Hardy und Ramanujan

G. H. Hardy (1877–1947) und Srinivasa Ramanujan (1887–1920) bilden das bekannteste Forscherpaar der Zahlentheorie. Hardy, Fellow des Trinity College in Cambridge, stand für Strenge und lückenlose Beweise. Ramanujan, ein Büroangestellter aus Madras ohne Studienabschluss, fand Formeln von großer Tiefe, die er oft nicht beweisen konnte. Ein Brief, den Ramanujan im Januar 1913 an Hardy schickte, führte die beiden zusammen.

In fünf Jahren gemeinsamer Arbeit in Cambridge entstanden Ergebnisse, die bis heute nachwirken: eine Formel für die Anzahl der Zerlegungen einer Zahl in Summanden, ein Satz über die typische Zahl der Primfaktoren und Reihen, mit denen Computer heute π auf Billionen Stellen berechnen. Daneben prägte Hardy gemeinsam mit John Edensor Littlewood die analytische Zahlentheorie in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts. Die Geschichte der beiden zeigt auch, wie stark mathematische Begabung von Förderern, Zufällen und Lebensumständen abhängt.

G. H. Hardy: Herkunft und Ausbildung in Cambridge

Godfrey Harold Hardy wurde am 7. Februar 1877 in Cranleigh in der Grafschaft Surrey geboren. Beide Eltern arbeiteten im Schuldienst und förderten seine Begabung früh. Über seine Kindheit wird erzählt, er habe schon mit zwei Jahren Zahlen bis in die Millionen geschrieben und sich im Gottesdienst die Zeit damit vertrieben, die Nummern der Kirchenlieder in Primfaktoren zu zerlegen. Diese Anekdoten stammen aus späteren Erinnerungen und lassen sich nicht überprüfen.

Mit einem Stipendium besuchte Hardy ab 1890 das Winchester College, damals die beste Schule Englands für mathematische Ausbildung. 1896 wechselte er an das Trinity College in Cambridge. Die Vorbereitung auf das Abschlussexamen, den Mathematical Tripos, enttäuschte ihn: Sie zielte auf Prüfungstricks, nicht auf Verständnis. Erst sein Lehrer Augustus Love öffnete ihm die Augen, indem er ihm Camille Jordans Cours d’analyse empfahl, ein Lehrbuch der strengen französischen Analysis. 1898 schloss Hardy als „Fourth Wrangler“ ab, also als Viertbester seines Jahrgangs. 1900 wurde er Fellow des Trinity College, 1901 erhielt er gemeinsam mit James Jeans den Smith’s Prize.

Ein Lehrbuch und eine lange Partnerschaft

Mit A Course of Pure Mathematics (1908) legte Hardy eines der ersten englischen Lehrbücher vor, das die Analysis mit der auf dem Kontinent üblichen Strenge darstellte. Es prägte Generationen britischer Studierender. Die englische Mathematik hatte sich seit Isaac Newton stark auf Anwendungen und Rechentechnik konzentriert und den Anschluss an die Entwicklung in Frankreich und Deutschland teilweise verloren. Hardy wollte das ändern und setzte sich auch für eine Reform des Tripos ein.

1911 begann Hardys Zusammenarbeit mit John Edensor Littlewood. Sie dauerte 35 Jahre und brachte rund 100 gemeinsame Arbeiten hervor, etwa zur Verteilung der Primzahlen, zu Ungleichungen, zu Fourier-Reihen und zum Waringschen Problem. Nach einem Bericht des dänischen Mathematikers Harald Bohr hatten die beiden feste Regeln vereinbart, unter anderem, dass keiner verpflichtet war, die Briefe des anderen zu beantworten oder auch nur zu lesen.

Reine Mathematik und Pazifismus

Hardy verstand Mathematik als Kunst, die ihren Wert in Schönheit und Strenge findet, nicht im Nutzen. In seinem Essay A Mathematician’s Apology (1940) schrieb er, keine seiner Entdeckungen habe die Welt im Guten oder Schlechten verändert. Ausgerechnet er hatte jedoch 1908 in einem kurzen Brief an die Zeitschrift Science eine Grundregel der Populationsgenetik formuliert. Das unabhängig auch von Wilhelm Weinberg gefundene Hardy-Weinberg-Gesetz beschreibt, unter welchen Bedingungen die Häufigkeiten von Genvarianten in einer Population über Generationen gleich bleiben. Auch die Zahlentheorie, die Hardy für zweckfrei hielt, bildet seit Ende der 1970er-Jahre die Grundlage der Verschlüsselung im Internet.

Politisch war Hardy ein entschiedener Kriegsgegner, was ihn im Ersten Weltkrieg in Gegensatz zu den meisten Kollegen in Cambridge brachte. Er stand auf der Seite des Philosophen Bertrand Russell, der 1916 wegen seiner Antikriegsaktivitäten vom Trinity College entlassen wurde, und schrieb später eine eigene Schrift über diesen Fall. Persönlich galt Hardy als scheu und exzentrisch: Er mied Spiegel, ließ sich kaum fotografieren und war ein begeisterter Cricket-Anhänger.

Srinivasa Ramanujan: Kindheit und Jugend in Südindien

Srinivasa Ramanujan kam am 22. Dezember 1887 in Erode im heutigen Bundesstaat Tamil Nadu zur Welt und wuchs in Kumbakonam auf. Die Familie gehörte zur Kaste der Brahmanen, lebte aber in bescheidenen Verhältnissen; der Vater war Buchhalter bei einem Stoffhändler. In der Schule fiel Ramanujan früh durch seine Rechenfähigkeiten auf. Mit der alten Tradition der indischen Mathematik kam er kaum in Berührung; er lernte aus englischen Schulbüchern, etwa aus S. L. Loneys Lehrbuch der Trigonometrie.

Entscheidend wurde ein Buch: George Shoobridge Carrs A Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics, eine Sammlung von rund 5.000 Formeln und Sätzen, fast ohne Beweise. Ramanujan arbeitete das Werk als Jugendlicher durch und begann, eigene Ergebnisse in Notizbücher einzutragen, ebenfalls meist ohne Beweis. Diese Arbeitsweise behielt er sein Leben lang bei. Weil er sich fast nur mit Mathematik beschäftigte, scheiterte er in anderen Fächern und verlor sein Stipendium am Government College in Kumbakonam; auch ein zweiter Studienversuch in Madras blieb ohne Abschluss.

1909 wurde Ramanujan mit der damals zehnjährigen Janaki verheiratet; nach damaligem Brauch zog sie erst einige Jahre später zu ihm. Um seine Familie zu versorgen, suchte er Förderer und eine feste Stelle. 1911 erschien seine erste Arbeit, eine Untersuchung über Bernoulli-Zahlen, im Journal of the Indian Mathematical Society. Ab März 1912 arbeitete er als Angestellter in der Buchhaltung des Hafenamts von Madras (Madras Port Trust). Seine Vorgesetzten ließen ihm Zeit für die Mathematik und unterstützten ihn bei der Suche nach Kontakten in England.

Der Brief an Hardy (1913)

Ramanujan hatte sich bereits an die Cambridge-Mathematiker H. F. Baker und E. W. Hobson gewandt, die seine Unterlagen ohne Kommentar zurückschickten. Am 16. Januar 1913 schrieb er an Hardy. Der 25-Jährige stellte sich als Angestellter ohne Universitätsausbildung vor und legte neun Seiten mit rund 120 Formeln bei: unendliche Reihen, Kettenbrüche, bestimmte Integrale und Aussagen über Primzahlen. Beweise enthielt der Brief nicht.

Hardy prüfte die Formeln gemeinsam mit Littlewood. In seiner Antwort vom 8. Februar 1913 ordnete er sie ein: Manche waren bekannt oder leicht herzuleiten, andere neu und interessant, einige neu und bedeutend. Ein Teil der Behauptungen zur Verteilung der Primzahlen erwies sich dagegen als falsch. Ramanujan kannte die Arbeiten von Bernhard Riemann nicht und unterschätzte, welche Rolle die komplexen Nullstellen der Zetafunktion spielen. Über einige der Kettenbruchformeln schrieb Hardy später sinngemäß, sie müssten wahr sein, denn wären sie falsch, hätte niemand die Fantasie besessen, sie zu erfinden.

Hardy setzte sich sofort dafür ein, Ramanujan nach Cambridge zu holen. Der gläubige Brahmane zögerte jedoch, denn eine Seereise galt in seiner Kaste als verunreinigend. Erst nachdem seine Mutter zugestimmt hatte, die der Familienüberlieferung nach im Traum dazu ermutigt worden war, und nach dem Besuch des Cambridge-Mathematikers Eric Harold Neville in Madras willigte er ein. Die Universität Madras gewährte ihm ein Stipendium. Am 17. März 1914 bestieg Ramanujan das Schiff nach England, im April traf er in Cambridge ein.

Zusammenarbeit in Cambridge (1914–1919)

In Cambridge trafen zwei gegensätzliche Arbeitsweisen aufeinander. Ramanujan fand seine Formeln durch Intuition, durch Rechnen an vielen Beispielen und ein außergewöhnliches Gespür für Muster. Freunde berichteten, er habe manche Einsicht der Familiengöttin Namagiri zugeschrieben, die sie ihm im Traum eingegeben habe. Hardy dagegen bestand auf Beweisen. Er musste Ramanujan Grundlagen beibringen, die zum Standardwissen jedes Studenten gehörten, etwa die komplexe Funktionentheorie, ohne dessen Eigenständigkeit zu ersticken.

Die gemeinsamen Jahre fielen in den Ersten Weltkrieg. Littlewood diente in der Armee, viele Kollegen fehlten, und Lebensmittel wurden knapp. Für den strengen Vegetarier Ramanujan war die Versorgung schwierig, und das kalte, feuchte Klima setzte ihm zu. Trotzdem veröffentlichte er in England eine Reihe wichtiger Arbeiten, mehrere davon gemeinsam mit Hardy.

Die Anerkennung folgte schnell. Im März 1916 erhielt Ramanujan einen Bachelor-Abschluss „by research“ für seine Arbeit über hochzusammengesetzte Zahlen. Im Mai 1918 wurde er in die Royal Society gewählt, im Oktober 1918 als erster Inder zum Fellow des Trinity College.

Das mathematische Werk: Partitionen, π und Primzahlen

Partitionen und die Hardy-Ramanujan-Formel

Eine Partition einer natürlichen Zahl n ist eine Zerlegung in positive ganze Summanden, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt. Die Anzahl der Partitionen von n bezeichnet man mit p(n). Schon Leonhard Euler hatte die Partitionsfunktion untersucht, doch eine brauchbare Formel für ihre Größe fehlte. Die Werte wachsen sehr schnell: p(10) = 42, p(100) = 190.569.292 und p(200) ≈ 3,97 Billionen.

1918 veröffentlichten Hardy und Ramanujan eine Formel, die das Wachstum von p(n) beschreibt:

Das Zeichen ∼ bedeutet, dass der Quotient beider Seiten für wachsendes n gegen 1 strebt. Hardy und Ramanujan gingen noch weiter und entwickelten eine Reihe, deren erste Glieder p(n) nahezu exakt liefern. Zur Kontrolle hatte Percy MacMahon die Partitionszahlen bis 200 von Hand berechnet; schon wenige Glieder der Reihe ergaben nach dem Runden genau p(200) = 3.972.999.029.388. Die dabei verwendete Kreismethode bauten Hardy und Littlewood später zu einem Standardwerkzeug der additiven Zahlentheorie aus. Hans Rademacher fand 1937 eine verwandte Reihe, die p(n) exakt darstellt.

Ramanujan entdeckte außerdem überraschende Teilbarkeitsregeln: p(5k + 4) ist stets durch 5 teilbar, p(7k + 5) durch 7 und p(11k + 6) durch 11. Beispiele sind p(4) = 5, p(9) = 30 und p(14) = 135. Diese Ramanujan-Kongruenzen sind bis heute ein aktives Forschungsgebiet.

Ramanujans Reihen für π

1914 veröffentlichte Ramanujan 17 unendliche Reihen für 1/π. Die bekannteste lautet:

Schon der erste Summand (k = 0) liefert π ≈ 3,1415927, und jeder weitere Summand bringt etwa acht korrekte Dezimalstellen hinzu. Ramanujan begründete diese Formeln nicht vollständig; strenge Beweise lieferten erst in den 1980er-Jahren die Brüder Jonathan und Peter Borwein. 1985 berechnete Bill Gosper mit dieser Reihe über 17 Millionen Stellen von π. David und Gregory Chudnovsky entwickelten 1988 eine Reihe nach Ramanujans Muster, die pro Summand rund 14 Stellen liefert. Mit ihr wurden alle jüngeren Rekorde aufgestellt; Ende 2025 waren mehr als 300 Billionen Stellen von π bekannt.

Hardys Beitrag zur Riemannschen Vermutung

Die Riemannsche Zetafunktion ζ(s) verbindet die Primzahlen mit der komplexen Analysis. Riemann vermutete 1859, dass alle „nichttrivialen“ Nullstellen dieser Funktion den Realteil ½ haben, also auf der sogenannten kritischen Geraden liegen. Die Vermutung ist bis heute unbewiesen und gehört zu den sieben Millennium-Problemen. 1914 bewies Hardy, dass unendlich viele Nullstellen auf dieser Geraden liegen. Das war ein großer Fortschritt, aber kein Beweis der Vermutung, denn es blieb offen, ob es daneben Nullstellen abseits der Geraden gibt. 1921 zeigten Hardy und Littlewood, dass die Zahl der Nullstellen auf der Geraden mindestens proportional zur betrachteten Höhe wächst. Dass ein fester positiver Anteil aller Nullstellen dort liegt, bewies erst Atle Selberg 1942.

Hochzusammengesetzte Zahlen und die Anzahl der Primfaktoren

Ramanujans große Arbeit von 1915 behandelte hochzusammengesetzte Zahlen: Zahlen, die mehr Teiler haben als jede kleinere Zahl, etwa 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60 und 120. 1917 bewiesen Hardy und Ramanujan, dass eine „typische“ große Zahl n ungefähr ln(ln n) verschiedene Primfaktoren besitzt. Das sind erstaunlich wenige: Bei einer hundertstelligen Zahl rechnet man im Normalfall nur mit etwa fünf. Der Satz gilt als Ausgangspunkt der probabilistischen Zahlentheorie, die Paul Erdős und Mark Kac 1940 entscheidend weiterentwickelten.

Mock-Thetafunktionen und die Notizbücher

Im Januar 1920, wenige Monate vor seinem Tod, schrieb Ramanujan einen letzten Brief an Hardy. Darin beschrieb er neue Funktionen, die er „Mock-Thetafunktionen“ nannte. Sie ähneln den bekannten Thetafunktionen, verhalten sich aber in entscheidenden Punkten anders. Was sie eigentlich sind, klärte erst Sander Zwegers 2002 in seiner Doktorarbeit. Seitdem spielen sie eine wichtige Rolle in der Zahlentheorie und tauchen auch in der theoretischen Physik auf.

Ramanujans Notizbücher enthalten knapp 3.900 Ergebnisse. Bruce C. Berndt hat sie zwischen 1985 und 1998 in fünf Bänden herausgegeben und mit Beweisen versehen. Fast alle Formeln erwiesen sich als richtig, viele als neu. 1976 entdeckte George Andrews in der Wren Library des Trinity College einen Stapel loser Blätter aus Ramanujans letztem Lebensjahr, das sogenannte „verlorene Notizbuch“.

Die Taxicab-Zahl 1729

Die bekannteste Episode aus der Freundschaft der beiden stammt aus der Zeit von Ramanujans Krankheit. Hardy schilderte sie in seinem Nachruf:

„Ich erinnere mich, wie ich ihn einmal besuchte, als er krank in Putney lag. Ich war im Taxi Nummer 1729 gekommen und bemerkte, die Zahl erscheine mir ziemlich langweilig; hoffentlich sei sie kein schlechtes Omen. ‚Nein‘, antwortete er, ‚es ist eine sehr interessante Zahl; es ist die kleinste Zahl, die sich auf zwei verschiedene Arten als Summe zweier Kubikzahlen darstellen lässt.‘“

Ramanujans schnelle Antwort war weniger spontan, als die Geschichte vermuten lässt. Die Zahl steht bereits in seinem Notizbuch, und zwar im Zusammenhang mit „Beinahe-Lösungen“ der Gleichung x³ + y³ = z³, denn 9³ + 10³ = 12³ + 1. Diese Gleichung hat nach dem Großen Fermatschen Satz keine Lösung in positiven ganzen Zahlen; Ramanujan untersuchte Fälle, die nur um 1 danebenliegen. Die besondere Eigenschaft von 1729 kannte sogar schon 1657 der französische Mathematiker Bernard Frénicle de Bessy. In Erinnerung an die Anekdote heißt die kleinste Zahl, die sich auf n verschiedene Arten als Summe zweier positiver Kubikzahlen schreiben lässt, heute Taxicab-Zahl Ta(n). Es gilt Ta(2) = 1729 und Ta(3) = 87.539.319.

Krankheit und früher Tod Ramanujans

Ab 1917 war Ramanujan schwer krank. Er verbrachte Monate in Sanatorien, unter anderem in Matlock und in London. Die Ärzte vermuteten Tuberkulose. Der Arzt D. A. B. Young wertete 1994 die überlieferten Symptome neu aus und hielt eine Amöbeninfektion der Leber für wahrscheinlicher, eine Krankheit, die schon damals behandelbar war. Ramanujan litt in dieser Zeit auch unter Depressionen. Sein Biograf Robert Kanigel berichtet von einem Suizidversuch um die Jahreswende 1917/18 in einer Londoner U-Bahn-Station.

Im Frühjahr 1919 kehrte Ramanujan nach Indien zurück, wo er inzwischen große Anerkennung genoss. Seine Gesundheit verschlechterte sich weiter, doch er arbeitete bis zuletzt an neuen Formeln. Am 26. April 1920 starb er in Madras, im Alter von 32 Jahren.

Hardys späte Jahre

Hardy verließ Cambridge 1919, auch weil ihn die Kriegsjahre dort zermürbt hatten, und wurde Savilian Professor of Geometry in Oxford. Die Oxforder Zeit gilt als seine glücklichste und produktivste, vor allem durch die Arbeit mit Littlewood. 1931 kehrte er als Sadleirian Professor nach Cambridge zurück und blieb bis 1942 im Amt.

Die Entdeckung Ramanujans soll Hardy als seinen größten Beitrag zur Mathematik bezeichnet haben. Die Zusammenarbeit nannte er „den einzigen romantischen Vorfall“ seines Lebens, und 1940 widmete er Ramanujan das Buch Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work. Im selben Jahr erschien A Mathematician’s Apology, ein persönliches Bekenntnis zur reinen Mathematik und zugleich eine Klage über die schwindende eigene Schaffenskraft.

Nach einem Herzinfarkt 1939 ließen Hardys Kräfte stark nach. Im Frühsommer 1947 versuchte er, sich mit einer Überdosis Schlafmittel das Leben zu nehmen, und überlebte. Er starb am 1. Dezember 1947 in Cambridge. Im selben Jahr hatte ihm die Royal Society ihre höchste Auszeichnung, die Copley-Medaille, zuerkannt.

Zeitleiste: Hardy und Ramanujan

1. 1877 Geburt von Godfrey Harold Hardy in Cranleigh (7. Februar)
2. 1887 Geburt von Srinivasa Ramanujan in Erode (22. Dezember)
3. 1908 Hardy veröffentlicht A Course of Pure Mathematics und formuliert das Hardy-Weinberg-Gesetz
4. 1911 Beginn der 35-jährigen Zusammenarbeit von Hardy und Littlewood; Ramanujans erste Veröffentlichung in Indien
5. 1913 Ramanujans Brief an Hardy vom 16. Januar mit rund 120 Formeln
6. 1914 Ramanujan reist nach England; Hardy beweist, dass unendlich viele Nullstellen der Zetafunktion auf der kritischen Geraden liegen
7. 1918 Formel für die Partitionsfunktion; Ramanujan wird Mitglied der Royal Society und Fellow des Trinity College
8. 1920 Letzter Brief über Mock-Thetafunktionen; Ramanujan stirbt am 26. April in Madras
9. 1940 Hardy veröffentlicht A Mathematician’s Apology und seine Vorlesungen über Ramanujan
10. 1947 Hardy stirbt am 1. Dezember in Cambridge

Bedeutung heute

Die Partitionstheorie ist heute ein eigenes Forschungsgebiet zwischen Zahlentheorie, Kombinatorik und Physik. Für Ramanujans Kongruenzen fanden Freeman Dyson sowie später George Andrews und Frank Garvan kombinatorische Erklärungen; Ken Ono zeigte im Jahr 2000, dass es Teilbarkeitsregeln dieser Art für jede Primzahl ab 5 gibt. 2011 fanden Jan Bruinier und Ken Ono sogar eine endliche algebraische Formel für p(n). Mock-Thetafunktionen und verwandte Modulformen tauchen in der Stringtheorie bei der Berechnung der Entropie schwarzer Löcher auf. Reihen vom Ramanujan-Typ stecken in jedem Programm, das π auf Rekordgenauigkeit berechnet.

Hardys Erbe ist weniger sichtbar, aber ebenso breit. Die Kreismethode und die Vermutungen von Hardy und Littlewood über Primzahlpaare und Primzahlmuster gehören zum Grundwerkzeug der analytischen Zahlentheorie. Das Hardy-Weinberg-Gesetz lernen Studierende der Biologie in jeder Einführung in die Genetik, und Hardys Lehrbuch wird bis heute nachgedruckt.

In Indien ist Ramanujan eine Symbolfigur. Sein Geburtstag, der 22. Dezember, ist seit 2012 der Nationale Tag der Mathematik. Robert Kanigels Biografie The Man Who Knew Infinity (1991) und der gleichnamige Film von 2015 (deutscher Titel: Die Poesie des Unendlichen) haben die Geschichte der beiden weltweit bekannt gemacht.

Häufige Fragen

Wer waren Hardy und Ramanujan?

G. H. Hardy (1877–1947) war ein englischer Mathematiker in Cambridge und Oxford, Srinivasa Ramanujan (1887–1920) ein weitgehend autodidaktischer Mathematiker aus Südindien. Hardy holte Ramanujan 1914 nach Cambridge, wo beide bis 1919 eng zusammenarbeiteten.

Warum ist 1729 eine besondere Zahl?

1729 ist die kleinste Zahl, die sich auf zwei verschiedene Arten als Summe zweier positiver Kubikzahlen schreiben lässt: 1³ + 12³ und 9³ + 10³. Bekannt wurde sie durch Hardys Bericht über eine Taxifahrt zu Ramanujans Krankenbett.

Wie viele Formeln fand Ramanujan?

Seine Notizbücher und Aufzeichnungen enthalten knapp 3.900 Formeln und Identitäten. Die meisten notierte er ohne Beweis; fast alle haben sich später als richtig erwiesen.

Woran starb Ramanujan?

Zu Lebzeiten vermuteten die Ärzte Tuberkulose. Eine Auswertung der Krankengeschichte von 1994 spricht eher für eine Amöbeninfektion der Leber. Ramanujan starb am 26. April 1920 im Alter von 32 Jahren in Madras.

Quellen und weiterführende Literatur

• Robert Kanigel: The Man Who Knew Infinity. A Life of the Genius Ramanujan, Charles Scribner’s Sons, New York 1991.
• G. H. Hardy: A Mathematician’s Apology, Cambridge University Press, Cambridge 1940.
• G. H. Hardy: Ramanujan. Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, Cambridge University Press, Cambridge 1940.
• Bruce C. Berndt: Ramanujan’s Notebooks, Teile I–V, Springer, New York 1985–1998.
• MacTutor History of Mathematics: Srinivasa Ramanujan (englisch)
• MacTutor History of Mathematics: Godfrey Harold Hardy (englisch)