Funktionenscharen und Ortskurven

Eine Funktion wie f(x) = x³ − 3x hat einen festen Graphen. Schreibst du stattdessen f_t(x) = x³ − 3tx, entsteht eine Funktionenschar: für jeden Wert von t ein anderer Graph. In der Oberstufe und im Abitur kommen Scharen ständig vor. Du brauchst dafür die Kurvendiskussion und die Ableitungsregeln. Neu sind nur drei Ideen: den Parameter wie eine Zahl behandeln, Fälle unterscheiden und die Ortskurve bestimmen.

Bei konkreten Werten des Parameters kannst du deine Ergebnisse mit dem Kurvendiskussions-Rechner prüfen.

Was ist eine Funktionenschar?

Die Funktion $f_t(x)=x^2+t$ ist eine Schar von Parabeln. Für t = 1 erhältst du x² + 1, für t = −2 die Funktion x² − 2. Dabei ist x die Variable, t der Parameter. Häufig steht der Parameter auch als a, k oder c, und oft ist sein Bereich eingeschränkt, zum Beispiel t > 0.

Der Einfluss des Parameters

Wo der Parameter steht, bestimmt, was mit dem Graphen von f geschieht:

Bei f(x) = x² sind das die Scharen x² + t, (x − t)², t · x² und (t · x)². Die Funktionen bleiben dabei in ihrer Grundform erkennbar.

Gemeinsame Punkte aller Graphen

Manche Scharen haben Punkte, durch die jeder Graph geht. Du findest sie so: Ein Punkt P(x|y) liegt auf allen Graphen, wenn $y=f_t(x)$ für jedes t gilt. Sortiere die Gleichung nach Potenzen von t. Damit sie für jedes t stimmt, müssen alle Faktoren vor den Potenzen von t null sein.

Zur Kontrolle setzt du zwei Werte ein, zum Beispiel t = 0 und t = 1, und schneidest die beiden Graphen. Es gibt Scharen ohne gemeinsamen Punkt: Die Parabeln x² + t sind parallel verschoben und treffen sich nie.

Kurvendiskussion mit Parameter

Du diskutierst eine Schar wie jede andere Funktion, hältst aber t allgemein. Als Hauptbeispiel dient $f_t(x)=x^3-3tx$ mit t ∈ ℝ.

Symmetrie und Nullstellen

Wegen $f_t(-x)=-f_t(x)$ ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung (siehe Symmetrie ganzrationaler Funktionen). Nullstellen: x(x² − 3t) = 0 liefert x = 0 oder x² = 3t. Hier muss man unterscheiden:

• Für t > 0 gibt es die drei Nullstellen 0, √(3t) und −√(3t).
• Für t ≤ 0 gibt es nur die Nullstelle 0, denn x² = 3t hat keine Lösung (t < 0) oder nur 0 (t = 0).

Extrempunkte

Die Ableitungen sind $f_t\prime (x)=3x^2-3t$, $f_t\prime \prime (x)=6x$ und $f_t\prime \prime \prime (x)=6$. Die Gleichung $f_t\prime (x)=0$ ergibt x² = t.

• Für t > 0 sind x = √t und x = −√t die Kandidaten. Es ist $f_t\prime \prime (\sqrt{t})=6\sqrt{t}>0$, also liegt bei √t ein Tiefpunkt, und $f_t\prime \prime (-\sqrt{t})<0$ gibt einen Hochpunkt bei −√t.
• Für t < 0 hat x² = t keine Lösung. Wegen $f_t\prime (x)=3x^2-3t>0$ ist der Graph streng monoton steigend, es gibt keine Extrempunkte.
• Für t = 0 ist $f_0(x)=x^3$ mit einem Sattelpunkt im Ursprung.

Die y-Werte sind $f_t(\sqrt{t})=t\sqrt{t}-3t\sqrt{t}=-2t\sqrt{t}$ und $f_t(-\sqrt{t})=2t\sqrt{t}$. Also gilt für t > 0:

Wendepunkt

Aus $f_t\prime \prime (x)=6x=0$ folgt x = 0, und $f_t\prime \prime \prime (0)=6\ne 0$ bestätigt den Wendepunkt. Wegen $f_t(0)=0$ ist W(0|0) für jedes t ein Wendepunkt.

Ortskurven

Bewegt sich t, wandern die Hoch- und Tiefpunkte. Die Kurve, auf der sie liegen, heißt Ortskurve oder Ortslinie. Du bestimmst sie in drei Schritten.

1. Schreibe die Koordinaten des Punktes in Abhängigkeit von t auf: x = x(t), y = y(t).
2. Löse die x-Gleichung nach t auf.
3. Setze dieses t in die y-Gleichung ein. Du erhältst y als Funktion von x. Gib an, für welche x die Ortskurve gilt.

Das Bild zeigt es: Die gestrichelte Kurve verbindet alle Hoch- und Tiefpunkte.

Den Parameter aus einer Bedingung bestimmen

Oft ist nach einem Wert von t gefragt, bei dem der Graph eine Eigenschaft hat. Du schreibst die Bedingung als Gleichung und löst nach t auf. Für $f_t(x)=x^3-3tx$:

• Graph durch P(2|−4): $f_t(2)=8-6t=-4$ ergibt t = 2.
• Nullstelle bei x = 3: $f_t(3)=27-9t=0$ ergibt t = 3. Dann sind die Nullstellen 0, 3 und −3.
• Tiefpunkt mit y = −16: Aus −2t√t = −16 folgt t√t = 8, also t^3/2 = 8 und t = 8^2/3 = 4. Probe: T(2|−16).
• Wendetangente mit Steigung −6: Es ist $f_t\prime (0)=-3t=-6$ und damit t = 2.

Solche Aufgaben entsprechen den Steckbriefaufgaben, nur mit einer Unbekannten statt mehrerer.

Eine Schar mit e-Funktion

Mit der e-Funktion wird die Kurvendiskussion aufwendiger, aber nicht schwerer: Der Faktor e^−tx ist nie null, und du darfst ihn beim Nullsetzen weglassen. Dazu kommt das Vorgehen aus der Kurvendiskussion mit e-Funktion.

Gegeben ist $f_t(x)=x·e^{-tx}$ mit t > 0. Die Ableitungen entstehen mit der Produkt- und Kettenregel:

• Nullstelle und gemeinsamer Punkt: Da e^−tx nie null wird, gilt $f_t(x)=0$ nur für x = 0. Alle Graphen gehen durch (0|0) mit der Steigung $f_t\prime (0)=1$.
• Hochpunkt: $f_t\prime (x)=0$ ergibt 1 − tx = 0, also x = 1/t. Es ist $f_t\prime \prime (1/t)=(t-2t)e^{-1}=-t/e<0$. Mit $f_t(1/t)=1/(et)$ ist H(1/t | 1/(et)).
• Wendepunkt: $f_t\prime \prime (x)=0$ ergibt t²x = 2t, also x = 2/t. Wegen $f_t\prime \prime \prime (2/t)=t^2{e}^{-2}\ne 0$ ist es ein Wendepunkt mit W(2/t | 2/(e²t)).
• Verhalten: Für x → ∞ geht $f_t(x)$ gegen 0, die x-Achse ist Asymptote. Für x → −∞ geht $f_t(x)$ gegen −∞.

Abituraufgabe: ganzrationale Schar

So könnte eine Aufgabe im Abitur aussehen. Versuche sie zuerst selbst.

Ausblick: Ortskurve oder Hüllkurve?

Die Ortskurve ist der Ort bestimmter Punkte der Graphen, zum Beispiel aller Hochpunkte. Eine Hüllkurve (Einhüllende) ist eine Kurve, die jeden Graphen der Schar berührt. Für die Geradenschar $y=tx-t^2$ ist sie die Parabel y = x²/4, denn jede Gerade ist Tangente an diese Parabel. Hüllkurven treten zum Beispiel bei Brennlinien auf und werden an der Hochschule behandelt.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: Kurvenscharen und Hüllkurven

Kurvenfamilien spielen früh eine Rolle in der Geschichte der Differenzialrechnung. Im 17. Jahrhundert untersuchten Christiaan Huygens und Ehrenfried Walther von Tschirnhaus Brennlinien, die als Hüllkurven von Strahlenscharen entstehen. Tschirnhaus tat das 1682 mit den Katakaustiken. Gottfried Wilhelm Leibniz zeigte in Aufsätzen von 1692 und 1694 in den Acta Eruditorum, wie man mit der Differenzialrechnung die Hüllkurve einer Kurvenschar bestimmt. Die Schreibweise mit einem Parameter wie t und die Bestimmung der Ortskurven von Extrempunkten ist dagegen ein Schulthema der heutigen Oberstufe und keine einzelne Entdeckung.

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Variable und Parameter?

Die Variable x durchläuft alle Stellen einer Funktion. Der Parameter t wählt eine Funktion aus der Schar aus und bleibt bei der Untersuchung einer einzelnen Funktion fest.

Wann brauche ich eine Fallunterscheidung?

Immer dann, wenn das Ergebnis von Vorzeichen oder Wert des Parameters abhängt. Typische Stellen sind Wurzeln (t ≥ 0?), Brüche (t ≠ 0?), quadratische Gleichungen (Diskriminante) und das Vorzeichen der zweiten Ableitung.

Warum sind Hoch- und Tiefpunkt oft auf derselben Ortskurve?

Weil beide Punkte aus derselben Gleichung für x entstehen. In unserem Beispiel liefern x² = t beide Punkte, und die Rechnung für y ist für beide gleich. Das ist aber nicht immer so.

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Kurvenschar
• Wikipedia: Ortskurve
• Wikipedia: Einhüllende