Grigori Perelman

Grigori Jakowlewitsch Perelman (geboren 1966 in Leningrad, dem heutigen Sankt Petersburg) ist ein russischer Mathematiker. Er bewies in den Jahren 2002 und 2003 die Poincaré-Vermutung, eine Frage über die Form des dreidimensionalen Raumes, die Henri Poincaré 1904 gestellt hatte und die ein ganzes Jahrhundert unbeantwortet blieb. Seine Methode beruht auf dem von Richard Hamilton erfundenen Ricci-Fluss, einer Art Wärmeleitung für die Krümmung von Räumen.

Perelman veröffentlichte seinen Beweis nicht in einer Zeitschrift, sondern als drei Texte auf einem frei zugänglichen Internetserver. 2006 lehnte er die Fields-Medaille ab, 2010 den mit einer Million US-Dollar dotierten Millennium-Preis des Clay-Instituts. Seitdem lebt er zurückgezogen und äußert sich kaum öffentlich.

Kindheit und Ausbildung in Leningrad

Perelman wurde am 13. Juni 1966 in Leningrad geboren, damals Sowjetunion. Schon als Kind besuchte er einen Mathematikzirkel im Leningrader Pionierpalast, wo begabte Schülerinnen und Schüler gefördert wurden. Später ging er auf die Spezialschule Nr. 239, eine bekannte Mathematikschule der Stadt. 1982 gewann er bei der Internationalen Mathematik-Olympiade in Budapest eine Goldmedaille und erreichte alle 42 möglichen Punkte.

Er studierte an der Leningrader Universität und promovierte um 1990, anschließend arbeitete er am Steklow-Institut seiner Heimatstadt. In den frühen 1990er-Jahren war er zu Gast an amerikanischen Universitäten, darunter New York, Stony Brook und Berkeley. 1994 fand er einen kurzen Beweis der „Soul-Vermutung“ aus der Geometrie und sprach auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Zürich. Angebote von amerikanischen Spitzenuniversitäten lehnte er ab und kehrte 1995 nach Sankt Petersburg zurück. Danach veröffentlichte er jahrelang fast nichts.

Die Poincaré-Vermutung: Ein Gummiband auf der Kugel

Man legt ein Gummiband um einen Apfel. Auf der Oberfläche lässt es sich immer zu einem Punkt zusammenziehen. Spannt man es dagegen auf einem Donut einmal um das Loch herum, geht das nicht mehr: Das Loch ist im Weg. Mathematiker nennen eine Fläche, auf der sich jede Schlinge zusammenziehen lässt, einfach zusammenhängend. Für Flächen weiß man seit dem 19. Jahrhundert: Eine geschlossene Fläche mit dieser Eigenschaft ist im Wesentlichen eine Kugeloberfläche.

Poincaré fragte nun nach dem dreidimensionalen Gegenstück. Die gewöhnliche Kugeloberfläche ist zweidimensional. Die 3-Sphäre ist ihr Analogon eine Dimension höher: der „Rand“ einer vierdimensionalen Kugel, ein endlicher Raum ohne Grenze, den man sich schwer vorstellen kann.

Seltsamerweise waren die höheren Dimensionen leichter. Stephen Smale bewies die entsprechende Aussage 1961 für fünf und mehr Dimensionen, Michael Freedman 1982 für vier. Die dritte Dimension, die schwierigste, blieb offen. Das Clay Mathematics Institute nahm das Problem im Jahr 2000 in die Liste seiner sieben Millennium-Probleme auf.

Der Ricci-Fluss: Räume glätten wie Wärme

Ein heißer Metallstab gleicht seine Temperaturunterschiede mit der Zeit aus, bis überall dieselbe Temperatur herrscht. Richard Hamilton hatte 1982 die Idee, dasselbe mit der Krümmung eines Raumes zu tun: Man lässt die Messvorschrift für Abstände (die Metrik g) in der Zeit t so fließen, dass starke Krümmung abnimmt und sich ausgleicht.

Dabei steht Ric für die Ricci-Krümmung, eine Krümmungsgröße, die nach dem italienischen Mathematiker Gregorio Ricci-Curbastro benannt ist. Eine Kugel bleibt unter dem Fluss rund und schrumpft gleichmäßig. Hamilton zeigte schon 1982, dass ein geschlossener dreidimensionaler Raum mit überall positiver Ricci-Krümmung unter dem Fluss zu einer perfekt runden Form wird, im einfach zusammenhängenden Fall zu einer 3-Sphäre. Für beliebige Räume gab es ein Problem: Der Fluss kann Singularitäten bilden, etwa dünne „Hälse“, die sich abschnüren, wie bei einer Hantel, deren Griff immer dünner wird.

Perelman löste das mit drei Ideen. Erstens führte er eine neue Größe ein, eine Art Entropie, die sich entlang des Flusses nur in eine Richtung verändert und so verhindert, dass Raumteile unkontrolliert zusammenbrechen. Zweitens klassifizierte er, wie die Singularitäten aussehen können. Drittens schlug er eine „Chirurgie“ vor: Man schneidet die dünnen Hälse durch, verschließt die Enden mit Kappen und lässt den Fluss weiterlaufen. Für einen einfach zusammenhängenden Raum zeigte er, dass nach endlich vielen solchen Schnitten nur noch 3-Sphären übrig sind, die in endlicher Zeit verschwinden. Daraus folgt, dass der ursprüngliche Raum selbst eine 3-Sphäre war.

Das Verfahren liefert mehr als die Poincaré-Vermutung. William Thurston hatte 1982 vermutet, dass sich jeder dreidimensionale Raum in Teile zerlegen lässt, von denen jedes eine von acht „Standardgeometrien“ trägt. Diese Geometrisierungsvermutung enthält die Poincaré-Vermutung als Spezialfall. Perelmans Arbeiten enthielten auch die Skizze ihres Beweises; die Einzelheiten dieses Teils haben später andere Mathematiker ausgeführt.

Der Beweis im Internet

Perelman stellte seine Ergebnisse auf den Server arXiv, auf dem Forschende Entwürfe veröffentlichen: am 11. November 2002 die Arbeit über die Entropieformel für den Ricci-Fluss, am 10. März 2003 die über den Ricci-Fluss mit Chirurgie und am 17. Juli 2003 eine kurze dritte Arbeit über das Verschwinden in endlicher Zeit. Zusammen umfassen sie rund 70 Seiten. Im Frühjahr 2003 hielt er Vorträge an amerikanischen Universitäten.

Die Texte sind knapp und lassen viele Schritte aus. In den folgenden Jahren schrieben mehrere Gruppen ausführliche Darstellungen: Bruce Kleiner und John Lott, John Morgan und Gang Tian sowie Huai-Dong Cao und Xi-Ping Zhu. Tobias Colding und William Minicozzi lieferten einen eigenen Beweis für das Verschwinden in endlicher Zeit. Alle bestätigten die Richtigkeit, wobei einzelne kleine Lücken geschlossen werden mussten. Der Ricci-Krümmung hatte sich zuvor auch Shing-Tung Yau gewidmet, dessen Beweis der Calabi-Vermutung Ricci-flache Räume lieferte.

Fields-Medaille und Millennium-Preis

Im August 2006 sollte Perelman auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Madrid die Fields-Medaille erhalten, offiziell für „seine Beiträge zur Geometrie und seine revolutionären Einsichten in die analytische und geometrische Struktur des Ricci-Flusses“. Er nahm sie nicht an. Schon 1996 hatte er einen Preis der Europäischen Mathematischen Gesellschaft abgelehnt. Ende 2005 verließ er das Steklow-Institut.

Am 18. März 2010 gab das Clay Mathematics Institute bekannt, dass Perelman den Millennium-Preis für die Lösung der Poincaré-Vermutung erhält. Im Juli 2010 wurde berichtet, dass er auch ihn ablehnt. Nach Medienberichten begründete er das unter anderem mit dem Hinweis, Richard Hamiltons Beitrag zum Beweis sei mindestens so groß wie sein eigener. Perelman selbst gibt nur selten Interviews, über seine Beweggründe ist daher wenig gesichert bekannt.

Zeitleiste: Grigori Perelmans Leben

1. 1966 Geburt am 13. Juni in Leningrad
2. 1982 Goldmedaille mit voller Punktzahl bei der Mathematik-Olympiade
3. 1994 Beweis der Soul-Vermutung; Vortrag auf dem Mathematikerkongress in Zürich
4. 1995 Rückkehr ans Steklow-Institut in Sankt Petersburg
5. 2002 Erste arXiv-Arbeit zum Ricci-Fluss (11. November)
6. 2003 Zwei weitere Arbeiten (10. März und 17. Juli)
7. 2006 Fields-Medaille abgelehnt
8. 2010 Millennium-Preis zuerkannt (18. März) und abgelehnt

Bedeutung heute

Mit Perelmans Beweis ist die Form dreidimensionaler Räume im Wesentlichen verstanden: Jeder lässt sich in Teile zerlegen, die zu den acht Standardgeometrien gehören. Das ist für die Topologie ein Meilenstein wie die Klassifikation der Flächen im 19. Jahrhundert. Die Technik des Ricci-Flusses wird heute in vielen Bereichen der Geometrie eingesetzt, und diskrete Varianten werden in der Computergrafik erprobt.

Perelmans Beweis arbeitet mit der Krümmung von Räumen, einer Idee, die Carl Friedrich Gauß für Flächen entwickelte und Bernhard Riemann auf höhere Dimensionen übertrug. Er zeigt, wie ein altes Problem durch Ideen aus der Analysis, der Physik und der Geometrie fällt. Mehr dazu im Artikel über die Mathematik im 21. Jahrhundert. Ein weiteres berühmtes Problem löste Andrew Wiles mit dem Beweis des Fermatschen Satzes.

Quellen und weiterführende Literatur

• Grigori Perelman: The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications. arXiv:math/0211159, 2002.
• Bruce Kleiner, John Lott: Notes on Perelman’s papers. In: Geometry & Topology 12 (2008).
• Donal O’Shea: Poincarés Vermutung. Die Geschichte eines mathematischen Abenteuers. S. Fischer, Frankfurt am Main 2007.
• Masha Gessen: Perfect Rigor. A Genius and the Mathematical Breakthrough of the Century. Houghton Mifflin Harcourt, Boston 2009.
• Clay Mathematics Institute: The Poincaré Conjecture (englisch)