Pierre Fatou

Pierre Fatou (1878–1929) war ein französischer Mathematiker und Astronom. Seinen Lebensunterhalt verdiente er am Pariser Observatorium, doch in der Mathematik gelang ihm Bleibendes: Das Lemma von Fatou gehört zum Grundwerkzeug der Integrationstheorie, und die Fatou-Menge ist ein Grundbegriff der komplexen Dynamik. Dieses Gebiet erforscht, was passiert, wenn man eine Rechenvorschrift mit komplexen Zahlen immer wieder auf ihr eigenes Ergebnis anwendet.

Fatou und sein Landsmann Gaston Julia legten um 1918 unabhängig voneinander die Grundlagen dieser Theorie, einer der großen Entdeckungen der Mathematik des 20. Jahrhunderts. Ihre Ideen blieben lange fast unbeachtet, bis Computerbilder in den 1980er-Jahren, vor allem durch Benoît Mandelbrot, die Schönheit der Fraktale zeigten.

Ein stiller Gelehrter aus der Bretagne

Pierre Joseph Louis Fatou wurde am 28. Februar 1878 in Lorient in der Bretagne geboren. Er war das jüngste von vier Kindern. Von 1898 bis 1901 studierte er an der Pariser École normale supérieure, einer der angesehensten Hochschulen Frankreichs. Im November 1901 trat er als unbezahlter Praktikant in das Pariser Observatorium ein. 1904 wurde er Hilfsastronom, und erst 1928, ein Jahr vor seinem Tod, ernannte man ihn zum Astronomen.

Seine Zeitgenossen beschrieben ihn als bescheiden, sanft und gleichgültig gegenüber weltlichem Ruhm. Er liebte Musik, lebte bis zum Tod seiner Mutter 1911 bei ihr und war oft krank. Trotzdem arbeitete er an Himmelsmechanik, also der Berechnung von Bahnen am Himmel, und an reiner Mathematik. 1926 war er Präsident der Société mathématique de France. Er starb am 9. August 1929 in Pornichet.

Das Lemma von Fatou

Um 1900 hatte Henri Lebesgue eine neue Art des Integrierens erfunden, die viel mehr Funktionen erfasst als das bisherige. Fatou gehörte zu den Ersten, die sie in der Funktionentheorie anwendeten. In seiner Doktorarbeit von 1906/07 über trigonometrische Reihen und Taylorreihen bewies er zwei Ergebnisse, die heute seinen Namen tragen. Der Satz von Fatou beschreibt, wie sich eine im Einheitskreis gegebene Funktion zum Rand hin verhält. Das Lemma von Fatou ist eine Aussage über Grenzwerte beim Integrieren:

Gemeint ist: Hat man eine Folge von Funktionen f₁, f₂, f₃ … die nie negativ werden, so ist das Integral des unteren Grenzwerts der Funktionen höchstens so groß wie der untere Grenzwert der einzelnen Integrale. Anschaulich gesagt: Beim Grenzübergang kann Fläche verloren gehen, aber nie hinzukommen.

Das Lemma gehört in jedes Lehrbuch der Maß- und Integrationstheorie und dient dort als Baustein vieler weiterer Sätze, auch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Fatou-Menge und Julia-Menge: Iteration im Komplexen

Komplexe Zahlen haben die Form a + b·i, wobei i die Wurzel aus −1 ist; man zeichnet sie als Punkte in der Ebene. Eine einfache Rechenvorschrift ist z ↦ z² + c. Man wählt einen Startpunkt, wendet die Vorschrift an, nimmt das Ergebnis als neuen Startpunkt und so weiter:

Manche Punkte wandern ins Unendliche, andere bleiben in einem Bereich gefangen. Fatou fragte, bei welchen Startpunkten das Verhalten stabil ist. Die Fatou-Menge besteht aus allen Punkten, bei denen eine kleine Verschiebung des Startpunkts auf lange Sicht nur wenig ändert. Alle übrigen Punkte bilden die Julia-Menge. An ihnen entscheidet jede winzige Änderung über das spätere Schicksal, ein Vorgeschmack auf den Schmetterlingseffekt der Chaostheorie.

Der einfachste Fall ist c = 0. Punkte mit einem Abstand kleiner als 1 vom Ursprung werden beim Quadrieren immer kleiner und streben gegen 0. Punkte mit einem Abstand größer als 1 werden immer größer. Auf dem Einheitskreis selbst verdoppelt sich bei jedem Schritt der Winkel; zwei dort fast gleiche Punkte liegen nach wenigen Schritten weit auseinander. Die Julia-Menge ist hier ein glatter Kreis. Für andere Werte von c entstehen dagegen zerklüftete Gebilde mit unendlich feinen Verzweigungen, sogenannte Fraktale.

Fatou erkannte, dass das Verhalten der ganzen Ebene von wenigen ausgezeichneten Punkten abhängt: Jede anziehende Bahn muss mindestens einen der kritischen Punkte an sich ziehen, das sind die Stellen, an denen die Rechenvorschrift die Ebene gewissermaßen zusammenfaltet, wie die 0 beim Quadrieren. Damit ließ sich das scheinbare Chaos in Griff nehmen.

Das Rennen mit Gaston Julia (1917 bis 1920)

Die Pariser Akademie der Wissenschaften schrieb für 1918 ihren Großen Preis der mathematischen Wissenschaften für ein Thema aus, das genau diese Iteration betraf. Fatou veröffentlichte im Dezember 1917 erste Ergebnisse. Der 24-jährige Julia, im Krieg schwer verwundet, hatte jedoch schon im selben Jahr einen versiegelten Umschlag mit seinen Ergebnissen bei der Akademie hinterlegt und meldete Prioritätsansprüche an. Fatou zog sich daraufhin aus dem Wettbewerb zurück. Julia bekam den Preis.

Fatou veröffentlichte seine Ergebnisse trotzdem: 1919 und 1920 erschien in drei großen Teilen die Abhandlung Sur les équations fonctionnelles, die später ebenfalls ausgezeichnet wurde. Historiker sehen die Arbeiten heute als unabhängig voneinander entstanden. Der Zugang von Fatou setzte sich durch: Fast alle Lehrbücher der komplexen Dynamik folgen ihm. Die Frage, wer zuerst da war, spielt dagegen kaum noch eine Rolle.

Zeitleiste: Pierre Fatou

1. 1878 Geburt in Lorient (28. Februar)
2. 1898 Beginn des Studiums an der École normale supérieure
3. 1901 Eintritt in das Pariser Observatorium
4. 1907 Doktortitel mit der Arbeit über trigonometrische Reihen und Taylorreihen
5. 1917 Erste Mitteilungen zur Iteration rationaler Funktionen
6. 1918 Julia gewinnt den Großen Preis, Fatou zieht sich aus dem Wettbewerb zurück
7. 1919–1920 Große Abhandlung in drei Teilen
8. 1926 Präsident der Société mathématique de France
9. 1928 Ernennung zum Astronomen
10. 1929 Tod in Pornichet (9. August)

Bedeutung heute

Das Lemma von Fatou wird in der Maßtheorie, der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Analysis täglich benutzt. Die komplexe Dynamik ist heute ein eigenes, sehr lebendiges Forschungsgebiet; für Arbeiten in diesem Umfeld erhielten Jean-Christophe Yoccoz (1994) und Curtis McMullen (1998) Fields-Medaillen. Auch das Newton-Verfahren zum Lösen von Gleichungen erzeugt im Komplexen Bilder aus Fatou- und Julia-Mengen, die „Newton-Fraktale“. Die Verbindung von Himmelsmechanik und Chaos reicht bis zu Henri Poincaré, der als Vordenker der Chaostheorie gilt.

Häufige Fragen

Was ist die Fatou-Menge?

Die Fatou-Menge besteht aus allen Startpunkten der komplexen Zahlenebene, bei denen das Verhalten der wiederholten Anwendung einer Rechenvorschrift stabil ist: Benachbarte Punkte verhalten sich auf lange Sicht ähnlich.

Was ist der Unterschied zwischen Fatou- und Julia-Menge?

Die Fatou-Menge ist der stabile, „zahme“ Teil der Ebene. Die Julia-Menge ist der Rest, also die Grenze zwischen den Bereichen mit verschiedenem Schicksal. Dort herrscht Chaos. Beide Mengen ergänzen einander zur ganzen Ebene.

Quellen und weiterführende Literatur

• Pierre Fatou: Séries trigonométriques et séries de Taylor. In: Acta Mathematica 30 (1906), S. 335–400.
• Pierre Fatou: Sur les équations fonctionnelles. In: Bulletin de la Société Mathématique de France 47 (1919), S. 161–271; 48 (1920), S. 33–94 und S. 208–314.
• Michèle Audin: Fatou, Julia, Montel. The Great Prize of Mathematical Sciences of 1918, and Beyond, Springer, Berlin/Heidelberg 2011.
• MacTutor History of Mathematics: Pierre Fatou (englisch)
• Wikipedia: Pierre Fatou