertus Jan Brouwer (englisch)
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: Intuitionism in the Philosophy of Mathematics (englisch)