Wladimir Arnold

Wladimir Igorewitsch Arnold (1937–2010) war einer der einflussreichsten russischen Mathematiker des 20. Jahrhunderts. Er wurde in Odessa geboren, studierte und lehrte in Moskau und zuletzt auch in Paris. Berühmt wurde er mit zwei Leistungen: Als Student beantwortete er zusammen mit seinem Lehrer Andrei Kolmogorow eine Variante des 13. Problems aus David Hilberts Liste von 1900. Später half er, die KAM-Theorie zu begründen, die untersucht, wie stabil Bewegungen bleiben, wenn kleine Störungen auftreten, etwa im Sonnensystem.

Arnold schrieb Lehrbücher, die bis heute Maßstäbe setzen, und er stritt öffentlich für einen anderen Mathematikunterricht. Seiner Überzeugung nach gehört die Mathematik eng zur Physik und zur Natur und darf nicht zu einem Spiel mit Definitionen werden.

Herkunft und Ausbildung in Moskau

Wladimir Arnold kam am 12. Juni 1937 in Odessa zur Welt, damals Teil der Sowjetunion, heute in der Ukraine. Er stammte aus einer Familie mit mehreren Wissenschaftlern. Ein Schullehrer stellte ihm schon mit etwa zwölf Jahren knifflige Aufgaben und weckte seine Begeisterung.

1954 begann er das Studium an der Moskauer Lomonossow-Universität. Dort wurde Andrei Kolmogorow (1903–1987) sein Betreuer, einer der größten Mathematiker des Jahrhunderts, der unter anderem die moderne Wahrscheinlichkeitstheorie begründet hatte. 1959 schloss Arnold das Studium ab, 1961 folgte der Kandidatengrad (vergleichbar mit der Promotion), 1963 der höhere Doktorgrad. Von 1965 bis 1986 war er Professor in Moskau, danach arbeitete er am Steklow-Institut für Mathematik. Ab 1993 lehrte er zusätzlich an der Universität Paris-Dauphine. Über mehr als 30 Jahre leitete er in Moskau ein berühmtes Seminar, dessen erste Sitzung jedes Semesters offenen Problemen gewidmet war.

Hilberts 13. Problem: Alles aus einfachen Bausteinen

Hilbert hatte im Jahr 1900 gefragt, ob sich die Lösung der Gleichung siebten Grades als Verkettung von Funktionen mit nur zwei Variablen schreiben lässt. Er vermutete: nein. Die ursprüngliche Frage über algebraische Funktionen ist bis heute offen. Für stetige Funktionen, also solche ohne Sprünge, fanden Kolmogorow und sein Student Arnold dagegen eine überraschende Antwort.

Kolmogorow hatte das Problem für vier und mehr Variablen auf drei Variablen zurückgeführt. Arnold zeigte 1956/57 als Student, dass auch Funktionen von drei Variablen aus Funktionen von zwei Variablen aufgebaut werden können. Noch 1957 ging Kolmogorow den letzten Schritt. Das Ergebnis ist der Darstellungssatz von Kolmogorow und Arnold: Jede stetige Funktion von n Variablen lässt sich allein aus stetigen Funktionen einer Variablen und der Addition zusammensetzen.

Die inneren Funktionen φ sind für alle f dieselben, nur die äußeren Funktionen Φ hängen von f ab. Ein Gefühl für die Idee gibt die Multiplikation, eine Funktion von zwei Variablen: Für positive Zahlen gilt x · y = exp(ln x + ln y). Man braucht also nur Logarithmus, Addition und Exponentialfunktion. Genau so verwandelte John Napier um 1600 aufwendiges Multiplizieren in einfaches Addieren. Arnold und Kolmogorow zeigten, dass dieser Trick im Prinzip für jede stetige Funktion funktioniert.

KAM-Theorie: Wie stabil ist das Sonnensystem?

Zwei Himmelskörper, die sich gegenseitig anziehen, umkreisen einander auf einer sauberen Bahn; das berechnete schon Isaac Newton. Schon bei drei Körpern wird es verwickelt. Pierre-Simon Laplace hoffte um 1800 noch auf ein dauerhaft stabiles Planetensystem. Henri Poincaré zeigte Ende des 19. Jahrhunderts, dass das Dreikörperproblem keine einfache Lösungsformel besitzt und Bahnen empfindlich auf kleinste Änderungen reagieren können.

Ein ungestörtes System mit mehreren Schwingungen gleicht einer Uhr mit mehreren Zeigern, die jeweils mit eigener Frequenz laufen. Die Bewegung bleibt auf einer Fläche in Form eines Rettungsrings (mathematisch ein Torus). Treten kleine Störungen hinzu, etwa weil die Planeten einander anziehen, entstehen Probleme dort, wo sich die Frequenzen wie einfache Brüche verhalten, zum Beispiel 2 : 3. Das ist wie bei einer Schaukel: Wer im richtigen Takt anschiebt, baut große Ausschläge auf. In den Formeln zeigt sich das als „kleine Nenner“, durch die man beinahe teilt, sodass die Rechnungen auszuufern drohen.

Kolmogorow skizzierte 1954 auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Amsterdam einen Weg, die kleinen Nenner zu bändigen. Arnold bewies 1963 eine Fassung für Systeme der Mechanik, Jürgen Moser (1962) eine für Abbildungen. Zusammen heißen die Ergebnisse KAM-Theorie nach Kolmogorow, Arnold und Moser. Ihre Aussage: Bei kleinen Störungen bleiben die meisten Bewegungen erhalten und werden nur leicht verformt, nämlich diejenigen, deren Frequenzverhältnisse „hinreichend irrational“ sind, also von einfachen Brüchen weit entfernt. Der goldene Schnitt gilt als besonders widerstandsfähig.

Ein Beweis dafür, dass das Sonnensystem für immer stabil bleibt, folgt aus der KAM-Theorie nicht. Bei drei oder mehr Freiheitsgraden können die Tori nicht verhindern, dass Bahnen langsam davontreiben. Dieses Phänomen entdeckte Arnold 1964; es heißt heute Arnold-Diffusion und gilt als wichtiger Teil seines Werks zur KAM-Theorie.

Arnolds Katzenabbildung

Chaos lässt sich überraschend einfach erzeugen. Man nimmt ein Quadrat der Seitenlänge 1 und ordnet jedem Punkt (x, y) den Punkt (2x + y, x + y) zu, wobei man von jeder Koordinate die ganzen Zahlen abzieht, also nur den Nachkommateil behält. Der Punkt (0,5; 0,25) geht so in (1,25; 0,75) über, also in (0,25; 0,75).

Anschaulich wird das Quadrat gestreckt, schräg gezogen und die herausragenden Teile werden zurück ins Quadrat geschoben. Die Fläche bleibt dabei erhalten. In Streckrichtung wachsen Abstände pro Schritt etwa um den Faktor 2,618, nämlich (3 + √5) / 2. Zwei benachbarte Punkte trennen sich also rasch: ein Kennzeichen von Chaos. Arnold und André Avez zeigten das Verhalten in ihrem Buch über ergodische Probleme der Mechanik (französisch 1967) am Bild eines Katzenkopfes, daher der Name.

Das Erstaunliche: Ein digitales Bild aus Pixeln kehrt nach endlich vielen Schritten exakt zurück. Ein Bild aus 5 × 5 Pixeln braucht dafür 10 Schritte, eines aus 10 × 10 Pixeln 30. Dazwischen erscheint das Bild zeitweise als zufälliges Pixelmuster. So zeigt die Katzenabbildung, dass Chaos und Ordnung dicht beieinanderliegen.

Weitere Beiträge: Singularitäten, Symplektik, Strömungen

Arnold arbeitete in sehr vielen Gebieten. In der Singularitätentheorie untersucht man Stellen, an denen Kurven oder Flächen Spitzen und Knicke zeigen. Er entdeckte, dass sich die einfachsten Singularitäten nach denselben Mustern ordnen lassen wie bestimmte Symmetriegruppen und Spiegelungssysteme (die sogenannte A-D-E-Klassifikation). In der symplektischen Geometrie, der Geometrie der Mechanik, stellte er 1965 die nach ihm benannte Vermutung über die Mindestzahl von Fixpunkten auf, die später ein ganzes Forschungsfeld begründete. In der Hydrodynamik deutete er die Euler-Gleichungen für ideale Flüssigkeiten geometrisch (zu den Gleichungen siehe Leonhard Euler). Sein Lehrbuch Mathematische Methoden der klassischen Mechanik ist ein Klassiker.

Kritik am formalistischen Unterricht

In einem Vortrag in Paris am 7. März 1997 griff Arnold den Mathematikunterricht an, wie er ihn in Frankreich erlebte. Er wandte sich gegen die abstrakte, rein deduktive Mathematik, die in der Tradition der Gruppe um Nicolas Bourbaki steht, zu der auch André Weil gehörte. Das Argument: Mathematik sei ein Teil der Physik, also der Naturwissenschaft, nur dass die Experimente billig seien. Wer sie von Natur und Anschauung abtrenne, mache aus ihr eine Scholastik, die Kinder abschrecke. Arnold beklagte außerdem, dass die Geometrie aus dem Unterricht verdrängt werde.

Seine Zuspitzungen blieben umstritten; viele Fachleute halten Abstraktion und Strenge für unverzichtbar. Unbestritten ist aber, dass seine Mahnung, Begriffe an Beispielen und Anwendungen zu erklären, die Diskussion belebte.

Zeitleiste: Wladimir Arnolds Leben

1. 1937 Geburt am 12. Juni in Odessa
2. 1954 Beginn des Studiums in Moskau bei Andrei Kolmogorow
3. 1957 Darstellungssatz von Kolmogorow und Arnold (Hilberts 13. Problem für stetige Funktionen)
4. 1963 Beitrag zur KAM-Theorie; höherer Doktorgrad
5. 1964 Entdeckung der Arnold-Diffusion
6. 1965 Lenin-Preis mit Kolmogorow; Professor in Moskau
7. 1982 Crafoord-Preis gemeinsam mit Louis Nirenberg
8. 1986 Wechsel ans Steklow-Institut
9. 1997 Pariser Vortrag gegen den formalistischen Unterricht
10. 2010 Tod am 3. Juni in Paris

Bedeutung heute

Die KAM-Theorie gehört zum Grundwerkzeug der Himmelsmechanik, der Plasmaphysik und der Beschleunigerphysik. Dort stellt sich dieselbe Frage wie im Sonnensystem: Wann bleiben Teilchenbahnen bei kleinen Störungen stabil? Wie fruchtbar Arnolds Ideen waren, zeigt die symplektische Topologie, die aus seiner Fixpunkt-Vermutung wuchs und heute zur aktiven Forschung der Mathematik des 20. Jahrhunderts und darüber hinaus zählt. Die Katzenabbildung ist ein Standardbeispiel für Chaos in jeder Einführung in dynamische Systeme und wurde auch zum Verwürfeln von Bildern vorgeschlagen.

Quellen und weiterführende Literatur

• Wladimir I. Arnold: Mathematical Methods of Classical Mechanics. 2. Auflage, Springer, New York 1989.
• Wladimir I. Arnold, André Avez: Ergodic Problems of Classical Mechanics. W. A. Benjamin, New York 1968.
• Wladimir I. Arnold: On teaching mathematics. In: Russian Mathematical Surveys 53 (1998), Nr. 1 (Vortrag, Paris 1997).
• MacTutor History of Mathematics: Vladimir Igorevich Arnold (englisch)
• Wikipedia: Wladimir Igorewitsch Arnold