Shing-Tung Yau

Shing-Tung Yau (geboren 1949 in Shantou, China) ist ein chinesisch-amerikanischer Mathematiker, der auf dem Gebiet der Geometrie arbeitet. Er bewies in den 1970er-Jahren die Calabi-Vermutung, die Eugenio Calabi 1954 aufgestellt hatte. Sie klärt, wann sich ein bestimmter Typ gekrümmter Räume so formen lässt, dass seine Krümmung im Sinne der Allgemeinen Relativitätstheorie „ausgeglichen“ ist. Für diese und weitere Leistungen erhielt Yau 1982 die Fields-Medaille, die höchste Auszeichnung der Mathematik für Forschende unter 40 Jahren.

Die Räume, die aus Yaus Beweis hervorgehen, heißen Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten. Physiker benutzen sie seit 1985, um in der Stringtheorie zu beschreiben, wie sich überzählige Dimensionen verbergen könnten. Yau lehrte jahrzehntelang an der Harvard-Universität und wirkt seit 2022 an der Tsinghua-Universität in Peking.

Herkunft und Ausbildung in Hongkong und Berkeley

Yau kam am 4. April 1949 in Shantou in der Provinz Guangdong zur Welt. Im selben Jahr floh seine Familie vor den Umbrüchen des chinesischen Bürgerkriegs nach Hongkong. Yau war das fünfte von acht Kindern, die Familie lebte in bescheidenen Verhältnissen. Sein Vater, ein Ökonom und Philosoph, prägte sein Interesse an Mathematik und Philosophie; er starb, als Yau 14 Jahre alt war.

Ab 1966 studierte Yau an der Chinesischen Universität von Hongkong. Schon nach wenigen Jahren wechselte er an die University of California in Berkeley. Dort promovierte er 1971 mit 22 Jahren bei dem Geometer Shiing-Shen Chern, einem der großen Namen der Differentialgeometrie. Danach arbeitete er am Institute for Advanced Study in Princeton, in Stony Brook und ab 1974 an der Stanford University.

Krümmung, Ricci und Kähler: Worum es geht

Eine Fläche wie die Oberfläche einer Kugel ist gekrümmt, ein Blatt Papier ist flach. In höheren Dimensionen beschreibt man Krümmung durch mehrere Zahlen. Eine davon heißt Ricci-Krümmung; sie misst, wie stark sich das Volumen kleiner Kugeln von dem im flachen Raum unterscheidet. Bei einer „Ricci-flachen“ Metrik, so nennt man die Messvorschrift für Abstände, ist dieses Abweichen in erster Näherung null. In der Allgemeinen Relativitätstheorie entspricht das dem leeren Raum ohne Materie. Die Grundlagen dieser Geometrie gehen auf Bernhard Riemann zurück.

Calabi interessierte sich für Kähler-Mannigfaltigkeiten. Das sind Räume, in denen die Koordinaten komplexe Zahlen sind und in denen Abstände, Winkel und die komplexe Struktur harmonisch zusammenpassen. Eine komplexe Zahl zählt dabei doppelt: Ein solcher Raum mit drei komplexen Dimensionen hat sechs reelle Dimensionen. Die einfachsten Beispiele sind der Torus, eine Fläche wie ein Donut (eine komplexe Dimension), und die sogenannten K3-Flächen (zwei komplexe Dimensionen).

Die Calabi-Vermutung und ihr Beweis

Calabi vermutete: Hat ein solcher Raum eine bestimmte topologische Eigenschaft, nämlich dass seine erste Chern-Klasse verschwindet, dann gibt es auf ihm eine Ricci-flache Metrik, und zwar in jeder vorgegebenen „Größenklasse“. Das ist erstaunlich: Eine Aussage über die grobe Form des Raumes soll eine Aussage über seine feine Geometrie nach sich ziehen. Fachleute zweifelten daran. Nach eigener Darstellung suchte Yau zunächst selbst nach einem Gegenbeispiel.

Erst als er seine Strategie umkehrte, gelang der Durchbruch. Er führte die Frage auf eine nichtlineare Differentialgleichung zurück, die komplexe Monge-Ampère-Gleichung, und bewies mit sehr feinen Abschätzungen, dass sie eine Lösung besitzt. Er gab den Beweis 1976 bekannt, die Veröffentlichung erschien 1977 und 1978. Damit war die Calabi-Vermutung ein Satz, und die Räume, deren Existenz sie sichert, erhielten den Namen Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten.

Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten in der Stringtheorie

Die Stringtheorie ersetzt Punktteilchen durch winzige schwingende Fäden („Strings“). Damit die Rechnungen widerspruchsfrei bleiben, braucht die Superstringtheorie zehn Dimensionen: eine Zeit, drei vertraute Raumrichtungen und sechs weitere. Diese sechs sollen so klein aufgerollt sein, dass wir sie nicht bemerken, ähnlich wie ein Gartenschlauch aus der Ferne wie eine Linie aussieht. 1985 zeigten Philip Candelas, Gary Horowitz, Andrew Strominger und Edward Witten, dass sich für diese kleinen Räume gerade Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten eignen. Ihre Ricci-Flachheit sorgt dafür, dass ein Teil der Symmetrien der Theorie erhalten bleibt.

Aus der Form des aufgerollten Raumes, so die Hoffnung, folgen die Teilchen und Kräfte, die wir beobachten. Dabei fiel eine Doppeldeutigkeit auf: Zwei völlig verschiedene Calabi-Yau-Räume können dieselbe Physik liefern. Diese Spiegelsymmetrie sagte Zahlen für Kurven auf der Quintik voraus, die Mathematiker erst nachrechnen mussten. In den 1990er-Jahren trug Yau mit seinen Kollegen Bong Lian und Kefeng Liu zu ihrer mathematischen Begründung bei.

Der Satz über positive Masse

Ein zweites berühmtes Ergebnis betrifft die Allgemeine Relativitätstheorie. 1979 bewiesen Yau und Richard Schoen: Besteht ein isoliertes physikalisches System aus Materie mit nirgends negativer Energiedichte, dann ist auch seine Gesamtmasse nicht negativ. Das klingt selbstverständlich, doch in einer Theorie, in der die Gravitation selbst Energie trägt, ist es das nicht. Der Beweis benutzt Minimalflächen, das sind Flächen wie ein Seifenhäutchen, die ihren Flächeninhalt lokal minimieren. 1981 fand Edward Witten einen zweiten Beweis mit anderen Mitteln.

Fields-Medaille und spätere Jahre

Die Fields-Medaillen des Jahres 1982 wurden erst 1983 in Warschau überreicht, weil der Kongress wegen der Lage in Polen verschoben worden war. Yau erhielt sie gemeinsam mit Alain Connes und William Thurston, unter anderem für seine Arbeiten über partielle Differentialgleichungen, die Calabi-Vermutung und die positive Masse. Weitere Ehrungen folgten: der Crafoord-Preis 1994, die National Medal of Science der USA 1997, der Wolf-Preis 2010 und der Shaw-Preis 2023.

Von 1987 bis 2022 war Yau Professor in Harvard, davor lehrte er unter anderem in Stanford und San Diego. Er gründete Institute und prägte viele Nachwuchsforscher; 1982 stellte er eine einflussreiche Liste offener Probleme der Geometrie zusammen, die manchmal mit den Problemen von David Hilbert verglichen wird. Seit 2009 leitet er das Mathematical Sciences Center der Tsinghua-Universität in Peking, das heute Yau Mathematical Sciences Center heißt. Im April 2022 wurde er in Harvard emeritiert und lehrt seither in Peking. Mit der Ricci-Krümmung beschäftigt sich auch der Ricci-Fluss, mit dem Grigori Perelman die Vermutung von Henri Poincaré bewies.

Zeitleiste: Shing-Tung Yaus Leben

1. 1949 Geburt am 4. April in Shantou, Umzug der Familie nach Hongkong
2. 1966 Studium an der Chinesischen Universität von Hongkong
3. 1971 Promotion in Berkeley bei Shiing-Shen Chern
4. 1976 Bekanntgabe des Beweises der Calabi-Vermutung
5. 1979 Satz über positive Masse mit Richard Schoen
6. 1982 Fields-Medaille (überreicht 1983 in Warschau)
7. 1985 Calabi-Yau-Räume als Modelle der Stringtheorie
8. 1987 Wechsel an die Harvard-Universität
9. 2009 Gründung des Mathematical Sciences Center in Peking
10. 2022 Wechsel von Harvard an die Tsinghua-Universität

Bedeutung heute

Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten zählen zu den am besten untersuchten Räumen der Geometrie. Sie verbinden Zahlentheorie, algebraische Geometrie und Physik und sind ein Beispiel dafür, wie ein rein mathematischer Existenzsatz zur Grundlage neuer physikalischer Modelle werden kann. Die algebraische Geometrie, in der sie leben, wurde im 20. Jahrhundert wesentlich von Alexander Grothendieck umgestaltet. Einen Überblick über die Zeit bietet der Artikel zur Mathematik des 20. Jahrhunderts; das Teilgebiet erklärt die Lernseite zur Geometrie.

Quellen und weiterführende Literatur

• Shing-Tung Yau, Steve Nadis: The Shape of Inner Space. String Theory and the Geometry of the Universe’s Hidden Dimensions. Basic Books, New York 2010.
• Shing-Tung Yau, Steve Nadis: The Shape of a Life. One Mathematician’s Search for the Universe’s Hidden Geometry. Yale University Press, New Haven 2019.
• Shing-Tung Yau: On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge-Ampère equation, I. In: Communications on Pure and Applied Mathematics 31 (1978).
• MacTutor History of Mathematics: Shing-Tung Yau (englisch)
• Wikipedia: Shing-Tung Yau