Gaußsche Summenformel: Arbeitsblatt mit Lösungen

Für die Lehrkraft: Steckbrief

Klassenstufe: 5 bis 10, je nach Aufgabenauswahl
Zeitbedarf: 45 Minuten
Lernziele: Zahlen geschickt zu Paaren zusammenfassen, die Summe 1 + 2 + … + n als Formel schreiben, die Formel mit einer Punktefigur begründen, Dreieckszahlen kennen, Summen mit gleichem Abstand der Glieder berechnen, eine Anekdote kritisch lesen.
Material: dieses Blatt, Stift, für die Klassen 5 und 6 nach Wunsch Steckwürfel oder Plättchen für die Punktefigur. Ein Taschenrechner ist nicht nötig.
Bezug zur Lernseite: Reihen, die Formel bei Summenformel, Hintergrund bei Carl Friedrich Gauß

Ablaufvorschlag

Einstieg (5 Minuten): Die Klasse addiert 1 bis 10 im Kopf und erzählt, wie sie das macht. Ohne Vorgabe finden einige schon die Paare.
Geschichte und Abbildung (10 Minuten): Text lesen, die Punktefigur besprechen. Wichtig: Die Geschichte ist eine Anekdote.
Aufgaben 1 bis 4 (20 Minuten), je nach Klassenstufe unterschiedlich weit.
Aufgabe 5 als Vertiefung, Aufgabe 6 als Hausaufgabe oder Kurzreferat.

Eine berühmte Anekdote

Carl Friedrich Gauß wurde 1777 in Braunschweig geboren. Er wurde später einer der größten Mathematiker aller Zeiten. Über seine Kindheit gibt es viele Geschichten. Die bekannteste geht so: Der Lehrer Büttner wollte die Klasse eine Weile beschäftigen und ließ sie viele Zahlen zusammenzählen, meist heißt es: alle Zahlen von 1 bis 100. Der etwa neunjährige Gauß legte nach kurzer Zeit seine Tafel auf das Pult. Darauf stand nur ein Ergebnis, und es war richtig.

Wichtig: Das ist eine Anekdote. Sie wurde erst später aufgeschrieben, unter anderem von Gauß' Freund Sartorius von Waltershausen, und es gibt mehrere Fassungen. Ob die Aufgabe genau so lautete, wissen wir nicht. Die Idee dahinter ist aber unbestritten klug, und du kannst sie selbst finden.

Der Trick: Man schreibt die Zahlen nicht der Reihe nach auf, sondern bildet Paare von außen nach innen. Die erste Zahl und die letzte, die zweite und die vorletzte und so weiter. Alle Paare haben dieselbe Summe. Das Bild zeigt es für 1 + 2 + 3 + 4 + 5: Jede Reihe hat blaue und türkise Punkte, zusammen immer sechs.

Die Summe 1 + 2 + 3 + 4 + 5 als Dreieck aus Punkten. Zwei gleiche Dreiecke ergeben ein Rechteck mit 5 · 6 = 30 Punkten. Also ist die Summe 30 : 2 = 15.

Aufgaben

Bilde Paare und berechne: (a) 1 + 2 + 3 + … + 10, (b) 1 + 2 + 3 + … + 20. Wie viele Paare gibt es, und welche Summe hat jedes Paar?
Jetzt die Aufgabe aus der Anekdote: (a) 1 + 2 + 3 + … + 100, (b) 1 + 2 + 3 + … + 1000. Schreibe deine Rechnung auf.
Verallgemeinere: Für gerades n gibt es bei 1 + 2 + … + n genau n : 2 Paare. Welche Summe hat jedes Paar? Schreibe eine Formel für die Gesamtsumme auf und berechne damit 1 + 2 + … + 200.
Die Zahlen 1, 3, 6, 10, 15, … heißen Dreieckszahlen, denn man kann sie als Dreieck aus Punkten legen (die blauen Punkte im Bild). (a) Erkläre mit dem Bild, warum man zwei gleiche Dreiecke zu einem Rechteck legen kann. (b) Warum gilt deine Formel dann auch für ungerade n? (c) Berechne die 8. und die 12. Dreieckszahl. (d) Ist 55 eine Dreieckszahl? Ist 100 eine?
Knifflig: Berechne geschickt. (a) 11 + 12 + 13 + … + 30, (b) 5 + 10 + 15 + … + 100, (c) 1 + 3 + 5 + … + 99.
Erfinde eine eigene Additionsaufgabe, die man mit dem Trick von Gauß schnell löst, und löse sie. Warum weiß man bei der Anekdote nicht sicher, ob es wirklich so war? Wofür ist Gauß außer dieser Geschichte noch bekannt?

Lösungen

(a) 1 + 10 = 11, 2 + 9 = 11, 3 + 8 = 11 und so weiter. Es gibt 5 Paare mit der Summe 11, zusammen 5 · 11 = 55. (b) 1 + 20 = 21, 2 + 19 = 21 und so weiter. Es gibt 10 Paare mit der Summe 21, zusammen 10 · 21 = 210.
(a) Es gibt 50 Paare, 1 + 100, 2 + 99, …, 50 + 51. Jedes Paar hat die Summe 101. Also 50 · 101 = 5.050. (b) Es gibt 500 Paare mit der Summe 1001, also 500 · 1001 = 500.500.
Jedes Paar hat die Summe n + 1, es gibt n : 2 Paare. Die Formel lautet $\frac{n \cdot (n + 1)}{2}$ , also die Zahl n mal (n + 1), geteilt durch 2. Für n = 200 ergibt sich 200 · 201 : 2 = 20.100.
(a) Man legt das Dreieck ein zweites Mal verdreht daneben. Dann bildet jede Reihe zusammen sechs Punkte. Fünf Reihen mit je sechs Punkten ergeben ein Rechteck mit 5 · 6 = 30 Punkten, beide Dreiecke sind gleich groß, also hat jedes 30 : 2 = 15 Punkte. (b) Der Gedanke gilt für jede Zahl n: Zwei Dreiecke ergeben ein Rechteck aus n Reihen mit je n + 1 Punkten. Dabei muss n nicht gerade sein. Die Summe ist n · (n + 1) : 2. (c) 8 · 9 : 2 = 36 und 12 · 13 : 2 = 78. (d) 55 = 10 · 11 : 2 ist die 10. Dreieckszahl. 100 ist keine, denn die 13. Dreieckszahl ist 91 und die 14. ist 105.
(a) Es sind 20 Zahlen, also 10 Paare: 11 + 30 = 41, 12 + 29 = 41 und so weiter. Summe 10 · 41 = 410. Oder: (1 + … + 30) − (1 + … + 10) = 465 − 55 = 410. (b) Es sind 20 Zahlen, 5 · (1 + 2 + … + 20) = 5 · 210 = 1.050. Oder 10 Paare mit der Summe 105, also 1.050. (c) Es sind 50 Zahlen, also 25 Paare: 1 + 99 = 100, 3 + 97 = 100 und so weiter. Summe 25 · 100 = 2.500. Das ist 50 · 50, die Summe der ersten 50 ungeraden Zahlen.
Erwartungshorizont: Eigene Aufgabe zum Beispiel 2 + 4 + 6 + … + 40 (20 Zahlen, 10 Paare der Summe 42, also 420) oder 51 + 52 + … + 100 (25 Paare der Summe 151, also 3.775). Zur Anekdote: Sie wurde erst später aufgeschrieben und in mehreren Fassungen erzählt, ihre Einzelheiten sind nicht sicher belegt. Über Gauß: Er lebte von 1777 bis 1855, bewies mit 18 Jahren, dass sich ein regelmäßiges Siebzehneck mit Zirkel und Lineal konstruieren lässt, entwickelte die Methode der kleinsten Quadrate und war an der Landesvermessung beteiligt. Nach ihm ist auch die Glockenkurve der Normalverteilung benannt. Es gilt jede begründete Antwort.

Hinweise für die Lehrkraft

Typische Schwierigkeiten: Bei ungerader Zahl von Gliedern bleibt eine Zahl in der Mitte übrig. Die Anzahl der Paare wird bei Reihen, die nicht bei 1 beginnen, falsch bestimmt (aus 11 bis 30 sind 20 Zahlen, nicht 30). Die Formel wird mit „n mal n plus 1“ falsch gelesen: Es heißt n · (n + 1) : 2. Tipp: Beispiele immer an kleinen Zahlen nachrechnen.
Leichter: Nur Aufgaben 1, 2 und 5 (a), Zahlen bis 20, Plättchen legen.
Schwerer: Die Formel für die Summe der Zahlen von a bis b herleiten. Die Summenformel mit vollständiger Induktion beweisen (siehe Lernseite). Weitere Summen untersuchen: Die Summe der ersten n Quadratzahlen ist n · (n + 1) · (2n + 1) : 6, zum Beispiel 1 + 4 + 9 = 14 = 3 · 4 · 7 : 6.
Quellenlage: Die Schulgeschichte stammt aus den Erinnerungen von Zeitgenossen (unter anderem Sartorius von Waltershausen). Die Fassungen unterscheiden sich in Einzelheiten, etwa in der Zahlenreihe und im Alter. Das Blatt verwendet die bekannteste Version und kennzeichnet sie als Anekdote.
Weiterführung: Übungen zu Folgen bei den Zahlenfolgen-Aufgaben, Umformen von Termen bei Terme vereinfachen, Addieren großer Zahlen bei Schriftliches Addieren.

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