Paul Erdős

Paul Erdős (1913–1996) war ein ungarischer Mathematiker und gilt als einer der produktivsten Forscher aller Zeiten. Er veröffentlichte rund 1.500 Arbeiten, die meisten gemeinsam mit anderen, insgesamt mit etwa 500 Koautoren. Sein Gebiet waren Zahlentheorie, Kombinatorik (die Kunst des Abzählens und Anordnens) und Graphentheorie (Netze aus Punkten und Verbindungen). Zudem entwickelte er die probabilistische Methode: Man beweist, dass etwas existiert, indem man zeigt, dass es bei zufälliger Wahl mit positiver Wahrscheinlichkeit vorkommt.

Erdős lebte ohne eigene Wohnung und zog mit zwei Koffern von Gastgeber zu Gastgeber, um Mathematik zu treiben. Aus seinen Kontakten entstand die Erdős-Zahl, ein Spiel unter Mathematikern. Und er stellte sich vor, Gott führe ein Buch mit den schönsten Beweisen: Das BUCH.

Kindheit und Studium in Budapest

Paul Erdős kam am 26. März 1913 in Budapest zur Welt. Seine beiden älteren Schwestern waren wenige Tage zuvor an Scharlach gestorben, deshalb behütete ihn seine Mutter Anna, eine Mathematiklehrerin wie sein Vater Lajos, besonders streng. Der Junge lernte früh Rechnen und wurde als Wunderkind bekannt. Budapest brachte um diese Zeit auffallend viele Wissenschaftler hervor, darunter John von Neumann. Mit 18 Jahren fand er als Student einen eleganten Beweis des bertrandschen Postulats: Zwischen einer Zahl n und ihrem Doppelten 2n liegt immer mindestens eine Primzahl.

1934 promovierte er in Budapest. Als Jude hatte er in Ungarn kaum Aussichten auf eine Stelle, deshalb nahm er ein Stipendium in Manchester an und lernte in Cambridge G. H. Hardy kennen. 1938 ging er in die USA. Viele seiner Verwandten in Ungarn kamen im Holocaust ums Leben. Von da an blieb er kaum noch länger als einige Wochen an einem Ort.

Leben ohne festen Wohnsitz

Erdős besaß nach den Berichten seiner Freunde kaum mehr als zwei halb leere Koffer. Er klopfte bei Kolleginnen und Kollegen an, begrüßte sie mit den Worten „Mein Gehirn ist offen“, arbeitete einige Tage mit ihnen und reiste weiter. Er schlief wenig, trank viel Kaffee und soll an guten Tagen fast den ganzen Tag gerechnet haben. 1979 wettete er mit dem Mathematiker Ronald Graham, dass er 30 Tage ohne Aufputschmittel auskomme, und gewann. Danach soll er Graham vorgehalten haben, er habe die Mathematik um einen Monat zurückgeworfen. Preisgelder gab er meist weiter: Vom Wolf-Preis 1983/84 (50.000 US-Dollar) behielt er laut seinem Biografen Paul Hoffman nur einen kleinen Teil.

Unter Freunden pflegte er eine eigene Sprache. „Epsilon“ war ein Kind, „predigen“ hieß einen Vortrag halten, „Gift“ stand für Alkohol, „Sam“ für die USA und „Joe“ für die Sowjetunion. Jemand, der „gestorben“ war, hatte aufgehört, Mathematik zu treiben.

Die Erdős-Zahl: Wie weit bist du von Erdős entfernt?

Die Erdős-Zahl misst den Abstand zu Erdős in gemeinsamen Veröffentlichungen. Erdős selbst hat die Zahl 0. Wer mit ihm eine Arbeit geschrieben hat, hat die 1, wer mit einer dieser Personen schrieb, die 2, und so fort. Etwa 500 Menschen tragen die Erdős-Zahl 1.

Primzahlen und der Primzahlsatz

Besonders liebte Erdős die Primzahlen, also die Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Der Primzahlsatz sagt, wie dicht sie liegen: Bis zu einer Zahl x gibt es ungefähr $\frac{x}{\ln x}$ Primzahlen. Unterhalb von einer Million sind es zum Beispiel 78.498, die Formel liefert etwa 72.400. Der Satz war schon 1896 bewiesen, aber nur mit schwerer Analysis. 1949 gelang Erdős gemeinsam mit Atle Selberg ein elementarer Beweis ohne diese Hilfsmittel. Über die Anteile an diesem Beweis kam es zum Streit, weil Selberg seine Fassung zuerst veröffentlichte; er erhielt 1950 die Fields-Medaille.

Das BUCH der Beweise

Erdős sprach vom „BUCH“, in dem Gott (er nannte ihn scherzhaft „Obersten Faschisten“) für jeden mathematischen Satz den schönsten Beweis aufbewahre. Wenn ihn ein Beweis begeisterte, sagte er: „Der ist aus dem BUCH.“ Ein Beispiel ist der Beweis von Euklid, dass es unendlich viele Primzahlen gibt: Angenommen, es gäbe nur endlich viele, multipliziert man alle und addiert 1. Die neue Zahl lässt bei Division durch jede der Primzahlen den Rest 1, muss also einen anderen Primfaktor haben. Bei den ersten sechs Primzahlen ergibt sich 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 + 1 = 30.031 = 59 · 509, und beide Faktoren sind neue Primzahlen. Martin Aigner und Günter Ziegler stellten 1998 ein Buch mit solchen Beweisen zusammen, Proofs from THE BOOK, und widmeten es Erdős.

Die probabilistische Methode: Mit Zufall beweisen

Unter sechs Personen gibt es immer drei, die einander alle kennen, oder drei, die einander alle fremd sind. Wie viele Personen braucht man, damit es immer zehn gegenseitige Bekannte oder zehn gegenseitige Fremde gibt? Erdős zeigte 1947 mit einem Kunstgriff, dass 100 Personen dafür nicht genügen. Er verteilte die Beziehungen nicht gezielt, sondern zufällig wie bei einem Münzwurf.

Dieses Denken, Existenz über Durchschnitte zu beweisen, ist heute Standard in der Informatik und Kombinatorik. Mit seinem Landsmann Alfréd Rényi begründete Erdős 1959 außerdem die Theorie zufälliger Graphen, die man zum Beispiel für die Struktur von Netzwerken einsetzt.

Späte Jahre und Tod

Erdős arbeitete bis zuletzt. Er starb am 20. September 1996 in Warschau nach Herzinfarkten während einer Tagung. Als Grabinschrift soll er sich gewünscht haben: „Endlich bin ich nicht mehr dümmer geworden.“ Mit seinen rund 1.500 Arbeiten übertraf er sogar die Veröffentlichungszahl von Leonhard Euler.

Zeitleiste: Paul Erdős’ Leben

1. 1913 Geburt am 26. März in Budapest
2. 1932 Elementarer Beweis des bertrandschen Postulats (als Student)
3. 1934 Promotion in Budapest; Stipendium in Manchester
4. 1938 Übersiedlung in die USA (Princeton)
5. 1947 Probabilistische Methode in der Ramsey-Theorie
6. 1949 Elementarer Beweis des Primzahlsatzes mit Atle Selberg
7. 1959 Theorie zufälliger Graphen mit Alfréd Rényi
8. 1984 Wolf-Preis (Jahrgang 1983/84)
9. 1996 Tod am 20. September in Warschau

Bedeutung heute: Erdős lebt in Netzwerken und Rätseln weiter

Zufällige Graphen sind ein Ausgangsmodell, an dem man Netzwerke wie das Internet, soziale Medien oder die Ausbreitung von Krankheiten vergleicht. Die probabilistische Methode beweist Aussagen in der Informatik, etwa über Codes und Algorithmen. Und die Erdős-Zahl zeigt, wie eng die Gemeinschaft der Forschenden verflochten ist. Viele Probleme, für die Erdős Preisgelder von wenigen bis zu 10.000 US-Dollar aussetzte, werden bis heute bearbeitet. Mehr zum Umfeld bietet die Mathematik des 20. Jahrhunderts. Wer verstehen will, wie Primzahlen entstehen, beginnt bei Zahlen und ihren Eigenschaften; auf Christian Goldbach geht die berühmteste offene Primzahlvermutung zurück.

Häufige Fragen

Wann lebte Paul Erdős?

Paul Erdős wurde am 26. März 1913 in Budapest geboren und starb am 20. September 1996 in Warschau im Alter von 83 Jahren.

Was ist die Erdős-Zahl?

Ein Maß dafür, wie viele gemeinsame Veröffentlichungen eine Person von Erdős entfernt ist. Erdős hat die Zahl 0, seine Koautoren haben die 1, deren Koautoren die 2.

Was ist „Das BUCH“?

Erdős’ scherzhafte Vorstellung eines Buches, in dem Gott die schönsten Beweise aufbewahrt. Ein echtes Buch mit diesem Titel, Proofs from THE BOOK, sammelt Beweise, die Erdős’ Geschmack entsprechen.

Quellen und weiterführende Literatur

• Paul Hoffman: The Man Who Loved Only Numbers. The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth. Hyperion, New York 1998.
• Martin Aigner, Günter M. Ziegler: Proofs from THE BOOK. Springer, Berlin/Heidelberg 1998 (deutsch: Das BUCH der Beweise).
• Bruce Schechter: My Brain Is Open. The Mathematical Journeys of Paul Erdős. Simon & Schuster, New York 1998.
• MacTutor History of Mathematics: Paul Erdős (englisch)