André Weil

André Weil (1906–1998) war ein französischer Mathematiker, der wie kaum ein anderer Zahlentheorie und algebraische Geometrie miteinander verband. Er bewies 1940, zum Teil in einer Gefängniszelle in Rouen, die Riemannsche Vermutung für Kurven über endlichen Körpern und formulierte 1949 die Weil-Vermutungen, die eine ganze Generation von Mathematikern beschäftigten. Ihr vollständiger Beweis gelang erst 1974.

Weil war zudem einer der Gründer der Gruppe Nicolas Bourbaki, die unter einem erfundenen Namen die Mathematik in strenger, einheitlicher Form neu darstellte. Er sprach viele Sprachen, las Sanskrit, verbrachte prägende Jahre in Indien und wirkte nach seiner Emigration in Brasilien und den USA, zuletzt am Institute for Advanced Study in Princeton. Seine jüngere Schwester war die Philosophin Simone Weil.

Herkunft, Sprachen und Ausbildung in Paris

André Weil wurde am 6. Mai 1906 in Paris geboren. Sein Vater Bernard Weil war Arzt, die Familie jüdischer Herkunft und wohlhabend genug, um die außergewöhnlichen Begabungen beider Kinder zu fördern. Die drei Jahre jüngere Schwester Simone (1909–1943) wurde später als Philosophin und Mystikerin bekannt; die Geschwister standen sich ihr Leben lang nahe.

Nach eigener Erinnerung war André mit zehn Jahren der Mathematik leidenschaftlich verfallen. Ebenso früh zeigte sich seine Liebe zu Sprachen: Er lernte Griechisch und Latein und brachte sich Sanskrit bei, um indische Dichtung im Original zu lesen. Mit 16 Jahren hatte er die Bhagavad Gita auf Sanskrit gelesen. Der Text begleitete ihn sein Leben lang.

Ebenfalls mit 16 trat Weil 1922 in die École normale supérieure in Paris ein, die er 1925 als Jahrgangsbester abschloss. Danach studierte er in Rom bei Vito Volterra und 1927 in Göttingen, wo er unter anderem Emmy Noether und Richard Courant kennenlernte. 1928 promovierte er mit 22 Jahren in Paris bei Jacques Hadamard über die Arithmetik algebraischer Kurven.

Der Satz von Mordell-Weil

Die Doktorarbeit knüpfte an ein Thema an, das bis auf Diophant von Alexandria zurückgeht: Welche rationalen Lösungen hat eine Polynomgleichung? Der Brite Louis Mordell hatte 1922 gezeigt, dass sich alle rationalen Punkte einer elliptischen Kurve (etwa der Lösungen von y² = x³ + ax + b) aus endlich vielen Punkten durch eine geometrische „Addition“ erzeugen lassen. Weil verallgemeinerte diesen Satz auf eine viel größere Klasse von Objekten, die später abelsche Varietäten genannt wurden, und auf beliebige Zahlkörper. Der Satz von Mordell-Weil ist bis heute ein Grundpfeiler der Zahlentheorie.

Aligarh, Straßburg und die Gründung von Bourbaki

Nach dem Militärdienst nahm Weil 1930 eine Professur an der Aligarh Muslim University in Nordindien an, die er bis 1932 innehatte. Indien kannte er bis dahin nur aus der Literatur; der Aufenthalt vertiefte seine Beschäftigung mit Sanskrit-Texten und mit den Ideen Gandhis. Zurück in Frankreich lehrte er kurz in Marseille und ab 1933 an der Universität Straßburg.

In Straßburg unterrichtete auch sein Freund Henri Cartan. Beide klagten darüber, dass es kein zeitgemäßes Lehrbuch der Analysis gab; das Standardwerk von Édouard Goursat stammte im Kern aus dem 19. Jahrhundert. Weil schlug vor, gemeinsam mit Freunden ein neues zu schreiben. Am 10. Dezember 1934 trafen sich in einem Pariser Café im Quartier Latin sechs junge Mathematiker: Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Delsarte, Jean Dieudonné, René de Possel und André Weil. Im Juli 1935 hielt die Gruppe in Besse-en-Chandesse in der Auvergne ihren ersten Arbeitskongress ab.

Aus dem Lehrbuchprojekt wurde ein viel größeres Vorhaben: die Éléments de mathématique, eine Darstellung der gesamten Mathematik auf Grundlage der Mengenlehre, geordnet nach „Strukturen“ wie Gruppen, Ordnungen und topologischen Räumen. Der erste Band erschien 1939. Als Autor nannte sich die Gruppe Nicolas Bourbaki, nach einem Studentenulk an der École normale, bei dem ein als Professor verkleideter Student einen frei erfundenen „Satz von Bourbaki“ vorgetragen hatte; der Name selbst gehörte einem französischen General des 19. Jahrhunderts. Einen offiziellen Leiter hatte Bourbaki nicht, Weil galt in der Gründungszeit aber als Erster unter Gleichen.

Finnland, Militärgefängnis und Emigration

Im Sommer 1939 reiste Weil mit seiner Frau Eveline nach Finnland. Als im September der Krieg ausbrach, kehrte er nicht nach Frankreich zurück, obwohl er als Reserveoffizier zum Dienst verpflichtet war. Seine Haltung begründete er später mit dem indischen Begriff des Dharma aus der Bhagavad Gita: Seine Lebensaufgabe sei die Mathematik, nicht der Kriegsdienst.

Ende November 1939, zu Beginn des sowjetisch-finnischen Winterkriegs, nahm ihn die finnische Polizei in Helsinki unter Spionageverdacht fest; bei ihm fanden sich unter anderem Briefe in russischer Sprache. Im Dezember wurde er nach Schweden abgeschoben und gelangte über England zurück nach Frankreich, wo man ihn Anfang 1940 wegen Nichterscheinens zum Militärdienst festnahm. Von Februar bis Mai 1940 saß er im Militärgefängnis Bonne-Nouvelle in Rouen.

Die Haft wurde zur produktivsten Zeit seines Lebens. Aus dem Gefängnis schickte er eine kurze Note an die Pariser Akademie der Wissenschaften, in der er den Beweis der Riemannschen Vermutung für Kurven über endlichen Körpern skizzierte. Mit Humor schrieb er:

„Meine mathematische Arbeit geht über meine kühnsten Hoffnungen hinaus voran, und ich bin sogar ein wenig besorgt: Wenn ich nur im Gefängnis so gut arbeite, muss ich dann jedes Jahr zwei oder drei Monate Haft einplanen?“

In einem langen Brief an seine Schwester Simone erläuterte er im März 1940 die Idee, die ihn leitete: eine tiefe Analogie zwischen drei Welten: den Zahlkörpern der Zahlentheorie, den Funktionenkörpern über endlichen Körpern und den Riemannschen Flächen der Analysis. Weil verglich sie mit einer dreisprachigen Inschrift, bei der man Lücken in einem Text mithilfe der anderen beiden entziffern kann.

Am 3. Mai 1940 verurteilte ihn ein Militärgericht zu fünf Jahren Haft. Weil beantragte, stattdessen einer kämpfenden Einheit zugeteilt zu werden, und kam zu einem Regiment in Cherbourg. Nach der Niederlage Frankreichs gelangte er über England in den unbesetzten Süden des Landes. Anfang 1941 gelang ihm mit seiner Frau die Ausreise in die USA.

Punkte zählen: die Riemannsche Vermutung für Kurven

Weils berühmtestes Ergebnis lässt sich mit Schulmitteln andeuten. Rechnet man „modulo“ einer Primzahl p, bleiben nur die Reste 0, 1, …, p − 1 übrig; sie bilden einen endlichen Körper, in dem man addieren, multiplizieren und dividieren kann. Die Idee, in solchen Zahlbereichen zu rechnen, geht auf Évariste Galois zurück. Weil fragte: Wie viele Lösungen hat eine Kurvengleichung in einem endlichen Körper?

Naiv würde man etwa p + 1 Punkte erwarten, denn für ungefähr die Hälfte der x-Werte gibt es zwei Wurzeln, für die andere Hälfte keine. Die Frage ist, wie stark die tatsächliche Anzahl N davon abweicht. Für elliptische Kurven hatte Helmut Hasse 1933 eine Schranke bewiesen. Weil zeigte allgemein für Kurven vom Geschlecht g (anschaulich: der Anzahl der „Löcher“ der zugehörigen Fläche) über einem endlichen Körper mit q Elementen:

Im Beispiel ist g = 1 und q = 5: Die Abweichung |9 − 6| = 3 liegt tatsächlich unter 2 · √5 ≈ 4,47. Diese Abschätzung ist gleichwertig mit einer Aussage über die Nullstellen einer Zetafunktion der Kurve, die der berühmten Riemannschen Vermutung nachgebildet ist; daher der Name. Die vollständigen Beweise legte Weil 1948 in zwei Büchern vor. Dafür musste er die algebraische Geometrie über beliebigen Körpern erst sauber begründen; das tat er in den Foundations of Algebraic Geometry (1946), wo er auch den Begriff der abstrakten algebraischen Varietät einführte.

Die Weil-Vermutungen (1949)

1949 ging Weil in einem Aufsatz im Bulletin of the American Mathematical Society einen großen Schritt weiter. Er knüpfte an Rechnungen an, die schon Carl Friedrich Gauß für spezielle Gleichungen modulo einer Primzahl angestellt hatte, und betrachtete beliebige Varietäten, also Lösungsmengen von Gleichungssystemen in beliebig vielen Variablen. Für jede solche Varietät zählt man die Punkte über den endlichen Körpern mit q, q², q³, … Elementen und fasst diese Anzahlen in einer Zetafunktion zusammen. Weil vermutete vier Eigenschaften:

1. Rationalität: Die Zetafunktion ist ein Quotient zweier Polynome.
2. Funktionalgleichung: Sie besitzt eine Symmetrie wie die Riemannsche Zetafunktion.
3. Riemannsche Vermutung: Die Nullstellen haben genau vorhergesagte Beträge.
4. Verbindung zur Topologie: Die Grade der beteiligten Polynome sind die Betti-Zahlen der entsprechenden komplexen Varietät. Punktzählen über endlichen Körpern verrät also etwas über die Gestalt eines geometrischen Objekts über den komplexen Zahlen.

Besonders der vierte Punkt war kühn, denn er verbindet Zahlentheorie und Topologie, zwei scheinbar weit entfernte Gebiete. Weil ahnte, dass man dafür eine neue „Kohomologietheorie“ brauchte. Bernard Dwork bewies 1960 die Rationalität. Alexander Grothendieck und seine Schule entwickelten in den 1960er-Jahren mit der étalen Kohomologie das Werkzeug, das Weil gefordert hatte, und bewiesen damit weitere Teile. Den letzten und schwersten Teil, die Riemannsche Vermutung, bewies Grothendiecks Schüler Pierre Deligne 1974. Dafür erhielt er 1978 die Fields-Medaille.

Adele, Tamagawa-Zahlen und elliptische Kurven

Weils Werk reicht weit über diese Ergebnisse hinaus. Einige Beispiele:

• Adele: 1937/38 führte Weil für Funktionenkörper einen Ring ein, in dem alle „Lokalisierungen“ eines Zahlbereichs gleichzeitig erfasst werden. Den Namen Adele (für „additive Idele“) prägte er später. Der Adelering ist heute ein Standardwerkzeug der Zahlentheorie.
• Integration auf Gruppen: In seinem Buch über Integration in topologischen Gruppen (1940) legte er Grundlagen der harmonischen Analyse.
• Tamagawa-Zahlen: Ende der 1950er-Jahre vermutete Weil, dass ein bestimmtes Volumen für eine große Klasse algebraischer Gruppen stets gleich 1 ist. Robert Kottwitz bewies dies 1988.
• Weil-Darstellung: 1964 konstruierte er eine unendlichdimensionale Darstellung, die der klassischen Theorie der Thetafunktionen und quadratischen Formen eine neue Grundlage gab.
• Differentialgeometrie: Mit Shiing-Shen Chern entstand in den 1940er-Jahren die Chern-Weil-Theorie der charakteristischen Klassen.

Die Vermutung von Taniyama, Shimura und Weil

Die japanischen Mathematiker Yutaka Taniyama und Gorō Shimura äußerten in den 1950er-Jahren die Vermutung, dass jede elliptische Kurve über den rationalen Zahlen „modular“ ist, also mit einer bestimmten Art hochsymmetrischer Funktionen zusammenhängt. Weil gab der Vermutung 1967 eine präzise Form und stärkte sie durch einen wichtigen Satz, weshalb sie oft seinen Namen mitträgt; die Gewichtung der Namen war unter Fachleuten umstritten. Als Gerhard Frey und Ken Ribet in den 1980er-Jahren zeigten, dass aus ihr der Große Satz von Pierre de Fermat folgt, wurde sie zum Ziel von Andrew Wiles. Wiles bewies 1995 den entscheidenden Spezialfall; bis 2001 wurde der heutige Modularitätssatz vollständig bewiesen.

Jahre in Amerika: Brasilien, Chicago und Princeton

In den USA fand Weil zunächst nur Stellen an kleineren Hochschulen in Pennsylvania, darunter das Haverford College und die Lehigh University. Er fühlte sich dort unterfordert und ging 1945 an die Universität São Paulo in Brasilien. 1947 holte ihn die University of Chicago, die er zu einem Zentrum der Zahlentheorie und Geometrie machte; zu den jungen Leuten, die dort bei ihm lernten, gehörte zeitweise Paul Cohen. 1958 wechselte Weil an das Institute for Advanced Study in Princeton, wo er bis zu seiner Emeritierung 1976 forschte und bis zu seinem Tod am 6. August 1998 lebte.

Weil galt als glänzender, aber auch scharfzüngiger und fordernder Kollege. Zu seinen Ehrungen gehören die Ehrenmitgliedschaft der London Mathematical Society (1959), die Mitgliedschaft in der Royal Society (1966), der Wolf-Preis (1979, gemeinsam mit Jean Leray), der Steele-Preis der American Mathematical Society (1980) und der Kyoto-Preis (1994). Er war Mitglied der französischen Académie des sciences und der US-amerikanischen National Academy of Sciences.

Weil als Historiker der Mathematik

Weil las die Klassiker im Original und hielt das für unverzichtbar. Auf dem Internationalen Mathematikerkongress 1978 in Helsinki sprach er über die Frage, warum und wie man Mathematikgeschichte betreiben solle, und plädierte dafür, dass Mathematiker selbst die Quellen studieren. 1984 erschien sein Buch Number Theory: An Approach Through History from Hammurapi to Legendre, das die Zahlentheorie von Fermat über Leonhard Euler und Joseph-Louis Lagrange bis zu Adrien-Marie Legendre aus den Originalarbeiten nachzeichnet. Seine gesammelten Werke (1979) versah er mit ausführlichen Kommentaren zur Entstehung seiner Ideen. 1991 veröffentlichte er die Autobiographie Souvenirs d’apprentissage, die seine ersten vier Lebensjahrzehnte schildert.

Zeitleiste: André Weils Leben

1. 1906 Geburt am 6. Mai in Paris
2. 1922 Eintritt in die École normale supérieure mit 16 Jahren
3. 1928 Promotion in Paris; Satz von Mordell-Weil
4. 1930–1932 Professor an der Aligarh Muslim University in Indien
5. 1934/35 Gründung der Gruppe Bourbaki
6. 1940 Haft in Rouen; Riemannsche Vermutung für Kurven über endlichen Körpern
7. 1941 Emigration in die USA
8. 1949 Veröffentlichung der Weil-Vermutungen
9. 1958 Wechsel an das Institute for Advanced Study in Princeton
10. 1998 Tod am 6. August in Princeton

Bedeutung heute: Weils Erbe in Zahlentheorie und Kryptografie

Die Weil-Vermutungen wirkten wie ein Forschungsprogramm: Um sie zu beweisen, baute Grothendieck die algebraische Geometrie von Grund auf neu, und die dabei entstandenen Methoden prägen das Fach bis heute. Auch das Langlands-Programm, eines der großen Vorhaben der heutigen Mathematik, nahm seinen Anfang in einem Brief, den Robert Langlands 1967 an Weil schrieb.

Ganz praktisch begegnet man Weils Mathematik in der Verschlüsselung. Die Kryptografie mit elliptischen Kurven, die heute Online-Banking, Messenger und Ausweisdokumente absichert, rechnet mit Punktgruppen von Kurven über endlichen Körpern; die Schranke von Hasse und Weil garantiert, dass diese Gruppen ungefähr so groß sind wie der Körper selbst. Die nach ihm benannte Weil-Paarung ist ein Baustein paarungsbasierter Verfahren. Auch fehlerkorrigierende Codes aus algebraischen Kurven beruhen auf seinen Abschätzungen.

Über Bourbaki wirkte Weil schließlich auf die Art, wie Mathematik geschrieben und gelehrt wird: axiomatisch, strukturorientiert, mit präziser Notation. Die Reform des Schulunterrichts in den 1960er- und 1970er-Jahren, die Mengenlehre schon in die Grundschule brachte, berief sich indirekt auf dieses Ideal. Weitere Zusammenhänge zeigt der Überblick über die Mathematik des 20. Jahrhunderts.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• André Weil: Souvenirs d’apprentissage. Birkhäuser, Basel 1991 (englisch: The Apprenticeship of a Mathematician, Birkhäuser 1992).
• André Weil: Numbers of solutions of equations in finite fields. In: Bulletin of the American Mathematical Society 55 (1949), S. 497–508.
• André Weil: Number Theory: An Approach Through History from Hammurapi to Legendre. Birkhäuser, Boston 1984.
• Maurice Mashaal: Bourbaki. A Secret Society of Mathematicians. American Mathematical Society, Providence 2006.
• MacTutor History of Mathematics: André Weil (englisch)