Alexander Grothendieck

Alexander Grothendieck (1928–2014) war ein deutsch-französischer Mathematiker, der die algebraische Geometrie neu begründete. Dieses Gebiet untersucht die Lösungsmengen von Gleichungen als geometrische Gebilde. Mit dem Begriff des Schemas schuf er eine gemeinsame Sprache für Geometrie und Zahlentheorie, die bis heute das Fach bestimmt. Viele Fachleute zählen ihn zu den einflussreichsten Mathematikern des 20. Jahrhunderts.

1966 erhielt er die Fields-Medaille, die höchste Auszeichnung des Fachs, reiste aber aus politischem Protest nicht zur Verleihung. 1970 verließ er das Institut, das sein Zentrum war, und wandte sich dem Umweltschutz und dem Pazifismus zu. 1991 brach er den Kontakt zur Fachwelt fast vollständig ab. Seine Lebensgeschichte ist die eines Kindes von Verfolgten, das zu einem der größten Theoretiker des Fachs wurde.

Kindheit, Flucht und Studium

Alexander Grothendieck kam am 28. März 1928 in Berlin zur Welt. Sein Vater Alexander Schapiro, ein russisch-jüdischer Anarchist, und seine Mutter Johanna „Hanka“ Grothendieck, eine Journalistin, verließen 1933 nach der Machtübernahme der Nationalsozialisten Deutschland. Der Junge wuchs bis 1939 bei einer Pflegefamilie in Hamburg auf und kam dann zu seiner Mutter nach Frankreich. Dort wurde er mit ihr in einem Lager interniert. Sein Vater wurde 1942 nach Auschwitz deportiert und dort ermordet. Grothendieck selbst überlebte in dem Dorf Le Chambon-sur-Lignon, in dem viele Verfolgte versteckt wurden; dort legte er 1945 das Abitur ab. Staatenlos blieb er bis 1971.

Er studierte in Montpellier, wo er laut seinem Kollegen Pierre Cartier ganz allein eine sehr allgemeine Form des Lebesgue-Integrals wiederentdeckte. Danach wechselte er nach Paris und Nancy und promovierte 1953 bei Laurent Schwartz und Jean Dieudonné. Ab 1955 wandte er sich der algebraischen Geometrie zu, angeregt von seinem Freund Jean-Pierre Serre.

Schemata: Gleichungen als Geometrie

Was die algebraische Geometrie fragt

Die Gleichung x² + y² = 1 beschreibt einen Kreis. Löst man Gleichungen, entstehen Kurven, Flächen und höherdimensionale Gebilde. Seit René Descartes verbindet man so Algebra und Geometrie. Für die Zahlentheorie bleibt die Frage offen, was geschieht, wenn man nur in ganzen Zahlen oder in Restklassen rechnet, wo es keine „Punkte“ im anschaulichen Sinn gibt.

Grothendiecks Idee

Grothendieck drehte den Blick um. Statt der Punkte eines Gebildes betrachtete er den Ring seiner Funktionen, also eine Menge, in der man addieren und multiplizieren kann. Die „Punkte“ sind besondere Teilmengen dieses Rings, die Primideale. Ein solches Gebilde heißt Schema. Es gibt dann zu jedem Ring eine Geometrie, auch zum Ring der ganzen Zahlen: Seine Punkte entsprechen den Primzahlen 2, 3, 5, 7, … und einem zusätzlichen „allgemeinen“ Punkt. So werden Zahlen und Geometrie in derselben Sprache behandelt. Grothendieck legte dies in den Éléments de géométrie algébrique (zusammen mit Jean Dieudonné) und im Séminaire de géométrie algébrique am Institut des Hautes Études Scientifiques (IHÉS) in Bures-sur-Yvette nieder, zusammen mehrere tausend Seiten.

Die Weil-Vermutungen und neue Werkzeuge

1949 stellte Weil Vermutungen über solche Lösungszahlen auf. Sie gleichen einer Version der berühmten riemannschen Vermutung für Gleichungen über endlichen Zahlbereichen. Um sie zu beweisen, entwickelte Grothendieck mit Mitarbeitern die étale Kohomologie, ein System von Zahlen und Räumen, die Löcher und Verschlingungen eines Gebildes messen. Mit der Topos-Theorie ordnete er solche Konstruktionen in einem noch allgemeineren Rahmen. Auch die Galois-Gruppen von Évariste Galois tauchen darin als Symmetrien von Gebilden wieder auf.

Grothendieck bewies große Teile der Weil-Vermutungen. Die letzte und schwierigste, die Analogie zur Riemann-Vermutung, bewies 1974 sein Schüler Pierre Deligne. Zuvor hatte Grothendieck bereits 1957 den Satz von Riemann-Roch weit verallgemeinert (Grothendieck-Riemann-Roch). Auch Andrew Wiles nutzte für den Beweis von Fermats letztem Satz Werkzeuge aus dieser Tradition.

Grothendieck arbeitete mit einer ungewöhnlichen Philosophie: Er suchte nicht den genialen Einzelschlag, sondern den allgemeinsten Rahmen, in dem das Problem von selbst zerfällt. Er beschrieb das im Bild der „steigenden Flut“: Statt eine harte Nuss mit dem Hammer zu knacken, legt man sie ins Wasser, bis die Schale weich wird.

Fields-Medaille 1966 und politisches Engagement

1966 bekam Grothendieck zusammen mit Michael Atiyah, Paul Cohen und Stephen Smale die Fields-Medaille. Er blieb dem Kongress in Moskau jedoch fern, aus politischem Protest gegen die sowjetische Militärpolitik; der IHÉS-Direktor Léon Motchane nahm die Medaille für ihn entgegen. 1967 hielt er in Nordvietnam Vorlesungen, während die USA das Land bombardierten. 1970 verließ er das IHÉS, als er erfuhr, dass es teilweise vom Militär finanziert wurde. Im selben Jahr gründete er mit Freunden die Bewegung Survivre et Vivre (Überleben und Leben), die sich für Umweltschutz und Frieden einsetzte.

Danach lehrte er unter anderem in Montpellier. 1988 sollte er mit Pierre Deligne den Crafoord-Preis erhalten, lehnte ihn aber mit Kritik am Wissenschaftsbetrieb ab. Ähnlich handelte später Grigori Perelman.

Récoltes et Semailles und der Rückzug

Mitte der 1980er-Jahre schrieb Grothendieck auf rund 1.000 Seiten das Werk Récoltes et Semailles („Ernten und Säen“), halb Erinnerung, halb Philosophie. Er beklagte darin, dass seine früheren Schüler und Kollegen seine Ideen nicht angemessen gewürdigt hätten. Daneben schrieb er La Clef des Songes (1986) und die Forschungsvision Esquisse d’un programme. 1991 verließ er seinen Wohnort ohne Ankündigung und lebte danach zurückgezogen in den Pyrenäen. Zuvor hatte er Tausende Seiten Notizen dem Kollegen Jean Malgoire anvertraut.

Am 13. November 2014 starb er in Saint-Lizier im Alter von 86 Jahren. In einem Brief von 2010 hatte er gebeten, seine unveröffentlichten Schriften nicht zu verbreiten. Die Universität Montpellier stellte dennoch 2017 rund 18.000 Seiten ins Netz; die Originale sind für die Französische Nationalbibliothek vorgesehen. Über den Umgang mit seinem Nachlass wird bis heute diskutiert.

Zeitleiste: Alexander Grothendiecks Leben

1. 1928 Geburt am 28. März in Berlin
2. 1942 Der Vater wird in Auschwitz ermordet
3. 1953 Promotion bei Laurent Schwartz und Jean Dieudonné
4. 1959 Beginn der Arbeit am IHÉS in Bures-sur-Yvette
5. 1966 Fields-Medaille, Boykott der Verleihung in Moskau
6. 1970 Austritt aus dem IHÉS; Gründung von Survivre et Vivre
7. 1988 Ablehnung des Crafoord-Preises
8. 1991 Rückzug aus der Öffentlichkeit
9. 2014 Tod am 13. November in Saint-Lizier

Bedeutung heute: Eine neue Sprache der Mathematik

Grothendiecks Schemata gehören zum Handwerkszeug der Zahlentheorie und der algebraischen Geometrie; Beweise wie der von Fermats letztem Satz wären ohne sie kaum denkbar. Die von ihm geförderte Sprache der Kategorien und Topoi findet sich heute in der Logik, der Topologie und der theoretischen Physik. Er zeigt zudem, wie weit Abstraktion tragen kann: Aus einer Frage nach Polynomen wurde eine Theorie, die Zahlen und Räume zusammenführt. Mehr zum Umfeld bieten die Überblicke zur Mathematik des 20. Jahrhunderts und zur Mathematik im 21. Jahrhundert.

Häufige Fragen

Wann lebte Alexander Grothendieck?

Alexander Grothendieck wurde am 28. März 1928 in Berlin geboren und starb am 13. November 2014 in Saint-Lizier (Ariège) im Alter von 86 Jahren.

Was ist ein Schema?

Ein geometrisches Gebilde, das aus einem Ring konstruiert wird: Die „Punkte“ sind die Primideale des Rings. Damit kann man Gleichungen über beliebigen Zahlbereichen geometrisch untersuchen, etwa auch über den ganzen Zahlen.

Warum zog sich Grothendieck zurück?

Nach seiner eigenen Darstellung in Récoltes et Semailles war er von der Fachwelt enttäuscht. Er wandte sich Politik, Philosophie und eigenen Forschungen zu und lebte ab 1991 zurückgezogen in den Pyrenäen. Mehr über seine Gründe ist nicht gesichert.

Quellen und weiterführende Literatur

• Alexander Grothendieck, Jean Dieudonné: Éléments de géométrie algébrique. In: Publications Mathématiques de l’IHÉS, Bände 4, 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32 (1960–1967).
• Alexander Grothendieck: Récoltes et Semailles. Réflexions et témoignage sur un passé de mathématicien. Manuskript 1985/86.
• Winfried Scharlau: Wer ist Alexander Grothendieck? Anarchie, Mathematik, Spiritualität. Mehrbändige Biografie, 2007 ff.
• MacTutor History of Mathematics: Alexander Grothendieck (englisch)