John Nash

John Forbes Nash Jr. (1928–2015) war ein amerikanischer Mathematiker. Er entwickelte als junger Doktorand das Nash-Gleichgewicht, einen Grundbegriff der Spieltheorie: Das ist die Mathematik von Entscheidungen, bei denen das Ergebnis davon abhängt, was die anderen tun. Später bewies er einen der überraschendsten Sätze der Geometrie, den Einbettungssatz, und trug Wichtiges zur Theorie der partiellen Differentialgleichungen bei.

1994 erhielt er gemeinsam mit John Harsanyi und Reinhard Selten den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften, 2015 gemeinsam mit Louis Nirenberg den Abelpreis. Ab 1959 erkrankte Nash an einer schweren psychischen Krankheit; seine Genesung und sein späteres Leben machten ihn durch das Buch von Sylvia Nasar und den Film A Beautiful Mind weltbekannt.

Kindheit, Studium und Promotion

John Nash wurde am 13. Juni 1928 in Bluefield im US-Bundesstaat West Virginia geboren. Sein Vater war Elektroingenieur, seine Mutter Lehrerin. Er studierte ab 1945 am Carnegie Institute of Technology in Pittsburgh zunächst Chemieingenieurwesen, wechselte aber zur Mathematik und schloss 1948 mit dem Master ab. Danach ging er nach Princeton, wo Albert W. Tucker seine Doktorarbeit betreute. Schon 1950 reichte er die gerade einmal 28 Seiten lange Dissertation Non-Cooperative Games ein.

Das Nash-Gleichgewicht

Die Idee

Von Neumanns Minimax-Satz löste Spiele, in denen ein Spieler genau das gewinnt, was der andere verliert. Doch im echten Leben sind Interessen gemischt: Zwei Firmen können beide gewinnen, zwei Länder beide verlieren. Nash fragte, wie sich vernünftige Spieler in solchen Spielen verhalten. Seine Antwort ist ein Zustand, in dem niemand allein etwas verbessern kann.

Das Gefangenendilemma

Das bekannteste Beispiel stammt von den Forschern Merrill Flood und Melvin Dresher (1950), Albert Tucker erzählte es als Geschichte von zwei Gefangenen. Beide werden getrennt verhört und können schweigen oder den anderen verraten. Die Tabelle zeigt ihre Strafen in Jahren (Gefangener A, Gefangener B):

Was ist für A besser? Schweigt B, bringt Verrat 0 statt 1 Jahr. Verrät B, bringt Verrat 3 statt 5 Jahre. Verrat ist also immer günstiger, und für B gilt dasselbe. Das einzige Nash-Gleichgewicht ist daher „beide verraten“ mit je 3 Jahren, obwohl beide mit „beide schweigen“ (je 1 Jahr) besser fahren würden. Das Beispiel zeigt, warum Eigennutz allen schaden kann, etwa bei Preiskämpfen, Rüstungswettläufen oder dem Klimaschutz.

Nash bewies, dass jedes Spiel mit endlich vielen Spielern und Strategien ein Gleichgewicht besitzt, wenn man gemischte Strategien zulässt, also Zufallsmischungen wie in von Neumanns Elfmeter-Beispiel. Sein Beweis stützt sich auf einen Fixpunktsatz, wie ihn L. E. J. Brouwer bewiesen hatte. Von Neumann soll das Ergebnis zunächst als „trivial“ abgetan haben, weil es nur ein Fixpunktsatz sei. Es erwies sich als eine der folgenreichsten Ideen der Wirtschaftswissenschaften. Schon 1838 hatte Augustin Cournot ein solches Gleichgewicht für zwei Firmen am Markt beschrieben, Nash lieferte die allgemeine Theorie.

Geometrie: Der Einbettungssatz

Bernhard Riemann hatte gezeigt, wie man gekrümmte Räume allein durch Abstandsregeln beschreibt, ohne sie in einen größeren Raum zu legen. Die Frage lag nahe: Lässt sich jeder solche abstrakte Raum als Fläche oder Körper im gewöhnlichen Raum verwirklichen, ohne dass sich Abstände ändern? Schon Gauß wusste, dass man eine Kugeloberfläche nicht ohne Verzerrung flachdrücken kann. Nash bewies 1954 und 1956 die Antwort: Ja, wenn man genug Dimensionen bereitstellt. Die Arbeit The Imbedding Problem for Riemannian Manifolds (1956) gilt als technisches Meisterstück, und sie löste eine Frage, die seit dem 19. Jahrhundert offen war.

Besonders verblüffend ist eine Variante für Flächen, die keine scharfen Knicke haben müssen, aber beliebig fein gekräuselt sein dürfen: Dort lässt sich sogar ein Quadrat, dessen gegenüberliegende Ränder man verklebt (ein flacher Torus), im dreidimensionalen Raum ohne Dehnung unterbringen. Erst 2012 gelang es einer französischen Gruppe, das am Computer sichtbar zu machen.

Ein weiteres Gebiet betrifft Hilberts 19. Problem, ob Lösungen bestimmter Variationsprobleme immer glatt sind. Der Italiener Ennio De Giorgi und Nash lösten den Kern des Problems 1957 und 1958 unabhängig voneinander; man spricht vom Satz von De Giorgi und Nash. Für diese Arbeiten über partielle Differentialgleichungen erhielt Nash 2015 den Abelpreis.

Krankheit und Genesung

1957 heiratete Nash Alicia Larde, 1959 wurde ihr Sohn geboren. Zu dieser Zeit lehrte er am Massachusetts Institute of Technology. Ende 1958 und Anfang 1959 zeigte er zunehmend verwirrte, misstrauische Gedanken. Er wurde in die McLean-Klinik bei Boston eingewiesen und bekam die Diagnose paranoide Schizophrenie. Es folgten mehrere Klinikaufenthalte über viele Jahre. Seine Ehe wurde in den frühen 1960er-Jahren geschieden; seine frühere Frau nahm ihn später bei sich in Princeton auf, wo man ihn als „Phantom von Fine Hall“ kannte, nach dem Mathematikgebäude, in dem er Formeln an Tafeln schrieb.

Ab den 1980er-Jahren ging es ihm allmählich besser. Nach eigener Darstellung lernte er, wahnhafte Gedanken bewusst zurückzuweisen. Wie genau die Besserung zustande kam, ist nicht gesichert. Nash und Alicia heirateten 2001 erneut. Seine Geschichte zeigt, dass eine psychische Erkrankung ein Leben prägen kann, ohne die Person auf die Krankheit zu reduzieren.

Nobelpreis 1994 und Abelpreis 2015

1994 erhielt Nash den Alfred-Nobel-Gedächtnispreis für Wirtschaftswissenschaften für die Analyse von Gleichgewichten in nichtkooperativen Spielen. Im Mai 2015 reiste er nach Oslo, um den Abelpreis entgegenzunehmen. Auf der Heimfahrt verunglückte das Taxi, in dem er und seine Frau Alicia saßen, auf dem New Jersey Turnpike. Beide kamen am 23. Mai 2015 ums Leben; sie waren nicht angeschnallt.

Zeitleiste: John Nashs Leben

1. 1928 Geburt am 13. Juni in Bluefield (West Virginia)
2. 1950 Promotion in Princeton; Nash-Gleichgewicht
3. 1954 Erste Fassung des Einbettungssatzes
4. 1957 Heirat mit Alicia Larde
5. 1959 Beginn der Erkrankung, erste Klinikeinweisung
6. 1994 Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften
7. 2001 Film A Beautiful Mind; Nash und Alicia heiraten erneut
8. 2015 Abelpreis (Mai) und Tod bei einem Verkehrsunfall am 23. Mai

Bedeutung heute: Das Nash-Gleichgewicht im Alltag

Das Nash-Gleichgewicht steckt in Auktionen (auch den Online-Auktionen für Werbung), in der Kartellaufsicht, im Straßenverkehr, in der Biologie und in Verhandlungen zwischen Staaten. Die Informatik nutzt es für Netzwerke und Algorithmen. Die Einbettungssätze und die Differentialgleichungen gehören zum Handwerkszeug der Geometrie und Analysis, Princeton war zu Nashs Studienzeit ein Zentrum der Mathematik: Am nahen Institute for Advanced Study arbeiteten damals auch Kurt Gödel und John von Neumann. Mehr zum Umfeld bietet die Mathematik des 20. Jahrhunderts. Die Wurzeln der Entscheidungsmathematik reichen bis zu den Glücksspielen bei Blaise Pascal zurück; Grundlagen dazu erklärt die Seite zur Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Häufige Fragen

Wann lebte John Nash?

John Nash wurde am 13. Juni 1928 in Bluefield (West Virginia) geboren und starb am 23. Mai 2015 bei einem Verkehrsunfall in New Jersey im Alter von 86 Jahren.

Was ist ein Nash-Gleichgewicht?

Eine Kombination von Strategien, bei der kein Spieler seine Lage verbessern kann, indem er allein seine Strategie wechselt. Im Gefangenendilemma ist „beide verraten“ ein solches Gleichgewicht.

Hat Nash den Nobelpreis für Mathematik bekommen?

Es gibt keinen Nobelpreis für Mathematik. Nash erhielt 1994 den Preis für Wirtschaftswissenschaften, den die schwedische Reichsbank zum Gedenken an Alfred Nobel stiftet. Für die Mathematik bekam er 2015 den Abelpreis.

Quellen und weiterführende Literatur

• John F. Nash: Equilibrium Points in n-Person Games. In: Proceedings of the National Academy of Sciences 36 (1950), S. 48–49.
• John F. Nash: Non-Cooperative Games. In: Annals of Mathematics 54 (1951), S. 286–295.
• John F. Nash: The Imbedding Problem for Riemannian Manifolds. In: Annals of Mathematics 63 (1956), S. 20–63.
• Sylvia Nasar: A Beautiful Mind. Simon & Schuster, New York 1998 (deutsch: Genie und Wahnsinn).
• MacTutor History of Mathematics: John Forbes Nash Jr. (englisch)