Kurvendiskussion online: Rechner mit allen Schritten

So benutzt du den Rechner

Gib eine ganzrationale Funktion ein, also ein Polynom wie x³ − 3x² − 9x + 5, 0,5x⁴ − 2x² oder (x − 1)²(x + 2). Brüche wie 1/3x³ sind erlaubt. Der Rechner arbeitet alle Punkte einer Kurvendiskussion der Reihe nach ab und fasst die Ergebnisse in einer Tabelle zusammen. Im Graphen sind Nullstellen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte markiert.

Die Schritte einer Kurvendiskussion

1. Definitionsbereich: Bei ganzrationalen Funktionen immer alle reellen Zahlen.
2. Symmetrie: Nur gerade Exponenten bedeuten Achsensymmetrie zur y-Achse, nur ungerade Punktsymmetrie zum Ursprung.
3. Verhalten im Unendlichen: Bestimmt durch den Summanden mit der höchsten Potenz.
4. Schnittpunkte mit den Achsen: f(0) für die y-Achse, f(x) = 0 für die Nullstellen.
5. Extrempunkte: Notwendige Bedingung f′(x) = 0, hinreichende Bedingung f″(x) ≠ 0 oder ein Vorzeichenwechsel von f′.
6. Wendepunkte: f″(x) = 0 mit Vorzeichenwechsel von f″.
7. Monotonie und Krümmung: Vorzeichen von f′ und f″ zwischen den besonderen Stellen.

Exakte Ergebnisse

Viele Rechner geben nur gerundete Werte aus. Dieser sucht zuerst nach rationalen Nullstellen und spaltet sie mit Polynomdivision ab. Bleibt ein quadratischer Rest, löst er ihn exakt mit der Mitternachtsformel. Für f(x) = x³ − 6x erhältst du so die Extrempunkte H(−√2 | 4√2) und T(√2 | −4√2) statt nur Näherungen. Nullstellen, die sich nicht mit Wurzeln ausdrücken lassen, bestimmt er numerisch auf viele Stellen genau. Der Satz von Abel und Ruffini zeigt übrigens, dass es für Gleichungen ab dem fünften Grad keine allgemeine Lösungsformel mit Wurzeln geben kann.

Sonderfälle

Ist an einer Stelle f′(x) = 0, aber wechselt f′ dort nicht das Vorzeichen, liegt ein Sattelpunkt (Terrassenpunkt) vor, wie bei f(x) = x³ im Ursprung. Ist f″(x) = 0, ohne dass f″ das Vorzeichen wechselt, gibt es dort keinen Wendepunkt, wie bei f(x) = x⁴. Mehrfache Nullstellen ohne Vorzeichenwechsel sind Berührpunkte mit der x-Achse.

Häufige Fragen