Ausmultiplizieren von Klammern

Drei Freunde gehen ins Kino. Jeder zahlt 8 € für die Karte und 3 € für ein Getränk. Du kannst so rechnen: 3 · (8 + 3) = 3 · 11 = 33 €. Oder du rechnest getrennt: 3 · 8 + 3 · 3 = 24 + 9 = 33 €. Beide Wege liefern dasselbe, und dahinter steckt das Distributivgesetz (von lateinisch distribuere, „verteilen“): Der Faktor vor der Klammer wird auf jeden Summanden verteilt. Diese Umformung heißt Ausmultiplizieren.

Auf dieser Seite siehst du das Gesetz als Fläche und übst es mit Variablen, auch bei einem Minus vor der Klammer. Am Ende kehrst du den Weg um: Beim Ausklammern wird aus einer Summe wieder ein Produkt. Die Zahlenregel steht auf der Seite Zahlen und ihre Eigenschaften. Vorbereitung bieten Multiplikation von Ausdrücken und Addieren und Subtrahieren von Termen. Eine Übersicht bietet die Algebra.

Das Distributivgesetz

Das Gesetz hilft schon beim Kopfrechnen: 6 · 104 = 6 · (100 + 4) = 600 + 24 = 624 und 7 · 98 = 7 · (100 − 2) = 700 − 14 = 686.

Das Flächenmodell

Ein Rechteck mit der Höhe 3 und der Breite x + 2 hat die Fläche 3(x + 2). Teilst du die Breite in die Stücke x und 2, zerfällt das Rechteck in zwei kleinere Rechtecke mit den Flächen 3x und 3 · 2 = 6. Zusammen ergeben sie die Gesamtfläche: 3(x + 2) = 3x + 6.

Ausmultiplizieren Schritt für Schritt

1. Multipliziere den Faktor vor der Klammer mit dem ersten Summanden, dann mit dem zweiten und so weiter.
2. Beachte die Vorzeichen: Gleiche Vorzeichen ergeben Plus, verschiedene Minus (Multiplikation ganzer Zahlen).
3. Multipliziere Variablen mit den Potenzgesetzen, zum Beispiel x · x² = x³ (Potenzen multiplizieren).
4. Fasse am Ende gleichartige Terme zusammen.

Minus vor der Klammer

Ein Minus vor der Klammer ist der Faktor −1: −(a + b) = (−1) · (a + b) = −a − b. Auch eine negative Zahl vor der Klammer verteilst du mit ihrem Vorzeichen auf alle Summanden. So ist −3(x − 4) = −3x + 12, denn (−3) · (−4) = +12. Stehen vor der Klammer noch weitere Summanden, multiplizierst du zuerst aus (Punkt vor Strich) und fasst dann zusammen.

Ausklammern: die Umkehrung

Liest du das Distributivgesetz rückwärts, erhältst du das Ausklammern: ab + ac = a(b + c). Du ziehst einen gemeinsamen Faktor vor eine Klammer. So wird aus einer Summe ein Produkt, was beim Kürzen und beim Lösen von Gleichungen hilft (siehe Gemeinsame Faktoren finden).

1. Suche den größten gemeinsamen Faktor: bei den Zahlen den größten gemeinsamen Teiler, bei Variablen die Variable mit der kleinsten Hochzahl, die in allen Summanden vorkommt.
2. Schreibe ihn vor die Klammer.
3. In die Klammer schreibst du, was von jedem Summanden übrig bleibt. Bleibt nichts übrig, steht dort 1.
4. Prüfe durch Ausmultiplizieren.

Auch beim Kopfrechnen lohnt sich das Ausklammern: 17 · 6 + 17 · 4 = 17 · (6 + 4) = 170.

Als Nächstes multiplizierst du zwei Klammern miteinander und lernst die Abkürzungen kennen: Binome ausmultiplizieren mit dem Distributivgesetz. Wie du Ausmultiplizieren, Zusammenfassen und Potenzen in einer Aufgabe verbindest, übst du bei Terme vereinfachen. Längere Summen heißen Polynome.