Gottlob Frege

Gottlob Frege (1848–1925) war ein deutscher Mathematiker, Logiker und Philosoph und gilt als Begründer der modernen mathematischen Logik. In seiner Schrift Begriffsschrift (1879) entwarf er eine Formelsprache, in der sich logische Schlüsse so streng aufschreiben lassen, dass man jeden Beweis Schritt für Schritt auf Fehler prüfen kann. Frege lehrte fast sein ganzes Berufsleben lang in Jena, und zu seinen Lebzeiten beachteten ihn nur wenige.

Sein großes Ziel war der Nachweis, dass die Arithmetik, also das Rechnen mit Zahlen, ein Teil der reinen Logik ist. 1902 teilte ihm der damals 30-jährige Bertrand Russell mit, dass sein System einen Widerspruch enthält. Das Ereignis gehört zu den berühmtesten Wendepunkten der Mathematik des 19. Jahrhunderts. Freges Formelsprache dagegen lebt in jedem Logik- und Informatikbuch weiter.

Von Wismar nach Jena

Gottlob Frege wurde am 8. November 1848 in Wismar an der Ostsee geboren. Sein Vater leitete eine private höhere Mädchenschule in der Stadt. Auf der Großen Stadtschule förderte ihn ein Lehrer, der ihm riet, in Jena zu studieren. Dort begann Frege 1869 sein Studium, 1871 wechselte er nach Göttingen und wurde 1873 mit einer Arbeit über eine geometrische Darstellung der „imaginären“ Gebilde in der Ebene promoviert.

Schon 1874 habilitierte er sich in Jena mit Unterstützung des Physikers Ernst Abbe und blieb dort für den Rest seines Berufslebens. Seit 1879 war er außerordentlicher, seit 1896 ordentlicher Honorarprofessor. Seine Vorlesungen besuchten nur wenige Studierende, zu den bekanntesten gehörte der spätere Philosoph Rudolf Carnap. 1887 heiratete er Margarete Lieseberg. 1917 wurde er emeritiert und zog später nach Bad Kleinen, in die Nähe seiner Geburtsstadt.

Die Begriffsschrift (1879): Logik als Formelsprache

Seit Aristoteles hatten Gelehrte Schlüsse wie „Alle Menschen sind sterblich, Sokrates ist ein Mensch, also ist Sokrates sterblich“ untersucht. Der Philosoph Immanuel Kant meinte 1787 sogar, die Logik sei seit Aristoteles kaum einen Schritt vorangekommen und im Wesentlichen vollendet. Doch die Logik des Aristoteles stieß an Grenzen. Aussagen über Beziehungen zwischen Dingen und mehrfach verschachtelte Wendungen wie „zu jeder Zahl gibt es eine größere“ konnte sie nicht sauber ausdrücken, und gerade die braucht die Mathematik ständig.

Frege löste das Problem mit einer künstlichen Sprache aus Zeichen. Deren Kern sind Quantoren, also Zeichen für „für alle“ und „es gibt“, die sich auf Variablen beziehen. Heute schreibt man den Satz „Zu jeder Zahl x gibt es eine größere Zahl y“ so:

Dazu kamen feste Schlussregeln, nach denen aus alten Sätzen neue entstehen. Wer sie anwendet, braucht keinerlei Intuition mehr: Ein Beweis ist eine Kette von Zeichenreihen, deren Korrektheit man mechanisch kontrolliert. Außerdem fasste Frege einen Begriff wie „ist ein Mensch“ als eine Art Funktion auf, die jedem Gegenstand einen Wahrheitswert zuordnet. Aus diesem Gedanken entstand die heutige Prädikatenlogik.

Freges eigene Schreibweise war zweidimensional, mit Verzweigungen und Linien, die man auf der Seite verfolgen musste. Sie war schwer zu drucken und zu lesen und setzte sich nicht durch; heutige Lehrbücher schreiben logische Formeln in einer Zeile, nach dem Vorbild von Giuseppe Peano und Bertrand Russell. Auch die Begriffsschrift selbst fand zunächst kaum Leser. Doch fast alles, was die formale Logik des 20. Jahrhunderts ausmacht, steckt schon in diesem schmalen Buch.

Was ist eine Zahl? Das Programm des Logizismus

In den Grundlagen der Arithmetik (1884) stellte Frege eine scheinbar kindliche Frage: Was ist eigentlich eine Zahl? Seine Antwort: Eine Zahl sagt etwas über einen Begriff aus, nicht über einen Gegenstand. Wer sagt „Venus hat keinen Mond“, behauptet, dass unter den Begriff „Mond der Venus“ kein einziger Gegenstand fällt. Wer sagt „Vier Pferde ziehen den Wagen“, behauptet, dass unter den Begriff „Pferd vor diesem Wagen“ genau vier fallen.

Aus solchen Definitionen wollte Frege die gesamte Arithmetik ableiten. Diese Ansicht heißt Logizismus: Mathematik ist, wenigstens im Bereich der Zahlen, nichts anderes als Logik. Dazu schrieb er die zwei Bände der Grundgesetze der Arithmetik (1893 und 1903), in denen er seine Begriffsschrift anwandte. Seine Ableitungen sind so lückenlos, dass sie bis heute als Vorbild an Strenge gelten.

Sinn und Bedeutung (1892)

In einem berühmten Aufsatz fragte Frege, warum der Satz „Der Morgenstern ist der Abendstern“ eine Neuigkeit sein kann, während „Der Morgenstern ist der Morgenstern“ langweilig ist. Beide Ausdrücke bezeichnen denselben Himmelskörper, nämlich den Planeten Venus. Dennoch unterscheiden sie sich in der Art, wie sie uns den Gegenstand zeigen. Frege nannte den bezeichneten Gegenstand die Bedeutung und die Art des Zeigens den Sinn. Diese Unterscheidung bildet bis heute ein Fundament der Sprachphilosophie und der Semantik, auch für Programmiersprachen.

Russells Brief 1902: der Widerspruch

Am 16. Juni 1902 schrieb Bertrand Russell an Frege. Er lobte dessen Werk und wies dann auf einen Widerspruch in einem Grundgesetz hin, dem sogenannten Grundgesetz V. Es besagt, kurz gesagt: Zu jedem Begriff gibt es die Menge aller Gegenstände, die unter ihn fallen. Das klingt harmlos. Doch Russell betrachtete den Begriff „Menge, die sich nicht selbst enthält“.

Die meisten Mengen enthalten sich nicht selbst: Die Menge aller Katzen ist keine Katze. Anders bei der Menge aller Dinge, die keine Katzen sind; sie ist selbst keine Katze und enthält sich deshalb. Nun sei R die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten. Enthält R sich selbst? Wenn ja, erfüllt R die eigene Bedingung nicht, also enthält R sich nicht. Wenn nein, erfüllt R die Bedingung, also enthält es sich doch. Beide Antworten führen zum Widerspruch.

Frege antwortete schon am 22. Juni 1902 und räumte ein, dass der Fehler im Fundament sitzt. Der zweite Band der Grundgesetze war fast gedruckt. Im Nachwort schrieb er:

„Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als dass ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird.“

Einen Reparaturversuch fügte Frege noch als Anhang hinzu. Später zeigte sich, dass auch er nicht ausreichte. Die Antinomie zwang die Mathematik zum Umdenken. Russell antwortete mit der Typentheorie, die er mit Alfred North Whitehead in den Principia Mathematica ausbaute. Ernst Zermelo schlug 1908 ein Axiomensystem für die Mengenlehre vor, das solche Mengen gar nicht erst zulässt.

Späte Jahre und Nachlass

Frege blieb ein zurückgezogener Mensch. Der junge Philosoph Ludwig Wittgenstein besuchte ihn mehrmals und nannte ihn im Vorwort seines Tractatus als wichtigen Einfluss. Freges Tagebuch aus dem Jahr 1924, das erst 1994 erschien, enthält antidemokratische und antisemitische Äußerungen, die sein Bild als Person trüben. Öffentlich trat er politisch offenbar nie hervor. Er starb am 26. Juli 1925 in Bad Kleinen. Sein Nachlass wurde 1945 bei einem Bombenangriff auf Münster größtenteils zerstört.

Zeitleiste: Gottlob Frege

1. 1848 Geburt in Wismar (8. November)
2. 1873 Promotion in Göttingen
3. 1874 Habilitation in Jena
4. 1879 Begriffsschrift; außerordentlicher Professor in Jena
5. 1884 Die Grundlagen der Arithmetik
6. 1892 Aufsatz „Über Sinn und Bedeutung“
7. 1893 Erster Band der Grundgesetze der Arithmetik
8. 1902 Russells Brief vom 16. Juni zeigt den Widerspruch
9. 1903 Zweiter Band der Grundgesetze mit Nachwort
10. 1925 Tod in Bad Kleinen (26. Juli)

Bedeutung heute

Freges Quantoren und Schlussregeln sind das Gerüst der heutigen Logik. Auf ihnen beruhen formale Beweisprüfer, Datenbanksprachen wie SQL und die Verifikation von Computerprogrammen. Kurt Gödel konnte 1931 seine Unvollständigkeitssätze nur beweisen, weil Frege, Peano und andere formale Systeme geschaffen hatten, über die man selbst mathematisch sprechen kann (siehe Kurt Gödel). Die Antinomie wiederum schärfte den Blick dafür, wie vorsichtig man mit „allen Mengen“ umgehen muss.

Häufige Fragen

Was ist die Begriffsschrift?

Die Begriffsschrift ist ein Buch Freges von 1879 und zugleich der Name seiner Formelsprache. Mit ihr lassen sich logische Schlüsse in Zeichen darstellen und streng prüfen. Sie gilt als Beginn der modernen mathematischen Logik.

Quellen und weiterführende Literatur

• Gottlob Frege: Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Louis Nebert, Halle 1879.
• Gottlob Frege: Die Grundlagen der Arithmetik, Wilhelm Koebner, Breslau 1884.
• Gottlob Frege: Grundgesetze der Arithmetik, 2 Bände, Hermann Pohle, Jena 1893 und 1903.
• MacTutor History of Mathematics: Gottlob Frege (englisch)
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: Gottlob Frege (englisch)