Henri Poincaré

Henri Poincaré (1854–1912) war ein französischer Mathematiker, Physiker und Philosoph und gilt als einer der letzten Forscher, die fast alle Gebiete der Mathematik ihrer Zeit überblickten. Er wurde in Nancy geboren und lehrte ab 1881 in Paris. Bekannt ist er vor allem für drei Dinge: Er fand beim Dreikörperproblem, der Frage nach der Bewegung dreier Himmelskörper, erstmals Anzeichen von Chaos. Er legte mit seiner Arbeit Analysis situs den Grundstein der algebraischen Topologie. Und er stellte 1904 eine Frage über die Form dreidimensionaler Räume, die als Poincaré-Vermutung berühmt wurde und erst 2002/03 von Grigori Perelman beantwortet wurde.

Daneben beeinflusste er die Physik der Relativität und schrieb Bücher für ein breites Publikum, in denen er erklärte, wie Entdeckungen in der Mathematik entstehen. Seine Karriere fiel in die Blütezeit der Mathematik des 19. Jahrhunderts und wirkte weit ins 20. Jahrhundert hinein.

Herkunft und Ausbildung

Jules Henri Poincaré kam am 29. April 1854 in Nancy in Lothringen zur Welt. Sein Vater Léon war Professor für Medizin, sein Cousin Raymond Poincaré wurde später französischer Staatspräsident. Als Kind erkrankte Henri schwer an Diphtherie und war zeitweise gelähmt. Er war wenig geschickt, im Zeichnen und Turnen schlecht und kurzsichtig, glänzte aber in fast allen Schulfächern. Als deutsche Truppen im Krieg 1870/71 Nancy besetzten, war er Schüler am dortigen Lycée.

1873 trat er in die École Polytechnique in Paris ein, die damals führende Hochschule des Landes, und schloss 1875 als Zweitbester seines Jahrgangs ab. Danach studierte er an der École des Mines und arbeitete ab 1879 als Bergbauingenieur in Vesoul. Dort untersuchte er ein Grubenunglück bei Magny, bei dem über 20 Bergleute starben. Gleichzeitig promovierte er 1879 mit einer Arbeit über Differentialgleichungen, also Gleichungen, die beschreiben, wie sich eine Größe ändert. Noch im selben Jahr wurde er Dozent in Caen und 1881 in Paris.

Professor in Paris: ein Leben im Rhythmus

An der Sorbonne hielt Poincaré nacheinander mehrere Lehrstühle, ab 1886 für mathematische Physik und Wahrscheinlichkeitsrechnung, ab 1896 für Himmelsmechanik. 1881 heiratete er Louise Poulain d’Andecy; das Paar bekam drei Töchter und einen Sohn. 1887 wählte ihn die Académie des sciences, 1906 wurde er ihr Präsident, und 1908 wählte ihn die Académie française, die über die französische Sprache wacht. Seine Bücher machten ihn auch außerhalb der Fachwelt bekannt.

Seine Arbeitsweise war ungewöhnlich diszipliniert. Er forschte täglich nur etwa vier Stunden, von 10 bis 12 Uhr und von 17 bis 19 Uhr, und hielt sich abends bewusst von schwierigen Problemen fern, um besser zu schlafen. Er plante Aufsätze nicht im Voraus, sondern ließ Ideen reifen, während er an etwas anderes dachte. Aus dieser Erfahrung machte er eine Theorie der Entdeckung: Erst arbeitet man bewusst und angestrengt, dann ruht das Problem, dann kommt der Einfall wie von selbst. Er war überzeugt, dass die Pause dabei eine entscheidende Rolle spielt.

Das Dreikörperproblem

Zwei Himmelskörper, die sich gegenseitig anziehen, etwa Sonne und Erde, lassen sich exakt berechnen. Das hatte Isaac Newton gezeigt: Die Körper laufen auf Ellipsen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt. Kommt ein dritter Körper dazu, wird es unlösbar. Für Sonne, Erde und Mond gibt es keine allgemeine Formel. Schon die Aufgabe ist größer, als sie klingt: Im Raum braucht man für jeden der drei Körper drei Orts- und drei Geschwindigkeitswerte, zusammen 18 Zahlen, die sich laufend gegenseitig beeinflussen. Berühmte Mathematiker wie Euler, Lagrange und Laplace hatten sich daran die Zähne ausgebissen.

Die große Frage dahinter: Ist unser Sonnensystem stabil? Bleiben die Planeten für immer auf ihren Bahnen, oder könnte einer irgendwann hinausgeschleudert werden? Zum 60. Geburtstag des schwedischen Königs Oskar II. am 21. Januar 1889 schrieb der Mathematiker Gösta Mittag-Leffler dazu einen Preis aus: eine Goldmedaille und 2.500 Kronen. Zur Jury gehörten unter anderem Karl Weierstraß und Charles Hermite. Poincaré reichte 1888 eine umfangreiche Arbeit ein. Er untersuchte den einfachsten Fall: Zwei große Körper umkreisen sich, und ein dritter ist so leicht wie ein Staubkorn und stört die beiden anderen nicht. Das ist das „eingeschränkte“ Dreikörperproblem.

Poincaré gewann den Preis. Die Jury betonte, er habe das Problem zwar nicht vollständig gelöst, aber eine neue Ära der Himmelsmechanik eröffnet. In seiner Arbeit steckten bereits viele neue Ideen. Doch beim Redigieren für die Zeitschrift Acta Mathematica stellte der Redaktionsassistent Lars Edvard Phragmén Fragen zu einzelnen Stellen. Poincaré prüfte nach und fand 1889 einen schweren Fehler.

Der Fehler war peinlich, denn die gedruckte Arbeit war schon verschickt. Mittag-Leffler holte fast alle Exemplare zurück. Poincaré übernahm die Kosten für den Neudruck, rund 3.600 Kronen und damit mehr als das Preisgeld. Die berichtigte Fassung erschien Ende 1890. Sie ist umfangreicher und viel tiefer als die erste, denn sie beschreibt zum ersten Mal Bahnen von großer Verwicklung. In seinem Hauptwerk Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste (1892 bis 1899) schrieb er über dieses Gewirr:

„Man wird von der Verwicklung dieser Figur überrascht sein, die ich nicht einmal zu zeichnen versuche.“

Die erste Spur des Chaos

Poincaré hatte damit etwas entdeckt, das heute Chaos heißt: Systeme, die genau nach festen Regeln ablaufen und trotzdem langfristig unvorhersagbar sind, weil winzige Anfangsunterschiede sich enorm aufschaukeln. Das Wort selbst benutzte er nicht. Er beschrieb den Gedanken 1908 allgemeiner:

„Eine sehr kleine Ursache, die uns entgeht, bewirkt einen beträchtlichen Effekt, den wir nicht übersehen können, und dann sagen wir, dieser Effekt sei vom Zufall abhängig.“

Das widerlegte das Bild von Laplace. Pierre-Simon Laplace hatte behauptet, ein Wesen, das alle Orte und Geschwindigkeiten kennt, könne die ganze Zukunft berechnen. Poincaré zeigte: Selbst wenn die Gesetze bekannt und eindeutig sind, hilft das nicht, falls man den Anfangszustand nur ungefähr kennt. Seine Gedanken wurden lange kaum beachtet. Erst als Computer es erlaubten, solche Systeme tausendfach durchzurechnen, bestätigte der Meteorologe Edward Lorenz 1963 das Phänomen bei einem einfachen Wettermodell. Der Name „Schmetterlingseffekt“ geht auf einen Vortragstitel von Lorenz aus dem Jahr 1972 zurück.

Auch sonst brachte die Arbeit von 1890 Bleibendes. Poincaré bewies, dass in einem begrenzten, energieerhaltenden System fast jeder Zustand irgendwann wieder fast genauso auftritt (Wiederkehrsatz). Außerdem schuf er neue Werkzeuge, um die Bahnen in Zeichnungen statt in Formeln zu untersuchen, die Grundlage der heutigen Theorie dynamischer Systeme.

Topologie: die Geometrie des Dehnbaren

Die Topologie untersucht Eigenschaften, die sich beim Dehnen, Stauchen und Verbiegen nicht ändern. Ein Fußball und eine Banane gehören in dieser Sicht zusammen, denn man kann den einen ohne Reißen in den anderen verformen. Ein Donut und eine Teetasse mit Henkel gehören ebenfalls zusammen, denn beide haben genau ein Loch. Von Fußball und Banane unterscheiden sie sich grundlegend, denn die haben keins. Erste Ideen dazu hatte Leonhard Euler mit seiner Lösung des Königsberger Brückenproblems und dem Polyedersatz geliefert, und Bernhard Riemann hatte sich mit der Struktur von Flächen beschäftigt.

Poincaré machte daraus ein eigenes Fach. In seiner Abhandlung Analysis situs (1895) und fünf Ergänzungen (bis 1904) entwickelte er Werkzeuge, um Räume mit Zahlen und Gruppen zu unterscheiden. Das wichtigste ist die Fundamentalgruppe. Man betrachtet geschlossene Schleifen in einem Raum und fragt, welche sich auf einen Punkt zusammenziehen lassen. Auf einer Kugeloberfläche gelingt das immer, jede Schleife kann man wie ein Gummiband über die Kugel zusammenziehen. Auf der Oberfläche eines Donuts nicht: Eine Schleife, die einmal um das Loch läuft, bleibt hängen. So lassen sich zwei Flächen unterscheiden, ohne sie je zu vergleichen.

Die Poincaré-Vermutung

Für zweidimensionale Flächen war die Lage klar: Eine Fläche ohne Rand, auf der sich jede Schleife zusammenziehen lässt, ist eine Kugeloberfläche. Aber wie sieht es mit dreidimensionalen Räumen aus, etwa dem Raum, in dem wir leben könnten? Poincaré hatte zuerst geglaubt, es genüge, bestimmte Zahlen zu vergleichen, die Homologie. Dann konstruierte er selbst ein Gegenbeispiel, einen Raum, der in diesen Zahlen einer Kugel gleicht und doch keine ist. Er berichtigte sich also, und aus der Berichtigung wuchs die berühmte Frage. 1904 schrieb er sinngemäß: Wenn jede Schleife in einem geschlossenen dreidimensionalen Raum (endlich groß und ohne Rand) auf einen Punkt zusammenziehbar ist, ist er dann eine dreidimensionale Kugel? Er fügte hinzu, diese Frage würde „zu weit führen“.

Die Frage beschäftigte das ganze 20. Jahrhundert. Stephen Smale bewies sie 1961 für fünf und mehr Dimensionen, Michael Freedman 1982 für vier. Der dreidimensionale Fall, den Poincaré selbst gestellt hatte, blieb am schwersten. In den 1980er-Jahren entwickelten William Thurston und Richard Hamilton neue Ansätze, und 2002 und 2003 veröffentlichte der Russe Grigori Perelman auf dem Internet-Server arXiv drei Arbeiten, die sie bewiesen. Es dauerte Jahre, bis Fachleute sie geprüft hatten. 2006 wurde ihm die Fields-Medaille zuerkannt, und 2010 das Preisgeld des Clay-Instituts von einer Million Dollar. Perelman lehnte beides ab. Die Poincaré-Vermutung ist bis heute das einzige gelöste der sieben Millennium-Probleme; Einzelheiten stehen in der Mathematik im 21. Jahrhundert.

Weitere Leistungen: Funktionen und nichteuklidische Geometrie

Schon als junger Professor machte Poincaré eine zweite große Entdeckung. In den Jahren um 1880 untersuchte er Funktionen mit besonders vielen Symmetrien, die er nach Lazarus Fuchs Fuchssche Funktionen nannte, heute automorphe Funktionen. Dabei entdeckte er einen engen Bezug zur nichteuklidischen Geometrie. 1882 beschrieb er die hyperbolische Geometrie in einem Modell innerhalb einer Kreisscheibe. Er lieferte sich damit einen Wettlauf mit Felix Klein, der auf demselben Feld arbeitete. Außerdem schuf er die qualitative Theorie der Differentialgleichungen: Statt eine Gleichung exakt zu lösen, untersucht man in Zeichnungen, wie sich ihre Lösungen im Ganzen verhalten.

Poincaré und die Relativität

Poincaré beschäftigte sich früh mit den Grundfragen von Raum und Zeit. 1898 schrieb er, dass Gleichzeitigkeit keine Naturtatsache ist, sondern eine Festlegung, die man mit Lichtsignalen treffen muss. Er formulierte und benannte 1904 das Relativitätsprinzip, nach dem die Naturgesetze für alle gleichförmig bewegten Beobachter gleich lauten. Im Juni 1905, kurz vor Albert Einsteins berühmter Arbeit, legte er der Pariser Akademie eine Note vor, und 1906 erschien eine ausführliche Fassung: Darin zeigte er, dass die von Hendrik Lorentz aufgestellten Formeln eine Gruppe bilden und die Gleichungen der Elektrodynamik unverändert lassen. Er nannte sie „Lorentz-Transformationen“.

Philosoph, Autor und Gutachter

Poincaré wollte, dass Wissenschaft verstanden wird. In seinen populären Büchern Wissenschaft und Hypothese (1902, deutsch 1904), Der Wert der Wissenschaft (1905) und Wissenschaft und Methode (1908) erklärte er, wie Forschende arbeiten und was Wissenschaft kann. Seine Grundidee, der Konventionalismus, besagt: Ob die Geometrie des Raumes euklidisch oder nichteuklidisch ist, lässt sich nicht aus der Natur allein ablesen, denn wir wählen die Geometrie, die unsere Beschreibung am einfachsten macht.

„Mit der Logik beweist man, mit der Intuition erfindet man.“

Auch außerhalb der Wissenschaft wurde sein Rat gefragt. 1904 prüften Poincaré und die Mathematiker Gaston Darboux und Paul Appell im Auftrag des Kassationsgerichts die Beweisführung im Prozess gegen den Hauptmann Alfred Dreyfus. Die Anklage stützte sich auf ein Gutachten von Alphonse Bertillon, das mit Wahrscheinlichkeitsrechnungen „bewies“, dass ein belastender Brief von Dreyfus stamme. Poincaré und seine Kollegen wiesen nach, dass diese Rechnungen auf Denkfehlern beruhten. Das Urteil gegen Dreyfus wurde 1906 aufgehoben.

Zeitleiste

1. 1854 Geburt am 29. April in Nancy.
2. 1873 Eintritt in die École Polytechnique in Paris.
3. 1879 Promotion über Differentialgleichungen; Dozent in Caen.
4. 1881 Wechsel an die Universität Paris, Heirat mit Louise Poulain d’Andecy.
5. 1887 Wahl in die Académie des sciences.
6. 1889 Preis des schwedischen Königs für die Arbeit zum Dreikörperproblem; Entdeckung des Fehlers.
7. 1895 Analysis situs, die Gründungsschrift der algebraischen Topologie.
8. 1904 Die Poincaré-Vermutung wird als Frage gestellt; Gutachten im Dreyfus-Prozess.
9. 1905 Note über die Dynamik des Elektrons; Wegbereiter der speziellen Relativitätstheorie.
10. 1908 Aufnahme in die Académie française; Wissenschaft und Methode.
11. 1912 Tod am 17. Juli in Paris.
12. 2002/03 Perelman beweist die Poincaré-Vermutung.

Bedeutung und Nachwirkung heute

Poincarés Ideen begegnen uns an vielen Stellen. Chaos steckt im Wetter, in Populationsmodellen, in Herzrhythmen und in den Bahnen von Asteroiden, die wir deshalb nur für begrenzte Zeit vorhersagen können. Auf der anderen Seite stehen Sonderlösungen des Dreikörperproblems, die Euler und Lagrange gefunden hatten und die Raumfahrtingenieure nutzen: Es gibt fünf Punkte, an denen ein kleiner Körper zwischen zwei großen mitläuft. Das Weltraumteleskop James Webb umkreist einen davon, den Punkt L2 in rund 1,5 Millionen Kilometern Entfernung hinter der Erde. Bahnen für Raumsonden berechnet man heute unter anderem mit Methoden, die auf Poincarés Arbeiten zurückgehen.

Die Topologie ist heute eine der Säulen der Mathematik und taucht sogar in der Datenanalyse und in der Physik auf. Der Beweis der Poincaré-Vermutung durch Perelman zählt zu den größten Erfolgen des 21. Jahrhunderts. Und Poincarés Haltung, Fehler offen zuzugeben und aus ihnen zu lernen, ist ein Vorbild: Gerade der berichtigte Preisaufsatz brachte eine seiner wichtigsten Entdeckungen. In Paris trägt seit 1928 ein Forschungsinstitut seinen Namen, das Institut Henri Poincaré.

Häufige Fragen

Wann und wo lebte Henri Poincaré?

Er wurde am 29. April 1854 in Nancy geboren und starb am 17. Juli 1912 in Paris. Nach der Ausbildung als Bergbauingenieur lehrte er ab 1881 in Paris.

Was ist das Dreikörperproblem?

Es fragt, wie sich drei Körper bewegen, die sich gegenseitig anziehen, etwa Sonne, Erde und Mond. Für zwei Körper gibt es eine exakte Lösung, für drei im Allgemeinen nicht. Poincaré zeigte 1889/90, dass die Bahnen so verwickelt sein können, dass winzige Unterschiede am Anfang zu völlig anderen Ergebnissen führen.

Was besagt die Poincaré-Vermutung?

Wenn sich in einem geschlossenen dreidimensionalen Raum jede Schleife auf einen Punkt zusammenziehen lässt, dann ist dieser Raum eine dreidimensionale Kugel. Poincaré stellte die Frage 1904, Grigori Perelman bewies sie 2002/03. Gemeint sind Räume ohne Rand und von endlicher Größe.

Hat Poincaré die Relativitätstheorie erfunden?

Nein, aber er lieferte wichtige Bausteine. Er benannte die Lorentz-Transformationen und formulierte 1904 das Relativitätsprinzip. Die Theorie in ihrer heutigen Form, ohne Äther, stammt von Albert Einstein (1905).

Quellen und weiterführende Literatur

• June Barrow-Green: Poincaré and the Three Body Problem, American Mathematical Society, Providence 1997.
• Jeremy Gray: Henri Poincaré. A Scientific Biography, Princeton University Press, Princeton 2013.
• Ferdinand Verhulst: Henri Poincaré. Impatient Genius, Springer, New York 2012.
• Donal O’Shea: The Poincaré Conjecture. In Search of the Shape of the Universe, Walker & Company, New York 2007.
• Henri Poincaré: Wissenschaft und Hypothese, Teubner, Leipzig 1904.
• MacTutor History of Mathematics: Henri Poincaré (englisch)