Felix Klein

Felix Klein (1849–1925) war einer der einflussreichsten deutschen Mathematiker seiner Zeit. Berühmt ist er für drei Dinge. Erstens schlug er 1872 im Erlanger Programm vor, jede Geometrie durch die Symmetrien zu beschreiben, die sie unverändert lassen. Zweitens beschrieb er die Kleinsche Flasche, eine geschlossene Fläche, die weder Innen noch Außen hat. Und drittens verwandelte er als Professor in Göttingen eine gute Universität in das führende mathematische Zentrum der Welt.

Klein dachte stets über die Mathematik hinaus. Er schrieb Lehrpläne für Schulen, gründete eine internationale Kommission für den Mathematikunterricht und half dabei, dass in Göttingen die ersten Frauen in Mathematik promovieren konnten. Mit David Hilbert, den er 1895 berief, und dessen Freund Hermann Minkowski versammelte Göttingen unter ihm Köpfe, die ein Jahrhundert prägen sollten.

Von Düsseldorf nach Erlangen

Felix Klein wurde am 25. April 1849 in Düsseldorf als Sohn eines Beamten geboren. Ab 1865 studierte er in Bonn Mathematik und Naturwissenschaften, unter anderem bei Julius Plücker, dessen Assistent er wurde. 1868 promovierte er bei Plücker mit einer Arbeit zur Geometrie. Plücker starb im selben Jahr, und Klein gab sein unvollendetes Werk heraus. 1869 ging er nach Berlin, wo er mit Sophus Lie Freundschaft schloss; im Frühjahr 1870 arbeiteten beide in Paris zusammen.

Schon 1872 wurde Klein mit nur 23 Jahren Professor in Erlangen, der damals jüngste im Deutschen Reich. 1875 wechselte er an die Technische Hochschule München und heiratete Anna Hegel, eine Enkelin des Philosophen Hegel. 1880 folgte der Ruf nach Leipzig. Dort rang er mit dem Franzosen Henri Poincaré um eine neue Theorie besonders symmetrischer Funktionen. 1882 brach er körperlich und seelisch zusammen und litt bis 1884 unter Depressionen. Danach wandte er sich verstärkt der Organisation der Mathematik zu.

Das Erlanger Programm (1872): Geometrie ordnen

Zwei Jahrtausende lang bedeutete Geometrie die Lehre Euklids. Im 19. Jahrhundert entstanden dagegen viele neue Geometrien: die projektive, die affine und die nichteuklidischen. Es war unklar, wie sie zusammenhängen. Klein antwortete in seiner Antrittsschrift für Erlangen, den Vergleichenden Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, mit einer einfachen Idee: Man wähle eine Gruppe von Abbildungen, also Verschiebungen, Drehungen, Streckungen und Ähnliches. Die zugehörige Geometrie untersucht dann genau die Eigenschaften, die sich unter diesen Abbildungen nicht ändern.

Ein Beispiel: Ein Kreis und eine Ellipse unterscheiden sich in der euklidischen Geometrie, denn ihre Längen und Winkel sind verschieden. Streckt man den Kreis aber in eine Richtung, wird er zur Ellipse. In der affinen Geometrie sind beide also gleich. In der projektiven Geometrie gehören sogar Parabeln und Hyperbeln dazu; es sind alle Kegelschnitte derselben Sorte.

Das Programm schuf Ordnung und passte hervorragend zu den Gruppen von Sophus Lie. Später zeigte sich, dass auch die Physik so funktioniert: Die Raumzeit der Relativitätstheorie ist eine „Kleinsche Geometrie“, deren Symmetrien die Lorentz-Transformationen und die Verschiebungen sind.

Das Kleinsche Modell der hyperbolischen Geometrie

Klein zeigte auch, dass die nichteuklidische Geometrie keine Spinnerei ist. Sein Modell besteht aus dem Inneren eines Kreises: „Punkte“ sind die Punkte im Kreis, „Geraden“ sind die Sehnen. Durch einen Punkt neben einer Sehne laufen dann unendlich viele Sehnen, die die erste nicht schneiden, also unendlich viele „Parallelen“. Das Parallelenaxiom Euklids gilt nicht, und doch ist alles widerspruchsfrei, solange die gewöhnliche Geometrie es ist.

Die Kleinsche Flasche

Das Möbiusband, ein einmal verdrehter Papierstreifen, hat nur eine Seite und eine Kante. Klein beschrieb Anfang der 1880er-Jahre eine Fläche, die noch einen Schritt weitergeht: Sie hat nur eine Seite und überhaupt keine Kante. Wer auf ihr entlangläuft, kommt nach einer Runde auf der „anderen Seite“ an, ohne je eine Kante zu überqueren. Das Verklebungsschema zeigt, wie man sie aus einem Quadrat gewinnt.

Im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum gelingt das letzte Verkleben nur, wenn sich die Fläche selbst durchdringt: Der „Hals“ der Flasche stößt durch die Wand. Im vierdimensionalen Raum braucht sie dagegen keine solche Durchdringung. Schneidet man die Fläche der Länge nach auseinander, entstehen zwei Möbiusbänder. Die Kleinsche Flasche ist ein Standardbeispiel der Topologie, der Lehre von Eigenschaften, die sich beim Verbiegen und Dehnen nicht ändern.

Göttingen: ein Zentrum der Mathematik

1886 nahm Klein den Ruf nach Göttingen an und blieb dort bis zu seinem Tod. Gemeinsam mit dem preußischen Ministerialbeamten Friedrich Althoff gewann er die besten Köpfe. 1895 holte er Hilbert aus Königsberg, dessen umstrittenen Basissatz er einige Jahre zuvor als Herausgeber der Mathematischen Annalen gegen Kritik verteidigt hatte. 1902 folgte auf Hilberts Betreiben Minkowski, 1915 kam Emmy Noether hinzu. Klein sorgte zudem dafür, dass neben der reinen Mathematik auch Mechanik, Physik und Technik in Göttingen ihren Platz fanden. 1893 reiste er zu den Mathematikertreffen in Chicago und Evanston und knüpfte enge Verbindungen in die USA. Zusammen mit Franz Meyer gab er die Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften heraus, ein Großprojekt, das den Stand der Mathematik und ihrer Anwendungen zusammenfasste.

Mathematikunterricht und die Meraner Reform

Klein bemerkte, dass Schule und Universität einander kaum kannten. Er sprach von einer doppelten Diskontinuität: Wer von der Schule an die Universität wechselt, trifft auf eine fremde Mathematik. Und wer später selbst Lehrer wird, findet an der Schule wieder eine Mathematik, die mit seinem Studium wenig zu tun hat. Um beides zu verbinden, schrieb Klein sein Werk Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus (1908).

1905 formulierte eine Kommission in Meran die „Meraner Vorschläge“, an denen Klein entscheidend mitwirkte. Sie verlangten, das räumliche Anschauungsvermögen zu schulen, funktionales Denken zu fördern (also die Frage, wie sich eine Größe verändert, wenn eine andere sich verändert) und die Grundbegriffe der Differential- und Integralrechnung bereits in der Schule zu lehren. Verwirklicht wurde vieles davon in den Lehrplänen erst 1925. 1908 übernahm Klein den Vorsitz der Internationalen Mathematischen Unterrichtskommission; seinen Namen trägt heute eine Medaille für Mathematikdidaktik.

Frauen in der Mathematik

Preußische Universitäten ließen Frauen erst 1908 regulär zum Studium zu. In Göttingen aber öffnete Klein, im Auftrag Althoffs, schon 1893 die Hörsäle für Frauen. Als erste Mathematikerin mit deutschem Doktortitel promovierte 1895 die Engländerin Grace Chisholm bei ihm, mit einer Ausnahmegenehmigung des Ministeriums. Später setzte sich Klein gemeinsam mit Hilbert für Emmy Noether ein, deren Habilitation die Fakultät lange ablehnte. Er wirkte hier als Türöffner. Doch erst nach dem Ende des Kaiserreichs, als Frauen rechtlich gleichgestellt wurden, konnte Noether 1919 habilitieren (siehe auch Sofja Kowalewskaja, die bereits 1874 in Göttingen promoviert worden war).

Zeitleiste: Felix Klein

1. 1849 Geburt in Düsseldorf (25. April)
2. 1868 Promotion in Bonn bei Julius Plücker
3. 1872 Professor in Erlangen; Erlanger Programm
4. 1875 Technische Hochschule München; Heirat mit Anna Hegel
5. 1880 Professur in Leipzig
6. um 1881 Beschreibung der Kleinschen Flasche
7. 1886 Wechsel nach Göttingen
8. 1895 Berufung Hilberts; Promotion von Grace Chisholm
9. 1905 Meraner Vorschläge zur Reform des Mathematikunterrichts
10. 1925 Tod in Göttingen (22. Juni)

Bedeutung heute

Das Erlanger Programm steckt in der Computergrafik: Wenn ein Spiel eine Figur dreht, verkleinert oder perspektivisch darstellt, rechnet es mit genau den Abbildungsgruppen, die Klein ordnete. Wer in der Physik von Symmetrien spricht, bewegt sich auf seinem Boden. Die Kleinsche Flasche ist ein Lieblingsobjekt der Topologie geblieben. Und die Verbindung von Schule und Wissenschaft, die er forderte, prägt bis heute die Diskussion über guten Unterricht.

Häufige Fragen

Was besagt das Erlanger Programm?

Es besagt, dass sich jede Geometrie durch eine Gruppe von Abbildungen beschreiben lässt. Die Geometrie untersucht dann die Eigenschaften, die bei diesen Abbildungen gleich bleiben, zum Beispiel Längen und Winkel bei Verschiebungen und Drehungen.

Was ist das Besondere an der Kleinschen Flasche?

Sie ist eine Fläche mit nur einer Seite und ohne Rand. Man kann auf ihr laufen und kommt auf die „andere Seite“, ohne eine Kante zu überqueren. Im dreidimensionalen Raum lässt sie sich nur mit Selbstdurchdringung darstellen.

Quellen und weiterführende Literatur

• Felix Klein: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, Deichert, Erlangen 1872.
• Felix Klein: Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus, Teubner, Leipzig 1908 und 1909.
• Felix Klein: Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert, Springer, Berlin 1926 und 1927.
• MacTutor History of Mathematics: Felix Klein (englisch)
• Wikipedia: Felix Klein (Mathematiker)