Gebrochenrationale Funktionen

Eine gebrochenrationale Funktion ist eine Funktion, deren Term ein Bruch aus zwei ganzrationalen Funktionen ist: $f(x)=\frac{Z(x)}{N(x)}$. Dabei heißt $Z(x)$ der Zähler und $N(x)$ der Nenner, und der Nenner ist nicht überall null. Beispiele sind $f(x)=\frac{1}{x}$ und $f(x)=\frac{x^2-4}{x^2-1}$. Eine ganzrationale Funktion ist ein Polynom wie $x^2-4$.

Anders als eine Parabel hat der Graph oft Lücken, Sprünge ins Unendliche und Geraden, denen er sich anschmiegt. Wie du Bruchterme umformst, also Terme mit einer Variablen im Nenner, steht auf der Seite Rationale Ausdrücke. Hier geht es um das Verhalten des Graphen.

Definitionsmenge und Definitionslücken

Durch null darfst du nicht teilen. Deshalb ist $f(x)=\frac{Z(x)}{N(x)}$ nur dort erklärt, wo $N(x)\ne 0$ ist. Die Nullstellen des Nenners heißen Definitionslücken. Alle anderen reellen Zahlen bilden die Definitionsmenge $D$. Wie du sie bei Bruchtermen bestimmst, steht bei Rationale Ausdrücke: Definitionsmenge.

Bestimme die Definitionsmenge immer am ursprünglichen Term, bevor du kürzt. Sonst übersiehst du Lücken.

Zuerst faktorisieren und kürzen

Zerlege Zähler und Nenner in Faktoren, zum Beispiel durch Ausklammern, mit den binomischen Formeln oder mit der Polynomdivision. Wie die Polynomdivision funktioniert, steht auf der Seite Polynome. Beim Beispiel ergibt sich

Kein Faktor kommt oben und unten vor, also lässt sich nichts kürzen. Steht ein Faktor im Zähler und im Nenner, darfst du ihn kürzen. Das Kürzen ist unter Vereinfachen erklärt. Es verändert aber die Definitionsmenge nicht: Die Stelle bleibt eine Lücke des ursprünglichen Terms.

Nullstellen

Ein Bruch ist null, wenn der Zähler null ist und der Nenner nicht. Du setzt also $Z(x)=0$ und prüfst danach, ob der Nenner an dieser Stelle von null verschieden ist.

Beim Beispiel ist $x^2-4=0$ für $x=-2$ und $x=2$. Der Nenner hat dort den Wert $3$. Die Nullstellen sind also $x_1=-2$ und $x_2=2$. Ist an einer Stelle auch der Nenner null, ist sie keine Nullstelle. Du musst dann zwischen Pol und hebbarer Lücke unterscheiden.

Polstellen und senkrechte Asymptoten

Ist $N(x_0)=0$ und nach dem Kürzen $Z(x_0)\ne 0$, hat die Funktion bei $x_0$ eine Polstelle. Nähert sich x der Stelle $x_0$, werden die Funktionswerte betragsmäßig beliebig groß. Der Graph schmiegt sich an die senkrechte Gerade $x=x_0$ an, die senkrechte Asymptote. Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich der Graph beliebig nähert, ohne sie zu berühren.

Der einfachste Fall ist $f(x)=\frac{1}{x}$, die indirekte Proportionalität. Ihr Graph und der von $\frac{1}{x^2}$ sind die Hyperbeln der Potenzfunktionen.

Pol mit und ohne Vorzeichenwechsel

An einer Polstelle geht der Graph auf beiden Seiten gegen $+\infty$ oder $-\infty$. Ob die Seiten gleich oder verschieden sind, hängt von der Vielfachheit des Nennerfaktors ab. Das ist die Zahl k im Faktor $(x-x_0{)}^k$.

Welches Vorzeichen $f$ auf welcher Seite hat, findest du mit Probewerten nahe an $x_0$. Das Vorzeichen von Zähler und Nenner genügt.

Hebbare Lücken

Manchmal verschwindet die Nullstelle des Nenners beim Kürzen. Dann ist die Stelle zwar eine Definitionslücke, aber keine Polstelle. Man nennt sie eine hebbare Lücke: Der Graph hat dort nur ein „Loch“ und keinen Sprung ins Unendliche. Hebbar heißt, du könntest die Lücke durch einen passenden Funktionswert schließen.

Als Beispiel nimmst du $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$ für $x\ne 1$. Der Graph ist die Gerade $y=x+1$, bei $x=1$ fehlt der Punkt $(1|2)$.

Waagerechte und schiefe Asymptoten

Wie verhält sich der Graph für sehr große $|x|$, also weit rechts und links? Dafür vergleichst du die Grade von Zähler und Nenner. Der Grad ist der höchste Exponent von x, der Leitkoeffizient die Zahl vor dieser Potenz (siehe Grad und Leitkoeffizient). Der Zählergrad sei z, der Nennergrad n.

Der Grund steckt in den höchsten Potenzen. Klammerst du sie aus, kürzen sie sich oder bleiben allein übrig. Beim Beispiel gilt

Für große $|x|$ gehen $\frac{4}{x^2}$ und $\frac{1}{x^2}$ gegen null, und $f(x)$ geht gegen $\frac{1}{1}=1$. Die waagerechte Asymptote ist also $y=1$.

Die schiefe Asymptote

Ist der Zählergrad genau um eins größer, dividierst du Zähler durch Nenner mit der Polynomdivision. Bei $f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$ ist $(x^2+1):(x-1)=x+1$ mit dem Rest $2$. Also gilt

Der Bruch geht für große $|x|$ gegen null, der Graph nähert sich der Geraden $y=x+1$. Für $x>1$ ist der Bruch positiv, der Graph liegt über der Asymptote. Für $x<1$ ist er negativ, der Graph liegt darunter. Den Rechenweg übernimmt auf Wunsch der Polynomdivisions-Rechner.

Symmetrie

Die Symmetrie spart Arbeit. Ist $f(-x)=f(x)$, liegt der Graph spiegelsymmetrisch zur y-Achse (f ist gerade). Ist $f(-x)=-f(x)$, liegt er punktsymmetrisch zum Ursprung (f ist ungerade). Bei gebrochenrationalen Funktionen genügt der Blick auf Zähler und Nenner, mehr zur Symmetrie steht bei den ganzrationalen Funktionen:

• Sind Zähler und Nenner beide gerade oder beide ungerade, ist f gerade.
• Ist eines gerade und das andere ungerade, ist f ungerade.

Beim Beispiel sind $x^2-4$ und $x^2-1$ gerade, also ist f gerade. Bei $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$ ist der Zähler ungerade und der Nenner gerade: Es ist $f(-x)=\frac{-x}{x^2+1}=-f(x)$, also ist f ungerade. Eine gerade Funktion mit Polstelle bei $x_0$ hat auch eine bei $-x_0$.

Den Graphen skizzieren

1. Definitionsmenge: Nenner gleich null setzen.
2. Faktorisieren und kürzen: hebbare Lücken (Löcher) vermerken.
3. Nullstellen: Zähler gleich null setzen, Nenner prüfen.
4. Polstellen: senkrechte Asymptoten einzeichnen, Vorzeichenwechsel mit Probewerten klären.
5. Waagerechte oder schiefe Asymptote: aus den Graden bestimmen und einzeichnen.
6. y-Achsenabschnitt $f(0)$ und Symmetrie prüfen.
7. Äste zeichnen: Asymptoten gestrichelt, wichtige Punkte eintragen, einzelne Wertepaare als Kontrolle ausrechnen.

Zum Kontrollieren eignet sich der Funktionsplotter. Den Term vereinfacht und prüft der Bruchterm-Rechner.

Vollständiges Beispiel

Untersuche $f(x)=\frac{x^2-4}{x^2-1}$.

Der Graph hat drei Äste. Der mittlere läuft zwischen den Polstellen von oben herab bis zum tiefsten Punkt $(0|4)$ und wieder nach oben. Die beiden äußeren kommen von unten aus den Polstellen, schneiden die x-Achse bei $\pm 2$ und schmiegen sich von unten an $y=1$ an.

Typische Fehler

Übungen

Mehr Aufgaben findest du unter Gebrochenrationale Funktionen: Aufgaben.

Geschichte: von Apollonios bis Descartes

Das Wort Asymptote kommt aus dem Griechischen und bedeutet etwa „nicht zusammenfallend“: Die Kurve kommt der Geraden beliebig nahe, trifft sie aber nicht. Die ersten Asymptoten gehören zur Hyperbel. Apollonios von Perge untersuchte sie um 200 v. Chr. im zweiten Buch seiner Konika, dem Werk über die Kegelschnitte. Er beschrieb sie geometrisch mit Strecken und Flächen, nicht mit Gleichungen und Funktionen.

Der Schritt zur Rechnung kam im 17. Jahrhundert. René Descartes beschrieb in seiner La Géométrie von 1637 Kurven durch Gleichungen. Damit lassen sich Asymptoten aus der Gleichung berechnen, statt sie nur zu konstruieren. Heute sind gebrochenrationale Funktionen ein Standardthema, an dem du Grenzwerte, Lücken und Verhalten im Unendlichen übst.

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen ganzrationalen und gebrochenrationalen Funktionen?

Bei einer ganzrationalen Funktion steht im Term nur ein Polynom, ohne Division durch x. Bei einer gebrochenrationalen Funktion steht x auch im Nenner. Deshalb gibt es dort Lücken, Pole und Asymptoten.

Ist jede Nullstelle des Nenners eine Polstelle?

Nein. Kürzt sich der Faktor, ist es nur eine hebbare Lücke, ein Loch im Graphen. Erst wenn der Nenner nach dem Kürzen noch null ist, hast du eine Polstelle.

Kann der Graph seine Asymptote schneiden?

Eine waagerechte oder schiefe Asymptote schon, denn sie beschreibt nur das Verhalten für sehr große $|x|$. Eine senkrechte Asymptote nie, weil die Stelle nicht zur Definitionsmenge gehört.

Muss ich Grenzwerte schreiben können?

In der Mittelstufe reicht die Beschreibung mit Worten und Probewerten: „Für x gegen 1 von links geht $f$ gegen plus Unendlich.“ Mit Grenzwertschreibweise wird es später in der Analysis genauer.

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Rationale Funktion
• Wikipedia: Polstelle
• Wikipedia: Asymptote
• Wikipedia: Definitionslücke
• MacTutor History of Mathematics: Apollonius of Perga (englisch)