Formeln umstellen: Regeln, Beispiele und Übungen

Formeln umstellen heißt, eine Formel nach einer anderen Größe aufzulösen. Dazu führst du Äquivalenzumformungen durch: Auf beiden Seiten machst du dasselbe, bis die gesuchte Größe allein dasteht. Du kehrst die Rechenschritte in umgekehrter Reihenfolge um, also erst Plus und Minus, dann Mal und Geteilt, zuletzt Potenzen und Wurzeln.

Das brauchst du in Mathe, in Physik und beim Rechnen mit Geld. Aus $A = a \cdot b$ wird $a = \frac{A}{b}$ , aus $v = \frac{s}{t}$ wird $t = \frac{s}{v}$ . Hier gehst du jeden Fall einzeln durch, mit Beispielen aus Geometrie, Physik und Finanzen, und übst mit 26 Aufgaben samt Lösungen. Die Grundlagen stehen bei Gleichungen lösen. Zum Ausdrucken gibt es das Arbeitsblatt Formeln umstellen: Aufgaben.

Was bedeutet Formeln umstellen?

Eine Formel ist eine Gleichung, in der Buchstaben für Größen stehen. Die Formel $A = a \cdot b$ verbindet die Fläche A eines Rechtecks mit der Länge a und der Breite b. Meist steht die Größe, die man berechnen will, allein links. Kennst du aber die Fläche und die Breite, brauchst du die Länge. Dann stellst du die Formel nach a um. Man sagt auch umformen, umwandeln oder nach a auflösen.

Die Buchstaben behandelst du wie Zahlen. Am Ende steht ein Term aus den übrigen Buchstaben. Das lohnt sich: Die umgestellte Formel passt auf alle Aufgaben dieser Art, du setzt nur noch Zahlen ein. Heißt die gesuchte Größe x, sagt man „nach x umstellen“.

Die Grundidee: Äquivalenzumformung und Gegenoperation

Stell dir eine Waage im Gleichgewicht vor. Legst du links etwas dazu, musst du rechts dasselbe dazulegen, sonst kippt sie. Jeden Schritt, der das Gleichgewicht erhält, nennt man Äquivalenzumformung: Die neue Gleichung hat dieselben Lösungen wie die alte. Warum das gilt, steht bei den Eigenschaften der Gleichheit, Übungen mit Zahlen bei Gleichungen lösen.

Du brauchst für jede Rechenart ihre Gegenoperation, die den Schritt rückgängig macht.

Rechenarten und ihre Gegenoperationen
In der Formel steht	Auf beiden Seiten rechnest du	Beispiel
Addition: $x + b$	− b	$A = x + b$ wird zu $x = A - b$
Subtraktion: $x - b$	+ b	$A = x - b$ wird zu $x = A + b$
Multiplikation: $b \cdot x$	: b (mit $b \neq 0$ )	$A = b \cdot x$ wird zu $x = \frac{A}{b}$
Division: $\frac{x}{b}$	· b	$A = \frac{x}{b}$ wird zu $x = A \cdot b$
Quadrat: x²	Quadratwurzel ziehen	$A = x^{2}$ wird zu $x = \sqrt{A}$ (für $x > 0$ )
Quadratwurzel: $\sqrt{x}$	Quadrieren	$A = \sqrt{x}$ wird zu $x = A^{2}$

Stell dir die Formel als Rechenkette vor. Bei $s = v \cdot t + s_{0}$ wird t erst mit v multipliziert, dann kommt s₀ dazu. Beim Umstellen gehst du die Kette rückwärts, wie beim Auspacken eines Geschenks: Was zuletzt gerechnet wurde, machst du als Erstes rückgängig.

Oben wird mit t zuerst multipliziert und dann s₀ addiert. Beim Umstellen kehrst du die Kette um: Die zuletzt addierte Zahl s₀ wird als Erste abgezogen, danach wird durch v geteilt.

Die Regeln in fester Reihenfolge

Beim Ausrechnen gilt „Punkt vor Strich“. Beim Umstellen packst du die Formel dagegen von außen nach innen aus: erst Strichrechnung, dann Punktrechnung, zuletzt Potenz und Wurzel. Meist brauchst du nur zwei oder drei der Schritte, die Reihenfolge bleibt aber gleich.

Fall 1: Plus und Minus (Strichrechnung)

Steht die gesuchte Größe in einer Summe oder Differenz, entfernst du die übrigen Glieder mit der Gegenoperation. Das Glied wechselt dabei die Seite und dreht sein Vorzeichen um.

Fall 2: Mal und Geteilt (Punktrechnung)

Steht die gesuchte Größe in einem Produkt, teilst du beide Seiten durch alle anderen Faktoren. Steht sie im Zähler eines Bruchs, multiplizierst du mit dem Nenner. Nenner und Faktoren dürfen nicht null sein. Kommen Strich und Punkt zusammen, entfernst du zuerst den Strich.

Fall 3: Klammern

Steht die gesuchte Größe in einer Klammer, teilst du entweder durch den Faktor vor der Klammer, oder du multiplizierst mit dem Distributivgesetz aus. Der erste Weg ist kürzer, wenn der Faktor nur an der Klammer hängt.

Fall 4: Potenzen und Wurzeln

Steht die gesuchte Größe in einer Potenz, isolierst du zuerst die Potenz und ziehst dann die Wurzel. Steht sie unter einer Wurzel, isolierst du zuerst die Wurzel und quadrierst dann beide Seiten. Hintergründe stehen bei Potenzen und Wurzeln. Bei Längen, Massen und Zeiten ist nur die positive Wurzel sinnvoll, ohne Sachbezug hat $x^{2} = 9$ die zwei Lösungen 3 und −3. Das Quadrieren kann Scheinlösungen erzeugen, siehe Wurzelgleichungen.

Fall 5: Brüche in der Formel

Steht ein Bruch als Faktor vor der gesuchten Größe, multiplizierst du mit seinem Kehrwert. Stehen Brüche in einer Summe, multiplizierst du mit dem Hauptnenner, dann verschwinden alle Brüche (Bruchgleichungen).

Fall 6: Die gesuchte Größe steht im Nenner

Dieser Fall verursacht die meisten Fehler. Multipliziere beide Seiten mit der gesuchten Größe, damit sie aus dem Nenner verschwindet, und teile dann durch den Faktor, der jetzt bei ihr steht. Bei einem einfachen Bruch tauschen gesuchte Größe und Zähler die Plätze: Aus $a = \frac{b}{x}$ wird $x = \frac{b}{a}$ . Steht auf jeder Seite genau ein Bruch, geht auch die Kreuzmultiplikation.

Fall 7: Die gesuchte Größe kommt mehrmals vor (ausklammern)

Steht die gesuchte Größe in zwei oder mehr Summanden, kannst du sie nicht einfach wegdividieren. Du bringst alle Summanden mit ihr auf eine Seite, klammerst sie aus (aus $a \cdot x + b \cdot x$ wird $(a + b) \cdot x$ ) und teilst durch die Klammer.

Das Formeldreieck: wann es hilft und wann nicht

Für Formeln mit drei Größen, die nur durch Mal oder Geteilt verbunden sind, gibt es ein Merkbild. Die Größe, die allein steht, kommt nach oben, die beiden anderen nebeneinander darunter. Dann deckst du die gesuchte Größe ab und liest die Formel ab. So geht es auch bei $v = \frac{s}{t}$ (oben s), bei $ρ = \frac{m}{V}$ (oben m) und bei der Zinsformel $Z = K \cdot p$ (oben Z).

Das Formeldreieck für das Ohmsche Gesetz. Deckst du U ab, bleibt R · I stehen. Deckst du R ab, bleibt U : I. Deckst du I ab, bleibt U : R.

Erst umstellen, dann Zahlen einsetzen

Meist ist es besser, erst allgemein umzustellen und dann Zahlen einzusetzen. Du rechnest nur einmal mit Buchstaben und hast eine Formel für alle ähnlichen Aufgaben. Beim Einsetzen rechnest du alle Größen in zusammenpassende Einheiten um, zum Beispiel Kilometer und Stunden, und schreibst die Einheiten mit. Sie kürzen sich wie Zahlen (Größen und Einheiten).

Die Probe: so prüfst du eine umgestellte Formel

Zahlenprobe: Wähle einfache Zahlen für die Größen der Ausgangsformel und rechne vorwärts. Setze das Ergebnis und die übrigen Zahlen in die umgestellte Formel ein. Du musst den Startwert zurückbekommen.
Einheitenprobe: Rechne mit den Einheiten. Bei $t = \frac{s}{v}$ muss eine Zeit herauskommen: km : (km/h) = h.
Denkprobe: Passt die Aussage zur Wirklichkeit? Bei $t = \frac{s}{v}$ halbiert doppelte Geschwindigkeit die Fahrzeit. Das stimmt.

Typische Fehler beim Umstellen

Die meisten Fehler entstehen, wenn ein Rechenschritt nur auf einen Teil der Seite angewendet wird. Mit einer Zahlenprobe findest du jeden davon.

Typische Fehler beim Umstellen
Aufgabe	Falsch	Richtig	Warum
$s = v \cdot t + s_{0}$ nach t	$t = \frac{s}{v} + s_{0}$	$t = \frac{s - s_{0}}{v}$	Der Bruchstrich gilt für die ganze Seite. Mit v = 4, s₀ = 3 und s = 23 ergibt sich 5, nicht 8,75.
$c^{2} = a^{2} + b^{2}$ nach a	$a = c - b$	$a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}$	Die Wurzel gehört über die ganze Seite. Mit c = 5 und b = 4 ist √9 = 3, aber 5 − 4 = 1.
$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$ nach R	$R = R_{1} + R_{2}$	$R = \frac{R_{1} \cdot R_{2}}{R_{1} + R_{2}}$	Den Kehrwert bildest du von der ganzen Seite. Mit $R_{1} = R_{2}$ = 2 ist R = 1, nicht 4.
$G = E - K$ nach K	$K = G - E$	$K = E - G$	Beim Seitenwechsel dreht sich das Vorzeichen. Mit E = 500 und G = 180 sind die Kosten 320, nicht −320.
$E = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2}$ nach v	$v = \frac{\sqrt{2 E}}{m}$	$v = \sqrt{\frac{2 E}{m}}$	Das m steht mit unter der Wurzel. Mit m = 2 und E = 9 ergibt sich 3, nicht etwa 2,12.

Übungen mit Lösungen

Die Aufgaben sind nach Schwierigkeit geordnet. Stelle erst um, mache eine Zahlenprobe und öffne dann die Lösung. Zum Ausdrucken gibt es das Arbeitsblatt Formeln umstellen: Aufgaben. Die Kästen fünf und sechs fordern mehr.

Übung 5: Die gesuchte Größe kommt mehrmals vor

$a \cdot x + b = c \cdot x + d$ nach x.
Zwei Hähne füllen ein Becken in a und in b Stunden. Zusammen gilt nach x Stunden $\frac{x}{a} + \frac{x}{b} = 1$ . Stelle nach x um.
Gewinn: $G = p \cdot x - k \cdot x - F$ (Stückzahl x, Preis p, Stückkosten k, Fixkosten F) nach x.
Mischungstemperatur: $ϑ_{m} = \frac{m_{1} \cdot ϑ_{1} + m_{2} \cdot ϑ_{2}}{m_{1} + m_{2}}$ nach m₂.
Knobelaufgabe: $y = \frac{a \cdot x + b}{c \cdot x + d}$ nach x.

Lösungen anzeigen

Ziehe $c \cdot x$ und b ab: $a \cdot x - c \cdot x = d - b$ . Klammere aus: $x \cdot (a - c) = d - b$ . Teile durch $a - c$ : $x = \frac{d - b}{a - c}$ (für $a \neq c$ ).
Klammere x aus: $x \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = 1$ . Hauptnenner: $x \cdot \frac{a + b}{a \cdot b} = 1$ . Also ist $x = \frac{a \cdot b}{a + b}$ . Probe: Hähne mit 3 und 6 Stunden füllen das Becken zusammen in 3 · 6 : 9 = 2 Stunden.
Klammere x aus: $G = x \cdot (p - k) - F$ . Addiere F: $G + F = x \cdot (p - k)$ . Teile durch $p - k$ : $x = \frac{G + F}{p - k}$ . Für G = 0 ist $x = \frac{F}{p - k}$ die Gewinnschwelle.
Multipliziere mit $m_{1} + m_{2}$ und sortiere: $m_{2} \cdot (ϑ_{2} - ϑ_{m}) = m_{1} \cdot (ϑ_{m} - ϑ_{1})$ . Teile durch $ϑ_{2} - ϑ_{m}$ : $m_{2} = \frac{m_{1} \cdot (ϑ_{m} - ϑ_{1})}{ϑ_{2} - ϑ_{m}}$ .
Multipliziere mit $c \cdot x + d$ : $y \cdot (c \cdot x + d) = a \cdot x + b$ . Sortiere: $c \cdot y \cdot x - a \cdot x = b - d \cdot y$ . Klammere aus: $x \cdot (c \cdot y - a) = b - d \cdot y$ . Teile durch $c \cdot y - a$ : $x = \frac{b - d \cdot y}{c \cdot y - a}$ .

Geschichte: wie aus Worten Formeln wurden

Formeln, wie du sie kennst, sind jung. Jahrhundertelang beschrieb man Lösungsregeln in Worten und rechnete sie an einem Zahlenbeispiel vor. Um 825 schrieb al-Chwarizmi in Bagdad noch jede Gleichung als Satz auf. Seine Grundschritte, das Ergänzen (al-dschabr) und das Ausgleichen (al-muqabala), sind frühe Vorläufer der Äquivalenzumformung (mehr dazu).

Einen Durchbruch brachte François Viète. In seiner Isagoge von 1591 bezeichnete er nicht nur die gesuchte, sondern auch die gegebenen Größen mit Buchstaben, die Unbekannten mit Vokalen, die bekannten mit Konsonanten. Erst dadurch lässt sich eine Lösungsregel für alle Zahlen zugleich aufschreiben, also eine Formel. Auch das Wort „Koeffizient“ geht auf ihn zurück.

Die heutige Schreibweise setzte René Descartes 1637 in seiner Géométrie durch: a, b, c für bekannte, x, y, z für unbekannte Größen. Das Gleichheitszeichen hatte der Waliser Robert Recorde schon 1557 eingeführt (Geschichte des Gleichheitszeichens).

Auch berühmte Formeln der Physik wurden erst spät zu Gleichungen. Isaac Newton formulierte sein zweites Gesetz 1687 in den Principia in Worten: Die Änderung der Bewegung ist der einwirkenden Kraft proportional. Die Gleichung $F = m \cdot a$ schrieb nach einer Vorstufe von Jakob Hermann (1716, für geradlinige Bewegung) um 1750 Leonhard Euler auf.

Selbstcheck: Das kann ich jetzt

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Ich kann erklären, was es heißt, eine Formel umzustellen. nachlesen
Ich kann mit Äquivalenzumformungen und Gegenoperationen eine Formel umstellen. nachlesen
Ich kann Plus und Minus, Mal und Geteilt in der richtigen Reihenfolge entfernen. nachlesen
Ich kann Formeln mit Klammern, Potenzen und Wurzeln umstellen. nachlesen
Ich kann Formeln mit Brüchen umstellen, auch wenn die gesuchte Größe im Nenner steht. nachlesen
Ich kann die gesuchte Größe ausklammern, wenn sie mehrmals vorkommt. nachlesen
Ich kann eine umgestellte Formel mit Zahlen und Einheiten prüfen. nachlesen

Häufige Fragen

Wie kann man Formeln umwandeln?

Umwandeln, umformen, umstellen und auflösen meinen dasselbe: Du bringst die gesuchte Größe durch Äquivalenzumformungen allein auf eine Seite, in der Reihenfolge Strich, Punkt, Potenz oder Wurzel. Geht es dir um Einheiten wie Meter und Kilometer, hilft Größen und Einheiten.

Welche Regeln gelten beim Umstellen von Gleichungen?

Du tust auf beiden Seiten dasselbe und nutzt die Gegenoperation: Auf Plus folgt Minus, auf Mal folgt Geteilt. Du multiplizierst nie mit null und teilst nie durch null. Du gehst in der Reihenfolge Strich, Punkt, Potenz oder Wurzel vor. Nach dem Quadrieren machst du die Probe, weil Scheinlösungen entstehen können.

Wie kann ich Formeln mit Brüchen umstellen?

Multipliziere beide Seiten mit dem Nenner, bei mehreren Brüchen mit dem Hauptnenner. Dann verschwinden die Brüche. Steht ein Bruch als Faktor vor der gesuchten Größe, multiplizierst du mit seinem Kehrwert. Beispiele stehen in den Abschnitten Brüche und Nenner.

Wie stelle ich Formeln mit Wurzeln um?

Isoliere zuerst die Wurzel und quadriere dann beide Seiten. Bei dritten Wurzeln potenzierst du mit 3. Steht die gesuchte Größe im Quadrat, ziehst du umgekehrt die Wurzel. Mache am Ende die Probe (Scheinlösungen).

Wie stelle ich eine Formel nach x um?

Genau wie jede andere Formel, denn x ist nur der Name der gesuchten Größe. Aus $y = 3 x + 2$ wird nach Abziehen von 2 und Teilen durch 3 die Formel $x = \frac{y - 2}{3}$ . Die Schritte stehen im Abschnitt Regeln.

Wie kann ich eine Formel online umstellen?

Ein Computer-Algebra-System wie GeoGebra stellt Formeln mit mehreren Buchstaben um (GTR, CAS und GeoGebra). Der Gleichungslöser dieser Website löst Gleichungen mit einer Unbekannten, in die du für die übrigen Buchstaben Zahlen einsetzt. Damit prüfst du deine umgestellte Formel. In Klassenarbeiten zählt der Rechenweg, den übst du von Hand.

In welcher Klasse lernt man Formeln umstellen?

Das legen die Lehrpläne der Länder unterschiedlich fest. Diese Seite richtet sich an Klasse 7 bis 10. Was bei dir dran ist, zeigen die Lehrpläne der Länder.

Quellen und weiterführende Literatur

Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
Florian Cajori: A History of Mathematical Notations, Open Court, Chicago 1928–1929.
Karin Reich, Helmuth Gericke: François Viète. Einführung in die Neue Algebra, Fritsch, München 1973.
MacTutor History of Mathematics: François Viète (englisch)
Wikipedia: Äquivalenzumformung
Wikipedia: Newtonsche Gesetze
Wikipedia: Kinetische Energie