Muster und Strukturen in der Grundschule

Ein Muster ist etwas, das sich nach einer Regel wiederholt oder verändert. Du kennst Muster von Fliesen, von Treppen und von Armbändern aus Perlen. In der Mathematik gibt es sie auch bei Zahlen und Rechenaufgaben. Wer ein Muster erkennt, kann vorhersagen, wie es weitergeht. Noch besser: Er kann erklären, warum es so weitergeht.

Die Grundschule nennt das „Muster und Strukturen“. Du lernst, Muster zu beschreiben, Zahlenfolgen zu knacken, in Aufgabenreihen Gesetze zu entdecken und Zusammenhänge wie Menge und Preis zu verstehen.

Muster erkennen, fortsetzen und beschreiben

Es gibt Muster, die sich wiederholen: rot, blau, blau, rot, blau, blau, rot … Der Baustein „rot, blau, blau“ kommt immer wieder. Und es gibt Muster, die wachsen. Bei den Plättchentreppen unten kommt in jedem Schritt eine Reihe dazu. Die Treppe hat erst 1 Plättchen, dann 3, dann 6 und dann 10.

Drei Fragen helfen bei jedem Muster:

1. Was bleibt gleich?
2. Was ändert sich in jedem Schritt?
3. Wie geht es weiter, und woher weißt du das?

Bei den Treppen kommen 2, dann 3, dann 4 neue Plättchen dazu. Als Nächstes folgen 5 neue, also 10 + 5 = 15 Plättchen. Beschreibe ein Muster immer mit Worten.

Zahlenfolgen

Eine Zahlenfolge ist eine Reihe von Zahlen mit einer Regel. Jede Zahl heißt Glied. Um die Regel zu finden, rechnest du den Abstand zwischen je zwei Gliedern aus. Für spätere Klassen gibt es mehr bei den Zahlen und ihren Eigenschaften.

Aufgaben dazu findest du im Arbeitsblatt Zahlenfolgen.

Schöne Päckchen und Entdeckerpäckchen

Ein Päckchen ist eine Reihe von Aufgaben, die zusammenpassen. Hat sie ein auffälliges Muster, heißt sie schönes Päckchen oder Entdeckerpäckchen. Du rechnest alle Aufgaben aus, beschreibst, was dir auffällt, und setzt das Päckchen fort. Am wichtigsten ist: Du erklärst, warum das Muster so ist.

Zahlenmauern und Rechendreiecke

In einer Zahlenmauer ist jeder Stein die Summe der beiden Steine darunter. Mit drei Grundsteinen a, b und c entstehen die Steine a + b und b + c. Der Deckstein ist deren Summe, also a + 2b + c. Der mittlere Grundstein zählt zweimal.

Daraus folgt: Erhöhst du den mittleren Grundstein um 1, wächst der Deckstein um 2. Bei einem äußeren Grundstein wächst er nur um 1. Mauern üben kannst du im Arbeitsblatt Zahlenmauern.

Im Rechendreieck stehen in den Ecken drei Zahlen. Die Zahl an einer Seite ist die Summe der beiden Eckzahlen daneben. Die drei Seitenzahlen zusammen sind genau doppelt so groß wie die drei Eckzahlen zusammen, denn jede Eckzahl gehört zu zwei Seiten.

Hier ist 2 + 3 + 4 = 9 und 5 + 6 + 7 = 18, das Doppelte. So findest du fehlende Zahlen schnell. Aufgaben gibt es bei den Rechendreiecken.

Tauschaufgaben und das Konstanzgesetz

Bei Plusaufgaben darfst du die Zahlen tauschen: 3 + 9 = 9 + 3. Das ist die Tauschaufgabe, mehr dazu bei Plus und Minus. Das Konstanzgesetz geht weiter. „Konstant“ heißt „bleibt gleich“. Du veränderst beide Zahlen so, dass das Ergebnis gleich bleibt, und machst dir die Aufgabe leichter.

Bei Plus nimmst du von einer Zahl etwas weg und gibst es der anderen: gegensinnig. Aus 38 + 25 wird 40 + 23, denn 2 wandern von der 25 zur 38. Beide Aufgaben ergeben 63. Bei Minus gilt das Gegenteil. Du machst beide Zahlen um gleich viel größer oder kleiner: gleichsinnig. Aus 83 − 49 wird 84 − 50 = 34. Der Grund: Die Differenz ist der Abstand auf dem Zahlenstrahl, und bei gleicher Verschiebung bleibt der Abstand gleich.

Mehr zum gleichsinnigen Verändern steht beim Ergänzen, mehr zum Verdoppeln und Halbieren bei den Malaufgaben.

Menge und Preis: funktionale Beziehungen

Manchmal hängen zwei Größen zusammen: Ändert sich die eine, ändert sich die andere nach einer Regel. Das nennt man eine funktionale Beziehung. Eine Tabelle zeigt sie gut. Ein Brötchen kostet 40 Cent.

Das Muster: Mit jedem Brötchen kommen 40 Cent dazu. Die Regel lautet: Preis = Anzahl · 40 ct. Doppelte Menge heißt doppelter Preis. Für 2,40 € bekommst du 240 : 40 = 6 Brötchen. Solche Zusammenhänge heißen direkte Proportionalität.

Nicht jede Beziehung ist so. Ein Fahrradverleih nimmt 3 € Grundgebühr und 2 € für jede Stunde.

Auch hier gibt es ein Muster: Jede Stunde kostet 2 € mehr. Aber zwei Stunden (7 €) kosten nicht doppelt so viel wie eine Stunde (5 €), denn die Grundgebühr zählt nur einmal. Aufgaben mit Geld gibt es im Arbeitsblatt Rechnen mit Geld.

Übungen

Zum Knobeln und Begründen gibt es das Arbeitsblatt Knobeln und Begründen in der Grundschule.

Geschichte: Muster zählen seit der Antike

Schon die Pythagoreer legten Zahlen als Muster aus Steinchen: Dreiecke, Quadrate und Rechtecke (mehr bei Pythagoras). Die Folge 1, 1, 2, 3, 5, 8 beschrieb Fibonacci 1202 in einer Aufgabe über Kaninchen. Berühmt ist auch die Geschichte vom jungen Gauß, der der Überlieferung nach die Zahlen von 1 bis 100 schnell addierte. Er bildete Paare: 1 + 100, 2 + 99 und so weiter. Das sind 50 Paare mit der Summe 101, zusammen 5.050. Wie das geht, zeigt das Arbeitsblatt Die Gaußsche Summenformel.

Häufige Fragen

Weiter geht es mit dem Einmaleins. Wie du Begründungen aufschreibst, zeigt Argumentieren und Begründen.

Quellen und weiterführende Literatur

• Erich Ch. Wittmann, Gerhard N. Müller: Handbuch produktiver Rechenübungen, Band 1: Vom Einspluseins zum Einmaleins, Klett, Stuttgart.
• Friedhelm Padberg, Christiane Benz: Didaktik der Arithmetik, Springer Spektrum, Heidelberg.
• Wikipedia: Folge (Mathematik)